Volée Semestre 2 Didactique des mathématiques A. Collioud – C. Hauser 2016.

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1 Volée 1518 - Semestre 2 Didactique des mathématiques A. Collioud – C. Hauser 2016

2 Plan de cours  Présentation de l’UF Mathématique S3  Consignes de stages 2.1  Canevas de séquence d’enseignement  MSN 12  Atelier

3 UF Maths S3 Objectifs généraux Compétences professionnelles Objectifs spécifiques

4 UF Mathématique S3 Création et mise en œuvre de séquences d’enseignement/apprentissage Objectif général  Analyser et mettre en œuvre des activités en adéquation avec des objectifs de séquences et prendre en compte les différentes approches didactiques.  Prévoir et gérer les différents moments d’une leçon et les dynamiques des dispositifs de travail.  Créer et mettre en œuvre des séquences d’enseignement en mathématiques dans le domaine des nombres.

5 Compétences professionnelles principales visées  Concevoir et animer des situations d’enseignement et d’apprentissage en fonction des élèves et du plan d’études  Planifier des séquences d’enseignement  Prendre en considération « la classe » dans l’élaboration et l’animation des situations d’enseignement/apprentissage.  Varier ses méthodes d’enseignement.  Favoriser l’intégration des apprentissages.

6 Compétences professionnelles principales visées  Agir en tant que professionnel critique et porteur de connaissances et de culture  Déterminer les enjeux de son enseignement.

7 Objectifs spécifiques  comprendre, décrire, opérationnaliser les différents aspects de la découverte et de la construction du nombre;  préparer et mettre en œuvre des séquences d’enseignement/apprentissage pour les degrés 1à 8 dans le domaine numérique;  mettre en œuvre, décrire les algorithmes, et institutionnaliser les opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division) (C1.3, C1.6).  mener, décrire des analyses a priori et a posteriori;  identifier et proposer des situations problèmes (C1.6)

8 UF Mathématique S3  Douze rencontres de deux périodes  Deux stages (2.1 et 2.2)  Un travail à rendre

9 Stage 2.1 Consignes Travail

10 Stage 2.1  Construction en duo d'une séquence sur l'approche du nombre et mise en application de cette séquence durant le stage 2.1 en solo, selon consignes données en cours. Contexte -Milieu connu (stage 2.1 en duo) -Classe 1-2H -Duettistes issus de classes différentes -Stage court (2x2 semaines)

11 Stage 2.1 Situation 1 Les duettistes construisent une séquence d’enseignement en collaboration avec leur FEE pour les 4 semaines. -Préparation de la séquence en duo -Enseignement (2x2 semaines) par les stagiaires -Bilan individuel des activités conduites -Analyse a posteriori de la séquence en duo

12 Stage 2.1 Situation 2 Chaque stagiaire prépare une séquence courte en collaboration avec leur FEE pour 2 semaines. -Préparation de la séquence -Enseignement par le stagiaires -Bilan individuel des activités conduites -Analyse a posteriori de la séquence

13 Stage 2.1 Dans les deux cas  Définir un objectif «limité» Par ex: «dénombrer une collection d’objets dont le nombre est inférieur à 8»  La séquence d’enseignement devrait contenir -Une phase d’amorce -Une phase d’activité d’apprentissage -Une phase d’évaluation (par ex. formative)

14 Stage 2.1 Documents à rendre avant les vacances d’automne: Préparation de la séquenceselon canevas Bilan individuel de deux activités conduites1 page Analyse a posteriori de la séquence en duo1 page

15 Canevas de séquence Contexte Déroulement Bilan

16 Canevas de séquence Prévoir Agir Observer

17 Contexte

18 Apprentissages (PER)

19 Objectifs spécifiques Au terme de la séquence, l’élève sera capable de :

20 Tableau déroulement

21

22 Évaluation-Bilan

23 MSN 12 Objectif principal et ses composantes Progression des apprentissages Attentes fondamentales Indications pédagogiques

24 MSN 12: Objectif principal MSN 12 Poser et résoudre des problèmes pour construire et structurer des représentations des nombres naturels… 1…en associant un nombre à une quantité d'objets et inversement 2…en utilisant les nombres et les chiffres pour organiser des situations de vie 3…en passant de l'énonciation orale du nombre à son écriture chiffrée et inversement 4…en organisant les nombres naturels à travers l'addition 5…en ordonnant des nombres naturels

