Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3

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1 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3
Le chat – Philippe Geluck Circonscription d’Arcachon Nord Animation du 30/01/2013

2 Programmes 2008 Qu’en est-il pour vous?
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Programmes 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. Les conceptions des enseignants auxquelles nous pouvons nous attendre :  Mise en évidence de quelques points récurrents et/ou manques comme … * Dans la tradition scolaire, un problème est très souvent un problème d’application d'où peu de problèmes de recherche (type problèmes ouverts). *La résolution de problèmes est en général travaillée « à part ». *Le problème doit être simple pour être réussi ce qui induit des choix d'énoncés où les questions sont parfois induites, fermées, et où l'on attend une seule réponse … Attente : *L’élève doit apprendre à résoudre les problèmes de manière experte. *L'échec est très souvent imputé aux difficultés de lecture. Qu’en est-il pour vous? Recueil / affiche

3 Quelles sont les difficultés rencontrées par les
Résolution de problèmes – Cycle 2 Vous avez dit problème? Quelles sont les difficultés rencontrées par les élèves? Quelles difficultés? -- recueil Quelles propositions de pistes à travailler pour les pallier? –recueil Recueil / affiche

4 Difficultés de lecture, problème de vocabulaire
Résolution de problèmes – Cycle 2 Difficultés de lecture, problème de vocabulaire Manque de familiarité avec l’énoncé proposé Manque de maîtrise des techniques opératoires et du sens des opérations Difficultés à estimer l’ordre de grandeur d’un résultat Manque de pratique en calcul mental Difficultés de raisonnement, les élèves n’arrivent pas à construire la représentation mentale de la situation Difficultés pour se lancer dans l’activité

5 Qu’est ce qu’un problème ? Quelques apports didactiques.
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Qu’est ce qu’un problème ? Quelques apports didactiques.

6 Définition du problème mathématique
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Définition du problème mathématique La présentation de ces informations peut être variée: texte, tableau, schéma, graphique, dessin… Ce questionnement est souvent explicite: formulation d’une question, mais peut être à la charge de celui qui résout le problème. Il faut construire un chemin, un raisonnement pour parvenir à une solution. Les notions et les outils font la spécificité du problème mathématique… Un problème mathématique est constitué d’un ensemble d’informations… …faisant l’objet d’un questionnement ou d’une consigne… …ce qui nécessite une recherche ou un traitement… …qui implique l’utilisation de notions et d’outils mathématiques.

7 (Jean Brun Math Ecole N°141 ; 1999)
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 (Jean Brun Math Ecole N°141 ; 1999) « Dans une perspective psychologique, un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n’est disponible d’emblée mais possible à construire. C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur développement intellectuel par exemple. » Jean Brun chercheur IRDP Neuchâtel, Suisse Jean Brun, docteur de troisième cycle en psychologie de l'Université Lyon 11, est actuellement professeur en didactique des mathématiques à la Faculté de Psychologie et des Sciences de l'Education de l'Université de Genève. Ses travaux ont pour thème l'étude des rapports entre le développement cognitif et l'enseignement des mathématiques en prenant en compte la situation d'enseignement, et ce, aux niveaux de la scolarité des élèves de 6 à 12 ans.J Allons plus loin; ce n’est pas toujours aussi simple

8 Typologie des problèmes I) À partir des travaux de Roland Charnay
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Typologie des problèmes I) À partir des travaux de Roland Charnay en fonction des objectifs pédagogiques de l'enseignant

9 p r ob l èmes RALLYE TYPE FONCTION QUAND
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 TYPE FONCTION QUAND Problème de recherche « problème ouvert » Apprendre à chercher (objectif surtout méthodologique) Indépendant des apprentissages notionnels Problème de recherche « raisonnement, déduction » Apprendre à chercher (étapes, déduction) Lorsque les connaissances nécessaires sont en place Situation- problème Construction d’une nouvelle connaissance (ou d’un nouvel aspect d’une connaissance abordée) Pour un premier travail sur une connaissance nouvelle Problème d’application (utilisation directe d’une connaissance) Entraînement à la maîtrise du sens d’une nouvelle connaissance Après une phase de construction d’une nouvelle connaissance Problème de réinvestissement Utilisation d’une connaissance dans un contexte différent de celui où elle a été abordée Pour enrichir le sens d’une connaissance (son champ d’utilisation) pour l’utiliser conjointement à d’autres connaissances

