TP9: Fonctions de deux variables

Présentation au sujet: "TP9: Fonctions de deux variables"— Transcription de la présentation:

1 TP9: Fonctions de deux variables

2 Rappels Gradient Matrice hessienne

3 Rappels Calcul des minima, maxima et points de selle
Annulation du gradient Détermination des coordonnées Calcul de la matrice hessienne en ces coordonnées maximum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x < 0, minimum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x > 0. Point de selle si dét< 0

4 Exercices du syllabus 107. 1) 2) 5)

5 Exercices du syllabus 108 111 f(x,y)=xlny+ylnx 1) 2)

6 Exercices du syllabus 116 Volume = 64m³: dimension pour aire totale minimum?

7 Exercices du syllabus 118. 1)
Droite parallèle Oy, à 3cm de O et tournant autour de Oy = cylindre Intersection avec un plan parallèle à xOz = cercle C Intersection avec un plan passant par Oy = deux droites parallèles M et N z y x

8 Exercices du syllabus Plan parallèle à xOy, passant par p
Deux droites parallèles Q et R Plan par Ox et la première bissectrice du plan yOz Une ellipse Plan perpendiculaire à D et passant par p

9 Exercices du syllabus 123 Hyperboloide à 1nappe Plan //Oxy:
Cercle Plan // xOz: hyperbole

10 Exercices du syllabus 124 tore Si a=origine O?
Plan // xOy pas b(0,0,1) 2 cercles concentriques c1 etc2 Plan // xOz par a(0,3,0) Courbe en forme de 8 Si a=origine O? Réduit à 1 point

11 Questions supplémentaires
1 Calculer les limites

12 Questions supplémentaires
n’existe pas car différent selon la direction qu’on prend f continue en (1,1)? Non car la limite n’existe pas

13 Questions supplémentaires
2. Représenter dans l’espace R3 les domaines suivants Intérieur du cercle de rayon 1centré en (1,2) Intérieur d’un triangle

14

15

16 Questions supplémentaires
intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon 2, dont on ne prend que la « tranche » dont les y sont compris entre 0 et 1

17 Questions supplémentaires
3. Représenter dans l’espace R3 les surfaces d’équation (cf cours) a) z² = x² + y² cone b) x = 3 plan c) z = x² + y² Paraboloïde elliptique d) x² + y² + z² = 1 sphère e) x² + y² = 1. cylindre

18 Questions supplémentaires
4.Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes a) xy + y²

19 Questions supplémentaires
e) xy

20 Questions supplémentaires
5.dérivée de f au point p=(1,2) dans la direction

21 Questions supplémentaires
6.Calculer les maxima et minima locaux ainsi que les points de selle des fonctions suivantes a) x²y + y² - 4xy - 6y + 7

22 Questions supplémentaires
Annulation du gradient Coordonnées (2,5) Matrice hessienne Déterminant=20 >0et dérivées secondes positives minimum

23 Questions supplémentaires
Matrice hessienne Déterminant <0 point de selle matrice hessienne Déterminant<0 point de selle

24 Questions supplémentaires
c) x²-y²-2xy +2

25 Questions supplémentaires
Annulation du gradient Coordonnées (0,0) Matrice hessienne Déterminant=0 pas de min, max, point de selle

26 C. Test 1.B 2. D Toutes les parenthèses avec une soustraction donnent 2 racines 3. B 4.E 5. E 13 cartes par couleur 52-12 6.E