25 MSN 12:Progression des apprentissages 1re – 2e années3e – 4e années Domaine numérique de travail : selon les cas : – nombres familiers : jusqu’à 12 (16 à 19 selon les enfants) – nombres fréquentés : jusqu’à env. 30 Domaine numérique de travail : nombres naturels de 0 à 200 ÉLÉMENTS POUR LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES Résolution de problèmes numériques, notamment : – tri et organisation des informations (liste, schéma, manipulation…) – mise en œuvre d’une démarche de résolution – ajustement d’essais successifs – déduction d’une information nouvelle à partir de celles qui sont connues – vérification, puis communication d’une démarche

26 MSN 12:Progression des apprentissages 1re – 2e années3e – 4e années D ÉCOUVERTE, CONSTRUCTION ET UTILISATION DU NOMBRE Expérimentation des premiers nombres, signification des nombres par des exemples proches de l’enfant (nombre d’élèves de la classe, jours du mois,…) (nombres fréquentés) Dénombrement d’une petite collection d’objets, et expression orale de sa quantité (nombres familiers) Dénombrement d’une collection d’objets, par comptage organisé, par groupements de 10 Estimation du nombre d’objets d’une collection par perception globale (nombres familiers) Estimation du nombre d’objets d’une collection par perception globale Comparaison de deux collections ou constitution d’une collection ayant un nombre donné d’objets par correspondance terme à terme (nombres familiers) Comparaison de collections ou constitution d’une collection ayant un nombre donné d’objets, par correspondance terme à terme, par dénombrement, par estimation

27 MSN 12:Progression des apprentissages 1re – 2e années3e – 4e années Augmentation et diminution du nombre d’objets d’une collection (nombres familiers) Production d’un nombre plus grand ou plus petit d’une unité qu’un nombre donné Mémorisation de la suite numérique (nombres fréquentés) Comptage et décomptage de 1 en 1, de 10 en 10, à partir d’un nombre donné Comptage de 2 en 2, de 5 en 5 à partir de 0 Reconnaissance de quelques suites numériques (pair, impair,…) Passage du mot-nombre (oral ou écrit) à son écriture chiffrée, et inversement Passage du mot-nombre (oral ou écrit) à sa décomposition en unités et dizaines, et inversement Utilisation des nombres (nombres familiers) comme outil pour dénombrer, comparer des collections organisées (dés, dominos,…) ou non organisées (objets disposés aléatoirement,…) Comparaison, classement, encadrement, intercalation de nombres

28 MSN 12: Attentes fondamentales … dénombre une collection d’objets dont le nombre est inférieur à 100 par comptage organisé … constitue une collection ayant un nombre donné d’objets inferieur à 50 … écrit en chiffres et récite (de manière fluide pour les nombres à deux chiffres) des séquences de la suite numérique … compte de 10 en 10 jusqu’à 100, à partir d’un nombre donné … passe du mot-nombre (oral) à son écriture chiffrée et inversement … compare, ordonne, encadre, intercale des nombres inférieurs à 100

29 MSN 12: Indications pédagogiques Dans la 1re partie du cycle, les nombres ne sont pas des objets d’étude en soi mais des outils pour nommer, lire et écrire des quantités dans des activités fonctionnelles ou dans des situations d’apprentissage Dans la 1re partie du cycle, si certains élèves mémorisent la suite numérique jusqu’à 20 et même au-delà, pour d’autres élèves, l’enseignement à la mémorisation portera essentiellement sur les nombres jusqu’à 12

30 Travail en duo

31 Repérage dans les MER 1-2H : activités liées à la construction du nombre Mettre en évidence des activités du moyen d’enseignement qui permettent :  D’expérimenter les premiers nombres  De déterminer le nombre d’objets d’une collection par dénombrement ou estimation  De comparer deux collections  Augmenter au diminuer le nombre d’objets d’une collection  Mémoriser la suite numérique  Utiliser l’outil nombre dans un problème

32 Volée 1518 - Semestre 2 Cours 12 : Approche du nombre Didactique des mathématiques C. Hauser 2016

33 L'acquisition du nombre Les premiers pas

34  Le chiffre... est un symbole, un code  Le nombre... est une idée  Le nombre de… est une quantité

35 Autour du nombre trois Reproduire un ensemble de 3 objets : possible pour l'enfant dès 3 ans Montrer autant d'objets que de doigts (3) : possible dès 4 ans Dire combien on a entendu de coups frappés (3) : possible dès 5 ans