10 Typologie des problèmes
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Typologie des problèmes II) À partir des travaux de Gérard Vergnaud (repris dans « Le nombre au cycle2 »-doc.Sceren)

11 La typologie des problèmes additifs/soustractifs
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 La typologie des problèmes additifs/soustractifs Intérêt ? Aider l’enseignant à présenter aux élèves des problèmes de conception différente pour faire varier le niveau de difficulté : une solution apparemment identique ne met pas forcément en œuvre le même schéma. L’ énoncé de problème est vu comme une « histoire » dans laquelle on trouve des états (exemple : dans le vase, il y a 12 fleurs) sur lesquels seront peut être effectuées des transformations ou des comparaisons. état initial transformation état final.

12 Exemples (source doc. « Le nombre au cycle2 – SCEREN)
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Exemples (source doc. « Le nombre au cycle2 – SCEREN) Composition de deux états Etat 1 (E1) Etat 2 (E2) Le tout La question peut porter sur la recherche de E1, E2 ou le Tout Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble? Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a-t-il de billes? Comparaison d’états La comparaison de ces deux états La question peut porter sur la recherche de E1, E2 ou la comparaison Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a–t–elle ? Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a–t–elle ? Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a–t–elle ? Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a–t–elle de plus que Léo ? Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a–t–elle de moins que Léo ?

13 Exemples (source doc. « Le nombre au cycle2 – SCEREN)
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Exemples (source doc. « Le nombre au cycle2 – SCEREN) Transformation d’état Etat initial (Ei) Une transformation (T) Etat final (Ef) * La transformation peut positive ou négative * La question peut porter sur la recherche de Ei, Ef ou T Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ? Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo ? Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo ? Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait–il de billes ? Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a–t–elle données à Léo ? Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a–t–il données à Juliette ? L’automatisation du processus de reconnaissance de l’opération n’est réellement effective que si l’élève parvient à associer une opération (la soustraction par exemple) à n’importe quelle situation nécessitant cette opération. (l’entrainer à identifier) Choisir parmi plusieurs opérations nécessite de construire simultanément une automatisation (elle sera progressive) du processus de reconnaissance de l’opération. L’automatisation est grandement facilitée si l’élève a élaboré en maternelle des connaissances, des capacités et des attitudes connues, reconnues et investies par les enseignants d’élémentaire. Ces conditions impliquent que l’élève ait été confronté à la diversité des situations additives regroupant les problèmes d’addition et de soustraction. Or tous les problèmes additifs ou soustractifs ne sont pas résolus avec le même taux de réussite. Cela tient principalement à leur inégale difficulté. Certes la recherche d’un état final est souvent plus facile que celle de l’état initial ou de la transformation mais cette hiérarchie peut être contrariée, par exemple, par le contexte (habillage) ou par le domaine numérique mobilisé. C’est pourquoi la liste ci–dessus n’a pas de valeur chronologique et ne peut être assimilée à une progression. Cette catégorisation peut également servir de grille de lecture pour l’analyse des manuels que l’on voudrait utiliser dans la classe pour travailler le champ des problèmes additifs et soustractifs. Cette typologie donne une feuille de route à l’enseignant. Il va effectuer un choix des problèmes en étant conscient de la catégorie de Vergnaud sous-jacente pour tendre vers une exhaustivité des propositions. Programmation possible (cp pas rech état initial par exemple; mais ce1, confronté à tout)

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Composition de transformations Une transformation initiale T1 Une transformation intermédiaire T2 Une transformation finale T3, résultante de T1 et T2 Les transformations T1 et T2 peuvent être ou non de même sens (positive ou négative) * La question peut porter sur la recherche de T3, T1 ou T2 Pendant la récréation, Julie joue deux parties de billes. À la première partie elle perd 13 billes, à la deuxième partie elle en gagne 6. Que s’est-il passé en tout ? Plus complexes, ces problèmes ne correspondent plus à des problèmes à une seule opération.

