 Qu’est ce qu’une matrice diagonale ? Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Présentation au sujet: " Qu’est ce qu’une matrice diagonale ? Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls."— Transcription de la présentation:

1

2  Qu’est ce qu’une matrice diagonale ? Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.  Qu’est ce qu’une matrice diagonalisable ? une matrice carré d’ordre n (avec n∈ N*) à coefficients dans un corps commutatif K si elle est semblable à une matrice diagonale c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D

3  = −1  2 = −1 × −1 = ( −1 )× −1 = ()× −1 = 2 −1  3 = 2−1 × −1 = 2 (−1 )× −1 = 2 ()× −1 = 3 −1

4  Nous supposons donc que pour tout t ∈ : = −1 +1 = × = −1× −1 = ( −1 ) −1 = −1 = +1−1  +1 est vraie,t ∈ N. Donc est vraie aussi pour tout n ∈ N.

5  −1 =  = 1p + ₂p … P

6  Nous avons: =−1 = 1p +₂ p … P −1  Or M i = i −1  Donc : =1 p +₂p+⋯+ P

7 Les polynômes de Lagrange  Maintenant nous allons simplifier le cas de notre matrice A avec ∀∈ N* : f i () =f i11 + f i22 +⋯+ f i  Comme =1 alors nous obtenons : =  D’où la formule : = 11 + 22 + …+

8 Calculer des coefficients  En remplacant X pas A on tient:  Donc: f () =f 11 + f 22 +⋯+ f

9 Calculer les limites (1/2)  Les valeurs propres de A seront de module ≤ 1, cela veut dire que:  Par conséquent nous pouvons en déduire que :

10 Calculer les limites (2/2)  Si nous considérons la matrice diagonale A comme telle:  Nous pouvons en déduire l’expression:

11 Quel exposé se passerait d’exemple ?!

12 Exemple de calcul  Polynôme caractéristique Valeurs propres Déterminant Trace  Pose les matrices On calcule le déterminant (trivial )  Résultat donné par l’article donc valeurs propres !

13 Exemple de calcul  Petits rajouts Définition du rang Précisé valeur de n pour __ _ ○ avec n = 0 => ○ avec n = 1 =>  On trouve et avec On remplace dans la formule On réduit en mettant A et I en facteur

14 Evolution de population  On nous donne :  On met en équation les grades en fonction du schéma En % Puis en valeur réelle  On déduit la matrice donnée dans l’article

15 Etude d’une matrice  On remarque que chaque colonne = 1 valeur propre de la transposée = 1!  Définition de la transposée Puisque 1 valeur propre, vecteur propre!  Espace propre (article)

16 Etude d’une matrice  Calcul du rang Théorème du rang : ○ E = 5 (ordre de la matrice carrée) ○ f = A – I ○ rg = 4 (donné) On met en équation  Dim ( Ker(A-I) ) = 1, dimension de l’espace propre

17 Conséquence d’une existence  La limite de la suite Zn est nommée L L vecteur propre associé à 1