Scénario Quatre hipsters entrent en collision un dans l'autre dans un ascenseur plein de personnes. En conséquence ils laissent tomber leurs téléphones cellulaires identiques lorsque les portes de l'ascenseur se ferment. Dans la course pour récupérer leurs téléphones, chacun ramasse un des téléphones au hasard. Nous reprenons sur ce scénario afin de déterminer la probabilité théorique de divers résultats/possibilités associés à l’événement dit «nombre de correspondances correctes» La probabilité qu'un événement aléatoire entraînera un résultat particulier est définie comme la proportion de l’occurrence du résultat à long terme (ou fréquence relative) : c'est le nombre de fois que le résultat aura lieu par rapport à un grand nombre total de répétitions du processus aléatoire qui le génère si ce processus serait répété un grand nombre de fois dans des conditions essentiellement identiques.

Dans des situations où les résultats d'un processus aléatoire ont tous la même chance d'occurrence, la probabilité théorique (exacte) de chaque résultat peut être déterminée à l'aide d'une liste de tous les résultats possibles pour calculer la proportion d’eux qui correspondent au résultat d'intérêt. On appelle une telle liste l'espace des possibilités (ou l'espace d'échantillonnage).

Une liste de tous les résultats possibles générés par un processus aléatoire conjointement avec la probabilité de chaque résultat consiste en une distribution de probabilités (de ces résultats)

Pour calculer l'espérance mathématique à partir d'une distribution de probabilités: 1. Multipliez chaque résultat par sa probabilité associée 2. Calculez la somme de tous ces résultats pondérés: Résultat 1 x Prob(résultat 1) + Résultat 2 x Prob(résultat 2) +... L'on appelle la valeur moyenne à long terme de l’événement «nombre de correspondances correctes» son espérance mathématique (autrement dit «sa valeur prévue» ou «valeur probable»)

Une liste de tous les résultats possibles générés par un processus aléatoire conjointement avec la probabilité de chaque résultat consiste en une distribution de probabilités (de ces résultats) L’espérance mathématique du nombre de correspondances correctes est égale à 1,00 (théorique). Ceci consiste en la valeur moyenne à long terme de l’événement «nombre de correspondances correctes». Le graphique ci- dessous montre que la valeur de l’espérance mathématique empirique (en noir) tend vers l’espérance mathématique théorique (en rouge).

Le tableau ci-dessous présente les résultats empiriques de 5000 répétitions (simulées) de l’expérience aléatoire, indiquant la fréquence observée de chaque résultat et la proportion correspondante : On peut estimer de façon empirique le nombre moyen de correspondances correctes par répétition : (1880x x x2 + 0x x4)/5000 = (1880/5000)x0 + (1690/5000)x1 + (1240/5000)x2 + (190/5000)x4 = 0,987

(1880x x x2 + 0x x4)/5000 = (1880/5000)x0 + (1690/5000)x1 + (1240/5000)x2 + (190/5000)x4 = 0,986 Les étapes et le résultat de ce calcule nous permet de mieux comprendre deux choses : 1) Le nombre moyen de correspondances correctes c’est la même chose que l’espérance mathématique du nombre de correspondances correctes. Donc, en appliquant notre interprétation de la moyenne à ceci on obtient la signification suivante : L’espérance mathématique du nombre de correspondances correctes signifie le nombre de correspondances correctes qu’aurait chacune des répétitions de l’expérience s’elles avaient toutes le même nombre de correspondances correctes (sans changer leur nombre total). Cela signifie donc une répartition égale (et fictive) du nombre total de correspondances correctes observée parmi les 5000 répétitions de l’expérience. 2) Ce nombre «fictif» est égal à 0,987, ce qui est très proche à 1,00 --la valeur théorique (obtenue selon la définition donnée précédemment).