15 Typologie des problèmes multiplicatifs
Résolution de problèmes – Cycles et 3 1/3 Typologie des problèmes multiplicatifs

16 Typologie des problèmes multiplicatifs
Résolution de problèmes – Cycles et 3 2/3 Typologie des problèmes multiplicatifs

17 Typologie des problèmes multiplicatifs
Résolution de problèmes – Cycles et 3 Typologie des problèmes multiplicatifs 3/3

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19 P1.1 Faire évoluer le contrat didactique :
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Piste 1 : mathématique et méthodologique P1.1 Faire évoluer le contrat didactique : proposer des problèmes ouverts très tôt (dans l’année et la scolarité) proposer de temps à autre : -des problèmes sans solution -des problèmes qui n’utilisent pas les dernières opérations étudiées accorder un statut à l’erreur Contrat non écrit, implicite entre l’enseignant et l’élève * Problèmes ouverts (problèmes pour chercher): pour lesquels on n’a pas de solution immédiate; cela va donner confiance à l’élève en cassant la représentation qu’il a de son rapport au problème Cela va lui permettre de démarrer, produire, dessiner… on a le droit de se tromper, c’est normal; l’erreur va aussi informer; il faut oser (cf de nbreuses non réponses aux évaluations PISA ) Savoir qu’il existe toujours plusieurs modalités différentes pour élaborer réponse _ meilleur moyen de ne pas laisser les élèves au bord du chemin (ceux-ci seraient prêts à faire n’importe quoi qui ressemble à de l’expertise sans vouloir aller vers des procédures moins expertes) Ce sera l’enseignant qui fera progresser vers les procédures expertes (lors des mises en commun, garder trace ; et à un moment donné, quand les variabes didactiques auront changé (nbre plus grands par exemple, coût en opérations trop important  et si tu essayais comme … (débat-argumentation)

20 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves
autoriser les procédures personnelles et le recours à la schématisation par exemple… diagrammes dessins personnels +/- figuratifs arbres droites numériques graphiques tableaux… illustrer / organiser un réseau souvent complexe d’informations. mieux visualiser les connaissances et les liens qui les unissent. planifier une démarche.

21 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves
Un maçon doit transporter 500kg de sable sur un chantier. Pour cela, il dispose d’une remorque ne pouvant pas transporter plus de 155kg à la fois. Combien de fois devra-t-il charger sa remorque. (classe de CM1) Si le schéma constitue un outil d’apprentissage pertinent et efficace, il n’est cependant pas indispensable à une bonne réussite. «  Passer par une représentation peut être vécu par certains élèves comme une attente du professeur. Il n’est pas rare en effet de voir des élèves résoudre d’abord un problème à l’aide de calculs, puis de chercher à le traduire en un dessin beaucoup plus pauvre » Les schématisations sont donc à exploiter mais il est inutile de les imposer.

22 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves
P1.2 Proposer des entrainements fréquents aux différents types de problèmes (Charnay et Vergnaud) banque de problèmes illustration d’un travail sur les types de problèmes dans une classe de CM2

23 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves

24 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves

25 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves
P1.3 Participer à des rallyes (arcachon nord, archives ia33, libourne 1/2)

26 P1.4 Travailler les automatismes , en particulier le calcul mental
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves P1.4 Travailler les automatismes , en particulier le calcul mental Un entraînement régulier allège les tâches de calcul favorise une prise de sens lors de la résolution de problèmes contribue à accélérer l’automatisation de la reconnaissance des opérations à effectuer (problèmes relevant de modèles familiers aux élèves) Les élèves construisent des schémas de problèmes (Julo, 1995). (l’élève se construit une mémoire des problèmes déjà rencontrés ainsi que des procédures de résolution associées) (doc IA49 c2 et c3) Jean Julo est enseignant-chercheur à l’Université Rennes I. Il enseigne la psychologie dans le cadre de la formation initiale et continue des professeurs de mathématiques.

27 problèmes additifs du type « le jeu de l’autobus » :
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Exemples : problèmes additifs du type « le jeu de l’autobus » : Dans un autobus, il y a 28 voyageurs. À la prochaine station, 15 voyageurs montent et 17 descendent. Combien y a–t–il de voyageurs dans l’autobus quand il repart ? problèmes multiplicatifs simples : Pour réaliser un pull, Sylvie achète 18 pelotes de laine à 5 € la pelote. Calcule le montant de la dépense.

