II Circuits dans un graphe Une chaine est une liste ordonnée de sommets où deux sommets voisins de la liste sont des sommets adjacents du graphe.

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1 II Circuits dans un graphe Une chaine est une liste ordonnée de sommets où deux sommets voisins de la liste sont des sommets adjacents du graphe.

2 II Circuits dans un graphe Une chaine est une liste ordonnée de sommets où deux sommets voisins de la liste sont des sommets adjacents du graphe. Exemple : A EB DC

3 II Circuits dans un graphe Une chaine est une liste ordonnée de sommets où deux sommets voisins de la liste sont des sommets adjacents du graphe. Exemple : la chaine BECD A EB DC

4 II Circuits dans un graphe Une chaine est une liste ordonnée de sommets où deux sommets voisins de la liste sont des sommets adjacents du graphe. Exemples : la chaine BECD la chaine ACEA EBEB DC DC

5 II Circuits dans un graphe La longueur d’une chaine est le nombre d’arêtes la composant. Exemples : la chaine BECD la chaine ACE longueur 3longueur 2A EBEB DC DC

6 Propriété : soit M la matrice d’un graphe. p est un entier non nul. M p désigne la matrice produit M × M × … × M ( p fois ) L’élément a ij de la matrice M p est le nombre de chaines de longueur p allant du sommet i au sommet j.

7 Propriété : soit M la matrice d’un graphe. p est un entier non nul. M p désigne la matrice produit M × M × … × M ( p fois ) L’élément a ij de la matrice M p est le nombre de chaines de longueur p allant du sommet i au sommet j. A A B C D E A EB M = B C DC D E

8 Propriété : soit M la matrice d’un graphe. p est un entier non nul. M p désigne la matrice produit M × M × … × M ( p fois ) L’élément a ij de la matrice M p est le nombre de chaines de longueur p allant du sommet i au sommet j. A A B C D E A 0 1 1 1 0 EB M = B 1 0 0 0 1 C 1 0 0 1 1 DC D 1 0 1 0 0 E 0 1 1 0 0

9 Déterminez les chaines de longueur 2 de A à A p est un entier non nul. M p désigne la matrice produit M × M × … × M ( p fois ) L’élément a ij de la matrice M p est le nombre de chaines de longueur p allant du sommet i au sommet j. A A B C D E A 3 0 1 1 2 EB M² = B 0 2 2 1 0 C 1 2 3 1 0 DC D 1 1 1 2 1 E 2 0 0 1 2

10 Déterminez les chaines de longueur 2 de A à A Il y a 3 chaines de longueur 2 de A à A : ABA ; ACA ; ADA A A B C D E A 3 0 1 1 2 EB M² = B 0 2 2 1 0 C 1 2 3 1 0 D C D 1 1 1 2 1 E 2 0 0 1 2

11 Déterminez les chaines de longueur 3 de C à E. A A B C D E A 0 1 1 1 0 EB M = B 1 0 0 0 1 C 1 0 0 1 1 D C D 1 0 1 0 0 E 0 1 1 0 0

12 Déterminez les chaines de longueur 3 de C à E. Il y a 5 chaines de longueur 3 de C à E : A A B C D E A 2 5 6 4 1 EB M 3 = B 5 0 1 2 4 C 6 1 2 4 5 D C D 4 2 4 2 2 E 1 4 5 2 0

13 Déterminez les chaines de longueur 3 de C à E. Il y a 5 chaines de longueur 3 de C à E : CABE ; CACE ; CDCE ; CECE ; CEBE. A A B C D E A 2 5 6 4 1 EB M 3 = B 6 0 1 2 4 C 6 1 2 4 5 D C D 4 2 4 2 2 E 1 4 5 2 0

14 II Circuits dans un graphe La distance entre deux sommets est la plus petite longueur de toutes les chaines les reliant ( longueur de la chaine la plus courte entre les deux sommets ). A EB DC

15 II Circuits dans un graphe La distance entre deux sommets est la plus petite longueur de toutes les chaines les reliant. Exemples : distance BC = distance DA =A EBEB DC DC