36 Analogique ou symbolique

37 Jeux de mains Relation entre calcul et utilisation des doigts

38 Abaques et bouliers Modélisation du nombre et des opérations Concept de position Décomposition en dizaines, centaines, … Notion d'échanges et de retenues Rôle du zéro

39 Le nombre ordinal 5 > 4 ou 4 > 5 ? Si l'enfant se réfère à la comptine : "un – deux – trois – quatre – cinq - …" Et qu'il en déduit : 5 est plus grand, car il vient "après 4" Il se réfère à l'aspect ordinal du nombre

40 5 > 4 ou 4 > 5 ? Avec l'expérience, l'enfant ne se réfère plus à la comptine : Il intègre les quantités associées aux symboles Il se réfère au cardinal du nombre Le nombre cardinal

41 La quantification approximative (subitizing)

42 La quantification approximative Plus de vert ou plus de rouge ?

43 La quantification approximative Plus de vert ou plus de rouge ?

44 La conservation du nombre selon Piaget 1.stade sensori-moteur (de la naissance à 2 ans) 2.période pré-opératoire (de 2 à 6-7 ans) 3.stade des opérations concrètes (de 6-7 ans à 11-12 ans) 4.stade des opérations formelles ou hypothético-déductif (dès 11-12 ans)

45 La conservation du nombre selon Piaget 1.Au stade pré-opératoire : l’enfant n’a pas encore de logique de conservation 2.Au stade des opérations concrètes : l’enfant admet la conservation. Sa logique porte sur les objets manipulables réels, concrets 3.Au stade des opérations formelles, sa logique s'applique également aux opérations hypothétiques, virtuelles et aux propositions

46 La conservation du nombre selon Piaget Tout d’abord,l’enfant doit établir une correspondance terme à terme

47 La conservation du nombre selon Piaget Lorsque l’équivalence est admise…

48 La conservation du nombre selon Piaget l’expérimentateur espace les jetons puis repose la question de conservation…

49 La conservation du nombre selon Piaget Avant l’âge de 6-7 ans, l’enfant répond qu’il y a « plus de rouge » car « ça dépasse » !

50 La conservation du nombre selon Piaget L’expérimentateur resserre les jetons (réversibilité), l’équivalence est à nouveau admise… L’enfant non-conservant n’y voit aucune contradiction

51 Un peu d’histoire Approche épistémologique

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53 Quelques repères  Sumériens : - 3500 apparition du nombre  Babyloniens : - 2500 invention du zéro  Egyptiens puis Grecs : Opérations, géométrie, trigonométrie  Occident : persistance de l’écriture romaine peu propice aux calculs (fin 18 ème s.)  Introduction du zéro en Occident au 12 ème s.  Symboles + et – au 15 ème siècle  Symboles x et : au 17 ème siècle  Théories mathématiques : 19 ème - 20 ème siècles

54 Chez les Chinois

55 Chez les Mayas En quoi la numération maya ressemble-t-elle au boulier chinois ? En quelle base les Mayas comptent-ils ?

56 Origine de nos chiffres

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58 Pièges de la numération 18 « Dix-huit » 10 + 8 300 « Trois cents » 3 x 100 333 « trois cent trente-trois » (3 x 100)+ (3 x 10) + (3 x 1) 200010 « deux cent mille dix » 2 x 100000 + 10

59 Erreurs liées à la langue 6011France"soixante et onze" 42013France"quatre-vingt- treize" 45  54Allemagne"Fünf und vierzig" 30004009Pays francophones "trois mille quatre cent neuf"

60 Travaux pratiques

61 Chez les Grecs 15 au 1 er siècle, Héron d’Alexandrie propose un algorithme pour calculer une racine

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63 Travaux pratiques Calculs de racines Repérage dans les MER 1-2H : activités liées à la construction du nombre Travail sur les séquences du stage 2.1

64 STAGES : quelques pistes  Distinguer nombre et nombre de  Donner son sens à zéro  Distinguer opérations, calculs, mesures  Utiliser un langage correct  Décrypter les fonctions du nombre

65 Références  Doisy Philippe A.(2006). A la racine des nombres. Ellipse.  Fayol Michel (2012) L'acquisition du nombre. PUF  Margolinas C. Wozniak F. (2012) Le nombre à l’école maternelle. De boeck. Outil : http://instrumenpoche.sesamath.net/http://instrumenpoche.sesamath.net/

66 COMPLEMENT Tableau comparatif des différentes numérations