28 Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves
P1.5 Utilisation du matériel pour donner du sens aux apprentissages et aux techniques mathématiques L’existence d’un milieu matériel n’implique pas la réduction de l’activité associée à une simple manipulation. Manipuler avec les objets qui correspondent à l'énoncé. *Manipuler avec des jetons. … Il faut cependant se convaincre que ce n’est pas la manipulation d’un matériel qui constitue l’activité mathématique, mais les questions qu’elle suggère. Quand on manipule, on ne fait pas de math; il faut ensuite passer à l’anticipation; c’est là où le nbre joue son rôle fondamental

29 A partir d’une situation proposée dans un manuel.
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves A partir d’une situation proposée dans un manuel.

30 3 dispositifs pédagogiques pour une séance d’apprentissage.
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves 3 dispositifs pédagogiques pour une séance d’apprentissage. Enseignant A : fait ouvrir le fichier, lire les bulles, commenter les images. Il donne le temps nécessaire pour compléter la réponse, recueille les réponses et organise la correction (différentes méthodes de calcul apparaissent). Enseignant B: se saisit de cette scène évoquée pour la réaliser en classe avec du matériel. Il fait compter ce qui reste dans la boîte (22 billes) et explique ensuite comment le calcul permet d’obtenir le résultat. Enseignant C: se saisit de cette scène évoquée pour la réaliser en classe avec du matériel. Il demande aux élèves de prévoir par une procédure de leur choix le nombre de billes qui restent dans la boîte. Il les fait ensuite dénombrer. Les méthodes de chacun sont alors analysées.

31 ………………………………………………………Recherche
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Séquence vidéo Séance 1 : Phase 1 – chaque élève a passé commande de voitures (cubes) pour remplir son parking (carte avec cases vides). Phase 2 – par deux. Chaque élève garde ses cubes mais rend son parking. La consigne est maintenant de passer une commande de parking pour placer leurs deux collections de voitures (25 pour l’un et 27 pour l’autre). ………………………………………………………Recherche Phase 3 – mise en commun. Explications des différentes procédures. Les élèves sont amenés à prendre conscience de la fabrication d’une nouvelle dizaine . Ecriture mathématique = 52

32 ………………………………………………………Recherche
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Séquence vidéo Séance 2: Phase 1 – l’enseignant explique qu’il va falloir passer commande d’un parking pour placer 26 voitures rouges et 27 voitures bleues. Le seul matériel disponible est cette fois collectif. Un élève place dans une boîte opaque les deux collections (barrettes et unités). Ce matériel servira pour la validation. Phase 2 – par deux. Travail sur feuille. ………………………………………………………Recherche Phase 3 – mise en commun. Explications des différentes procédures. Trace des différentes formes de calculs est gardée sous forme d’affichages

33 Introduction de la somme de deux décimaux Un énoncé écrit au tableau :
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Un exemple au CM1 Introduction de la somme de deux décimaux Un énoncé écrit au tableau : «Un artisan veut construire une plinthe à l’aide de deux baguettes mises bout à bout. Pour cela, il dispose d’une baguette de 0,75m et d’une autre baguette de1,3m. Quelle longueur de plinthe pourra-t-il poser?». Scénario1: Enoncé au tableau. Travail par groupes. Ecriture des démarches sur une grande feuille qui est affichée ensuite au tableau. Synthèse par le professeur. Scénario2: Par groupe : deux baguettes : 0,75m et1,3m. Les élèves manipulent et trouvent la longueur totale. Synthèse collective. Scénario3: (dans la classe, deux baguettes visibles : 0,75m et 1,3m) : «Prévoyez donc par le calcul la longueur de la baguette obtenue lorsque l’on mettra ces deux baguettes bout à bout». ENLEVER LES ESPACES Calcul Manipulation Matériel à dispo pour valider