16 II Circuits dans un graphe La distance entre deux sommets est la plus petite longueur de toutes les chaines les reliant. Exemples : distance BC = 2 distance DA = 1 chaines BAC ( 2 ) BEC ( 2 ) BADC ( 3 )DA ( 1 ) DCA ( 2 ) DCEBA (4) Aetc…A etc… EBEB DC DC

17 II Circuits dans un graphe Le diamètre d’un graphe est la plus grande distance de toutes les chaines reliant tous les sommets. A EB DC

18 II Circuits dans un graphe Le diamètre d’un graphe est la plus grande distance de toutes les chaines reliant tous les sommets. Distance : longueur minimale, donc entre 2 sommets on ne repasse pas par une arête déjà utilisée. A EB DC

19 II Circuits dans un graphe Le diamètre d’un graphe est la plus grande distance de toutes les chaines reliant tous les sommets. Distance : longueur minimale, donc entre 2 sommets on ne repasse pas par une arête déjà utilisée. A EB DC longueur ABCDE A B C D E

20 II Circuits dans un graphe Le diamètre d’un graphe est la plus grande distance de toutes les chaines reliant tous les sommets. Distance : longueur minimale, donc entre 2 sommets on ne repasse pas par une arête déjà utilisée. A EB DC l ongueur ABCDE A01112 B10221 C12011 D12102 E21120

21 II Circuits dans un graphe Le diamètre d’un graphe est la plus grande distance de toutes les chaines reliant tous les sommets. Le diamètre du graphe est 2, correspondant par exemple aux chaines BAD, CEB, ACD… A EB DC longueur ABCDE A01112 B10221 C12011 D12102 E21120

22 II Circuits dans un graphe Une chaine fermée est une chaine où l’origine et l’extrémité sont confondues.

23 II Circuits dans un graphe Une chaine fermée est une chaine où l’origine et l’extrémité sont confondues. Exemples : la chaine fermée BECDAB la chaine fermée ACEBACEBAA EBEB DC DC

24 II Circuits dans un graphe Un cycle est une chaine fermée où les arêtes utilisées ne l’ont été qu’une seule fois.

25 II Circuits dans un graphe Un cycle est une chaine fermée où les arêtes utilisées ne l’ont été qu’une seule fois. Exemples : le cycle BECDAB le cycle ACEBAA EBEB DC DC

26 II Circuits dans un graphe Une chaine eulérienne est une chaine utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois.

27 II Circuits dans un graphe Une chaine eulérienne est une chaine utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois. Exemples : la chaine eulérienne la chaine eulérienne ABECDAC CEBACDAA EBEB DC DC

28 II Circuits dans un graphe Un cycle eulérien est une chaine fermée utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois.

29 II Circuits dans un graphe Un cycle eulérien est une chaine fermée utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois. Exemples : le cycle ABECDACle cycle CEBACDA n’est pas une chaine fermée ! idemA EBEB DC DC

30 Ajoutez une arête au graphe pour obtenir un cycle eulérien : est une chaine fermée utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois. Exemples : le cycle ABECDACle cycle CEBACDA n’est pas une chaine fermée ! idemA EBEB DC DC

31 Ajoutez une arête au graphe pour obtenir un cycle eulérien : Un cycle eulérien est une chaine fermée utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois. Exemples : le cycle eulérien ABECDACAle cycle CEBACDA est une chaine fermée ! n’est pas une chaine fermée !A EBEB DC DC

32 Ajoutez une arête au graphe pour obtenir un cycle eulérien : Un cycle eulérien est une chaine fermée utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois. Exemples : le cycle eulérien ABECDACAle cycle eulérien CEBACDAC A EBEB DC DC

33 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Un cycle eulérien est une chaine fermée utilisant toutes les arêtes du graphe une seule fois. Exemples : le cycle eulérien ABECDACAle cycle eulérien CEBACDAC A EBEB DC DC

34 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Exemples : le cycle eulérien ABECDACAle cycle eulérien CEBACDAC degrésA4A4 E2B2E2B2 D2 C4 D2 C4

35 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Pourquoi ?

