Systèmes d’équations du premier degré à deux variables

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1 Systèmes d’équations du premier degré à deux variables
y1 = ax + b y2 = ax + b Introduction

2 Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations.
Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ($) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Si toutes les relations formant le système sont linéaires, le système est également qualifié de linéaire.

3 Résoudre un système d'équations, c’est déterminer les coordonnées du point pour lequel les deux équations sont égales. Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ($) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Couple solution (3 , 11) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système.

4 Exemple : Deux amis travaillent dans deux entreprises de fabrication de planches à neige. Tous les deux préparent la finition des planches. Le premier reçoit quotidiennement un salaire de base de 2 $ plus 3 $ par planche; l'autre reçoit quotidiennement un salaire de base de 5 $ plus 2 $ par planche. À partir de combien de planches, les deux auront-ils gagné le même montant ? 1ère étape : Identifier les variables. Il est donc essentiel de bien lire la situation. x : le nombre de planches y : le montant gagné 2e étape : Établir le système (c’est-à-dire, trouver les équations). y1 = 3x + 2 le montant gagné = 3,00$ par planche + 2,00$ (salaire de base) et y2 = 2x + 5 le montant gagné = 2,00$ par planche + 5,00$ (salaire de base) 3e étape : Résoudre le système pour lesquelles les équations sont égales). (c’est-à-dire chercher les valeurs de x et de y

5 3e étape : Résoudre le système Pour résoudre un système, on peut utiliser plusieurs méthodes. Par une table de valeurs : 1 2 3 4 5 8 11 14 7 9 13 x y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 On peut remarquer que lorsque les deux amis auront fini 3 planches, ils auront le même salaire. 4e étape : (c’est-à-dire, vérifier si les calculs donnent la même réponse pour les deux équations). Valider la solution y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 11 = 3 X 3 + 2 11 = 2 X 3 + 5 la valeur de la variable y est la même dans les deux équations Pour une même valeur de la variable x (x = 3), (y1 = y2 = 11). Le couple solution ou l'ensemble-solution de cette situation est donc (3 , 11).

6 3e étape : Résoudre le système Par une table de valeurs : 1 2 3 4 5 8 11 14 7 9 13 x y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Remarque La table de valeurs est un procédé intéressant quand on possède une calculatrice à affichage graphique (comme la TI-80). Pour des valeurs entières de x et de y, la recherche est assez simple; cependant, pour des valeurs fractionnaires ou décimales, la recherche peut devenir fastidieuse.

7 3e étape : Résoudre le système Par un graphique : Nombre de planches
13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ($) 12 11 10 9 8 7 6 y1 = 3x + 2 y2 = 2x + 5 Couple solution (3 , 11) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système. La méthode graphique est intéressante, car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise.

8 Par résolution algébrique :
y2 = 2x + 5 y1 = 3x + 2 Nombre de planches 13 1 2 3 4 5 Salaires comparés Montant gagné ($) 12 11 10 9 8 7 6 À ce point précis, les deux équations sont égales. En utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

9 La méthode de comparaison
Cette méthode consiste à comparer les deux équations en utilisant le raisonnement ci-dessous. Pour calculer y1 , on doit utiliser y1 = 3x + 2 Équation avec 2 variables. Pour calculer y2 , on doit utiliser y2 = 2x + 5 Équation avec 2 variables. Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2 alors 3x + 2 = 2x + 5 On compare ainsi les deux équations. On se retrouve alors avec une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule variable. 3x + 2 = 2x + 5 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

10 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.
-2 = 2x + 5 3x = 2x -2x x = 3 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations. y1 = 3 x + 2 y2 = 2 x + 5 11 = 3 X 3 + 2 11 = 2 X 3 + 5 Couple solution : (3 , 11) Remarque : La méthode algébrique est la méthode la plus précise.

11 Problème Maxime a planté un arbre de 135 cm de hauteur près de sa maison. Cet arbre croît au rythme de 15 cm par année. Anne-Lyne, sa sœur, a planté un arbre d’une autre espèce qui mesure 75 cm de hauteur, mais qui croît de 20 cm par année. A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ? B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? 1ère étape : Identifier les variables. x : le nombre d’années y : la hauteur de l’arbre 2e étape : Établir le système : y1 = 15x + 135 et y2 = 20x + 75 3e étape : Résoudre le système par la méthode de comparaison. Sachant qu’un point de rencontre y1 = y2 alors 15x = 20x + 75

12 15x = 20x + 75 -75 15x = 20x -15x 60 = 5x 5 12 12 = x 4e étape : Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations. y1 = 15x + 135 315 = 15 X 5e étape : Valider la solution en vérifiant avec les deux équations. y1 = 15x + 135 y2 = 20x + 75 315 = 15 X 315 = 20 X Couple solution : (12 , 315)

13 Ensemble-solution : (12 , 315) A) Après combien d’années, les arbres seront-ils de la même hauteur ? Réponse : 12 ans B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? Réponse : 315 cm