34 Piste 2 : travail sur le texte des énoncés
Résolution de problèmes – Cycle Pistes pour aider les élèves Piste 2 : travail sur le texte des énoncés -Faire des tris de textes pour apprendre à identifier un énoncé de problème -Donner un énoncé avec des phrases dans le désordre et demander de reconstituer l’énoncé. -Donner des morceaux de différents énoncés mélangés et demander de reconstituer les différents énoncés. -Donner des énoncés « à trous » qu’il faut compléter De façon plus générale, faire pour chaque problème un « petit travail » en amont sur les difficultés que le maître aura repérées a priori dans l’énoncé

35 Construire un lexique des problèmes numériques
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Travailler sur les mots des problèmes, les classer. Plus, moins, autant, davantage, combien, « en tout », long, court, fois, rangées, longueur, part, ajouter, verser, prendre, partager, gagner, dépasser, recevoir, augmenter, perdre, dépenser, manquer, calculer, … Construire un lexique des problèmes numériques (d’après Maths en mots, Jean-Luc Brégeon)

36 Des mots qui indiquent un changement :
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Des mots qui indiquent un changement : Augmenter, diminuer, gagner, perdre, ajouter, donner, recevoir, prendre…, avancer, reculer, monter, descendre, agrandir, raccourcir…partager, … Une augmentation Une diminution recevoir, ajouter gagner, gain augmenter, augmentation réunir avancer monter agrandir, agrandissement allonger enlever, rendre perdre, perte retirer, retrancher diminuer, diminution baisser, baisse dépenser, dépense partager, part, partage distribuer, distribution reculer, descendre réduire, réduction raccourcir

37 Maintenant, elle a moins de fleurs. Loïc avait 28 images.
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Attention à certains verbes qui selon le contexte indiquent une diminution ou une augmentation  Situation de départ : Situation finale : Pauline a 45 fleurs. Elle en donne 26. Maintenant, elle a moins de fleurs. Loïc avait 28 images. Son ami lui en donne 16. Maintenant, il en a plus. Valentin avait 42 voitures. Son frère lui en offre 13. Céline a 45 bonbons. Elle en offre 12 à son amie. Maintenant, elle a moins. Amélie a une boîte de 72 chocolats. Elle en prend 40. Lucas a 45 CD dans sa boîte. Il en prend 3 dans la boîte de son frère. La bibliothèque compte 21 livres. Le directeur en achète 15. Maintenant, il y en a plus. Lucie a 85€. Elle achète une raquette à 40€. Maintenant, elle a moins d’argent.

38 Passer d’une histoire à des énoncés
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Passer d’une histoire à des énoncés Fabriquer un énoncé à partir d’une histoire consiste donc à : – modifier l’ordre des événements, – choisir d’occulter une donnée (qui peut être numérique ou non, par exemple la nature d’une transformation, – demander par une injonction(9) ou une question de trouver la donnée manquante.

39 Passer d’une histoire à des énoncés Histoire
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Passer d’une histoire à des énoncés Histoire Samedi soir, papy a 27 lapins. 8 lapins naissent pendant la nuit. Le lendemain, papy en a 35. Etat initial : Samedi soir, papy a 27 lapins Transformation : 8 lapins naissent pendant la nuit. Etat final : Le lendemain, papy en a 35. Enoncé 1 Samedi soir papy a 27 lapins. 8 lapins naissent pendant la nuit. Combien de lapins papy a-t-il le lendemain ? Enoncé 2 Dimanche matin, papy a 35 lapins. 8 lapins sont nés pendant la nuit précédente. Combien papy avait-il de lapins samedi soir ? Enoncé 3 Dimanche matin Papy a 35 lapins. Il en avait 27 samedi soir. Que s’est-il passé dans la nuit de samedi à dimanche ? Enoncé 4 Samedi soir, papy a 27 lapins. Dimanche matin, il en a 35. Que s’est-il passé dans la nuit de samedi à dimanche ? L’ordre d’énonciation de l’énoncé 1 correspond à l’ordre de l’histoire, alors que l’ordre d’énonciation des autres énoncés est différent de l’ordre chronologique. Or, les travaux menés sur les énoncés résolus par les élèves [Camenisch Petit, Copirelem, 2005] confirment ceux de Régina Damm [Damm, 1992] et de Raymond Duval [Duval, 1995] qui indiquent que les élèves rencontrent plus de difficultés à résoudre les énoncés quand l’ordre chronologique des événements ne correspond par à l’ordre d’énonciation. C’est-à-dire, plus profondément, quand l’ordre de l’écriture des données dans les opérations en ligne ne correpond pas à l’ordre d’apparition des données dans l’énonce (cas de non-congruence au sens de Raymond Duval). Ce jeux de permutations que l’on peut opérer sur l’ordre de l’énonciation conduit à la production possible de six énoncés différents si la donnée manquante, sur laquelle porte l’interrogation, est formulée à la fin de l’énoncé. Si nous désignons par Bleu l’état initial (noté Ei), par Blanc la période de la transformation (notée T), par Rouge l’état final (noté Ef).