36 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet : 1 ère arête

37 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet : 1 ère arête 2 ème arête

38 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet : 3ème 1 ère arête 2 ème arête

39 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet : 3ème 1 ère arête 4ème 2 ème arête

40 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet : 3ème 1 ère arête 4ème 2 ème arête

41 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet : 1 ère arête etc…

42 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet, elle part de ce sommet sans s’y terminer : 1 ère arête dernière arrête etc…

43 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 2 ème cas : supposons que la chaine termine par ce sommet : dernière arrête

44 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 2 ème cas : supposons que la chaine termine par ce sommet : dernière arrête

45 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 2 ème cas : supposons que la chaine termine par ce sommet : dernière arrête

46 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 2 ème cas : supposons que la chaine termine par ce sommet : dernière arrête

47 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 2 ème cas : supposons que la chaine termine par ce sommet : dernière arrête etc…

48 Quelles sont les conditions pour avoir un cycle eulérien ? Il faut que tous les sommets soient de degré pair. Car si un sommet est de degré impair, 2 ème cas : supposons que la chaine termine par ce sommet, elle ne part pas de ce sommet : 1 ère arête dernière arrête etc…

49 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet, elle … 1 ère arête etc…

50 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet, elle … 1 ère arête etc…

51 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet, elle … 1 ère arête etc…

52 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet, elle … : 1 ère arête etc…

53 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine commence par ce sommet, elle termine par ce sommet : 1 ère arête etc…

54 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine termine par ce sommet, elle … dernière arête

55 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine termine par ce sommet, elle … dernière arête avant-dernière arête

56 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine termine par ce sommet, elle … dernière arête

57 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine termine par ce sommet, elle … dernière arête etc…

58 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine termine par ce sommet, elle … dernière arête etc…

59 Si un sommet est de degré pair, 1 er cas : supposons que la chaine termine par ce sommet, elle commence par ce sommet. dernière arête etc…

60 Conclusion : Un sommet de degré impair est un sommet …

61 Conclusion : Un sommet de degré impair est un sommet d’origine ou d’extrémité d’une chaine eulérienne.

62 Combien peut-on avoir de sommets de degrés impairs pour obtenir une chaine eulérienne ou un cycle eulérien ? …

63 2, pour une chaine eulérienne qui commence par 1 sommet de degré impair et se termine par 1 sommet de degré impair. 0, pour un cycle eulérien qui commence et se termine par n’importe quel sommet de degré pair.

64 Théorème d’Euler : Pour avoir une chaine eulérienne ( sans qu’il soit un cycle eulérien ) il faut qu’il y ait 2 sommets de degrés impairs. Pour avoir un cycle eulérien il faut qu’il y ait 0 sommet de degrés impairs.

65 Résumé : → signifie « toutes les arêtes du graphe » → signifie « arêtes de la chaine utilisées une seule fois » chaine → chaine fermée → cycle → cycle eulérien chaine eulérienne

66 Application : étudions… …

67 Application : étudions… les ponts de Königsberg ! Au 18 ème siècle, les habitants de Königsberg se demandèrent s’il était possible de trouver un chemin passant sur tous les 7 ponts de la ville et une seule fois. Rive Nord Ile Ouest Ile Est Rive Sud

68 Application : étudions… les ponts de Königsberg ! Au 18 ème siècle, les habitants de Königsberg se demandèrent s’il était possible de trouver un chemin passant sur tous les 7 ponts de la ville et une seule fois. Rive Nord Ile Ouest Ile Est Rive Sud

69 Application : étudions… les ponts de Königsberg ! Au 18 ème siècle, les habitants de Königsberg se demandèrent s’il était possible de trouver un chemin passant sur tous les 7 ponts de la ville et une seule fois. Rive Nord 3 degrés : Ile Ouest 5 Ile Est 3 Rive Sud 3

70 On a 4 sommets de degrés impairs, donc d’après le théorème d’Euler il n’est pas possible d’avoir une chaine eulérienne ni un cycle eulérien, donc il est impossible de passer une seule fois sur tous les ponts de la ville. Rive Nord 3 degrés : Ile Ouest 5 Ile Est 3 Rive Sud 3