Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre.

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1 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFon dessine le cube D C AB

2 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFon dessine le cube puis le tétraèdre D C AB

3 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFtoutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont … D C AB

4 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFtoutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont … D C AB

5 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFtoutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D Ctriangles équilatéraux de côté de longueur GC. GB = ? AB

6 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFtoutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D Ctriangles équilatéraux de côté de longueur GC. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = √2 a AB

7 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFtoutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D Ctriangles équilatéraux de côté de longueur GC. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = √2 a AB D E G D BD

8 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFtoutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D Ctriangles équilatéraux de côté de longueur GC. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = √2 a AB D Aire = 4 × aire d’un triangle = 4 × ( base × hauteur / 2 ) E G D BD

9 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G EFtoutes les faces du tétraèdre sont des triangles dont les 3 côtes sont une diagonale d’une face du cube. Donc les faces du tétraèdre sont des D Ctriangles équilatéraux de côté de longueur GC. Pythagore dans GCB : GB² = BC² + CG² = a² + a² = 2a² donc GB = √2 a AB D Aire = 4 × aire d’un triangle = 4 × ( base × hauteur / 2 ) triangle équilatéral de côté a : = 4 × (√2 a × ((√3) √2 a /2) / 2 ) hauteur = (√3)a/2E G= 2 √3 a² D BD

10 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G le cube est occupé par le tétraèdre étudié, et par 4 tétraèdres de mêmes EF dimensions, donc de même volume. Par exemple ABDE : v = base × hauteur / 3 D C = ( a × a / 2 ) × a / 3 = a 3 / 6 ABV = …

11 Exercice 6 : Soient le cube ABCDEFGH et le tétraèdre BDEG. Déterminez la perspective cavalière, le patron, l’aire de l’enveloppe, et le volume du tétraèdre ( on déterminera d’abord les volumes des tétraèdres comme BEFG, BCDG, etc… ). H G le cube est occupé par le tétraèdre étudié, et par 4 tétraèdres de mêmes EF dimensions, donc de même volume. Par exemple ABDE : v = base × hauteur / 3 D C = ( a × a / 2 ) × a / 3 = a 3 / 6 ABV = V cube - 4 v = a 3 - 4 (a 3 / 6) = (3a 3 / 3) - 2 (a 3 / 3) = a 3 / 3