40 Passer d’une histoire à des énoncés Histoire
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Passer d’une histoire à des énoncés Histoire Marc prend l’ascenseur au 24ème étage d’un immeuble. Il descend de 13 étages. Il sort de l’ascenseur au 11ème étage. Etat initial : Marc prend l’ascenseur au 24ème étage de la tour de l’Europe à Mulhouse. Transformation : Il descend de 13 étages. Etat final : Il sort de l’ascenseur au 11ème étage. Enoncé 1 Marc prend l’ascenseur au 24ème étage d’un immeuble. Il descend de 13 étages. A quel étage sort-il de l’ascenseur? Enoncé 2 Marc sort de l’ascenseur au 11ème étage. Il vient de descendre 13 étages. A quel étage a-t-il pris l’ascenseur? Enoncé 3 Marc sort de l’ascenseur au 11ème étage. Il l’avait pris au 24ème étage . Que s’est-il passé ? Enoncé 4 Marc prend l’ascenseur au 24ème étage d’un immeuble. Il en sort au 11ème étage. Que s’est-il passé? REFLECHIR A UN ENONCE PLUS CYCLE 3 L’ordre d’énonciation de l’énoncé 1 correspond à l’ordre de l’histoire, alors que l’ordre d’énonciation des autres énoncés est différent de l’ordre chronologique. Or, les travaux menés sur les énoncés résolus par les élèves [Camenisch Petit, Copirelem, 2005] confirment ceux de Régina Damm [Damm, 1992] et de Raymond Duval [Duval, 1995] qui indiquent que les élèves rencontrent plus de difficultés à résoudre les énoncés quand l’ordre chronologique des événements ne correspond par à l’ordre d’énonciation. C’est-à-dire, plus profondément, quand l’ordre de l’écriture des données dans les opérations en ligne ne correpond pas à l’ordre d’apparition des données dans l’énonce (cas de non-congruence au sens de Raymond Duval). Ce jeux de permutations que l’on peut opérer sur l’ordre de l’énonciation conduit à la production possible de six énoncés différents si la donnée manquante, sur laquelle porte l’interrogation, est formulée à la fin de l’énoncé. Si nous désignons par Bleu l’état initial (noté Ei), par Blanc la période de la transformation (notée T), par Rouge l’état final (noté Ef).

41 A partir des typologies :
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Des albums pour faire des mathématiques ( 365 pingouins / Un éléphant, ça compte énormément, …) A partir des manuels : s’approprier et adapter les situations de découverte proposées A partir des typologies : Grille de lecture pour l’analyse des problèmes (notamment dans les manuels) pouvant servir l’élaboration d’une programmation. Pour « dédramatiser » et changer l’image que les élèves peuvent avoir des problèmes, on peut se servir d’ouvrages de « la littérature de jeunesse » en particulier : « Un pour l'escargot, dix pour le crabe » : combien de pieds ? / Sayre, April Pulley ; Sayre, Jeff ; Cecil, Randy. Nombres de 1 à 100 écriture chiffrée – Notion de dizaines. « Un éléphant, ça compte énormément », Helme Heine Folio Benjamin, Gallimard Que compte chaque matin avec tant d'attention et de fierté cet éléphant ? Il compte ces "beaux paquets bien ronds" que sont ses crottes. Pendant cinquante années, au jour de son anniversaire, il émet une crotte de plus, mais durant les cinquante années suivantes, il devra se résoudre à ne voir arriver, à chaque anniversaire qu'une crotte de moins, jusqu'à... On l'aura compris, on est, là aussi, très loin d'un livre à compter classique ! Conte philosophique dans lequel la mort se profile discrètement, livre de compte quant on veut calculer le nombre de crottes faites par notre éléphant durant toute sa vie..., chacun le prendra comme il veut, mais ce serait dommage de ne pas le méditer. 365 PINGOUINS Album « 365 pingouins » de Jean-Luc Fromental et Joëlle Jolivet – Éditeur Naïve Cet album est un régal, vif et coloré il nous raconte une histoire farfelue prétexte à de nombreux calculs mathématiques. Une famille reçoit le 1er janvier un pingouin par la poste, puis un nouveau chaque jour. La maison se retrouve envahie, les situations cocasses s’enchaînent : il faut les nourrir, les laver, les ranger… Combien de pingouins y aura-t-il à la fin du mois de février ? Quel jour arrivera le 100ème pingouin ? Combien de pingouins peut-on ranger dans un cube de 6 pingouins d’arête ? La chute est savoureuse et l’histoire permet également de faire le lien avec l’éducation à l’environnement car ces volatiles se révèlent être des « réfugiés climatiques ». Compétences travaillées : - résoudre des problèmes en utilisant les connaissances sur les nombres naturels et décimaux et sur les opérations étudiées - contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution - argumenter à propos de la validité d’une solution - utiliser un calendrier et ses connaissances sur le temps (nombre de jours dans un mois, une année) La Malédiction des maths SCIESZKA Jon, SMITH Lane, Seuil, Album parodique très riche de nombreux aspects des mathématiques Histoires pressées FRIOT Bernard, « Problème », Editions Milan. Nouvelle parodique à la manière d’un problème… FRIOT Bernard, « Calcul », « Mathématique », Encore des histoires pressées, Editions Milan. Nouvelles humoristiques utilisant des problèmes…

42 Bibliographie / sitographie :
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 Dossier disponible pour clef USB et sur site Bibliographie / sitographie : Le nombre au cycle 2 - SCEREN pages 15 à 18, calcul mental pages 18 à 22 numération Partie III : problèmes additifs, soustractifs, multiplicatifs. Le nombre au cycle 3 – SCEREN pages 51 à 63, résolution de problèmes. Document d’accompagnement : Mathématiques à l’école primaire Articles APMEP (A. Camenisch, S.Petit) : « Lire et écrire des énoncés de problèmes » et « Des albums pour apprendre à compter et à développer la maîtrise de la langue » Document « calcul mental au C2 » (Lozère) -- attention, certains liens vers des sites peuvent devenir inactifs Document « calcul mental au C3 » (IA49). Grilles de lecture des problèmes / aide à la programmation. Typologie simplifiée des problèmes multiplicatifs. Proposition de problèmes par type et niveau. Exemple de programmation de problèmes

43 Bibliographie / sitographie :
Résolution de problèmes – Cycle 3 Bibliographie / sitographie : ERMEL – Apprentissages numériques et résolution de problèmes. Travaux de Roland Charnay . Travaux de Gérard Vergnaud. Le Moniteur de Mathématiques, Nathan , cycle 3 - G Vergnaud Travaux de Joël Briand. « Maths en mots », Jean-Luc Brégeon.

44 Programmes 2008 / Socle commun 2006/ LPC
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Programmes 2008 / Socle commun 2006/ LPC LES ELEMENTS DE PROGRESSION - Cycle 2 … La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.

45 Programmes 2008 / Socle commun 2006/ LPC
Résolution de problèmes – Cycles 2 et 3 - Pistes pour aider les élèves Programmes 2008 / Socle commun 2006/ LPC LES ELEMENTS DE PROGRESSION - Cycle 3 … La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.

46 O r g a n I s a t I o n e t g e s t I o n d e d o n n é e s
Résolution de problèmes – Cycle 3 Programmes 2008 / Socle commun 2006/ LPC Palier 2 – Compétence 3 N o m b r e s e t c a l c u l s Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations G é o m é t r i e Résoudre des problèmes de reproduction, de construction G r a n d e u r s e t m e s u r e s Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions O r g a n I s a t I o n e t g e s t I o n d e d o n n é e s Résoudre un problème mettant en jeu une situation de proportionnalité LES ELEMENTS DE PROGRESSION - Cycle 3 … La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.