Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy

Présentation au sujet: "Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy"— Transcription de la présentation:

1 Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy
Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre 2011-

2 musique : savart, construction des gammes, …
Les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielles dans la vie quotidienne chimie : pH, ... acoustique : décibel, … biologie : magnitude, … musique : savart, construction des gammes, … en Physique (la radioactivité) et bien d’autres applications encore …

3 Lexique logarithme népérien fonction logarithmigue/fonction logarithme
fonction exponentielle( de base a ) puissance logarithme décimal bijective surjective inversable asymptote horizontale asymptote verticale tableau de valeurs monotonie courbe axe de symétrie bissectrice domaine de définition équations inéquations

4 ~ La fonction logarithmique

5 I)Définition et lois des LOGARITHMES
Soit a>1 ,a ≠1 et l`équation ax =n où n est un nombre réel strictement positif. Comme la fonction exponentielle est bijective, on en déduit que l`équation a une seule solution x, qui, par définition, est le logarithme de basse a de n.On note loga x On sait que 3x = 27 x = log3 27 donc an = x n = loga x loga 1 = 0 (car a0 = 1) Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1 Par conséquent : loga c = 1 (car a1 = a) Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4 !!!!!!Remarques: ->LN note le logarithme de base e ;en hommage à John Neper, mathématicien écossais, qui se trouve à l`origine des tables des logarithmes. ->LG note le logarithme de base 10 ,ou le logarithme décimal. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de loge x .

6 Proprietes des logarithmes
Note : log3 x2 ≠ log3 2x log3 x2 = log3 (x • x) log3 2x = log3x • log3x car

7 Exemples : log2 9 log2 3 a) Simplifier b) Simplifier log2 x2 – log2 x . x2 x log2 x2 – log2 x = log2 = log2 x log2 9 log2 3 log2 32 log2 3 2 log2 3 log2 3 = = = 2 c) Simplifier log6 2x4 + log6 3 . log6 2x4 + log6 3 = log6 (2x4 • 3) = log6 6x4 = log log6 x4 = log6 x

8 sign(loga x)=sign(a-1)(x-1)
Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=loga x) 1.f(1)=0 2.LA MONOTONIE ~si a>1 ,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1< loga x2 ~si 0<a<1 ,alors f strictement décroissante,c `est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1> loga x2 3.LE SIGNE (conséquence de monotonie) ~pour a>1, loga x >0 si x>1 et loga x<0 si 0<x<1 ~pour 0<a<1 , loga x>0 si 0<x<1 et loga x<0 si x>1 On remarque que loga x si et seulement si a et x ont la même position par rapport à un. Plus précisément ,si la base et l`argument sont inférieurs à 1 ou supérieurs à 1 , à la fois ,alors loga x>0 ,sinon , loga x<0.Une manière très pratique d’exprimer ce résultat est la suivante : sign(loga x)=sign(a-1)(x-1) 4. f est un fonction bijective donc, inversable.Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout y réel, il existe un seul x= ay réel strictement positif,qui est la solution de l`équation:loga x=y. Réciproquement ,l`équation ax =y a une seule solution x=loga y pour tout y réel strictement positif.

9 5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 X 0 1 ∞ | -∞ ↗ 0 ↗ ∞
∞ | -∞ ↗ ↗ ∞ 1 1 Pour 0<a<1 X ∞ | ∞ ↘ ↘ ∞ *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

10 6.Graphique: est trasé pqr des points . Gf admit des asymptotes.
7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’inéquations: 9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations. loga x=y=>x= ay

11 10.Bijectivité Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)= ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

12 Équations logaritmiques et graphique
f(x) = logc x (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = log2 x (forme générale de BASE où c  1 ) f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple: : f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5 Exemple : x = h (Équation de l’asymptote) 1 1)f(x) = log2 x x f(x)  1 2 1 4 2 Asymptote x = 0 8 3 -1 -2

13 2)f(x) = log½ x x f(x)  1 2 -1 4 -2 8 -3 ½ 1 ¼ 2 x f(x)
(forme générale de BASE où c  ]0, 1[ ) 1 x f(x)  Asymptote x = 0 1 2 -1 4 -2 8 -3 1 1 2 x f(x) 3)f(x) = log2 (x + 4) -4  (forme c  1 et h = -4) -3 -2 1 2 Asymptote x = - 4 4 3

14 f(x) = a logcb(x – h) + k x = h Dom f = ] k , +∞ Ima f = 
1 f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  1 x = h (Équation de l’asymptote) Dom f = ] k , +∞ Ima f =  1) f(x) = log2 (x + 4) 1 Asymptote x = h (forme c  1 et h = -4) c  ] 0 ,1 [ x f(x) Asymptote x = - 4 -4  -3 -2 1 2 4 3

15 Résolutions d’inéquations
Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . 1 log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . Asymptote x = - 4 Asymptote x = 6

16 Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 .
Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 log2 (x + 4) + log2 (x – 6)  9 – 5 log2 [ (x + 4) • (x – 6) ]  4 (x + 4) • (x – 6)  24 x2 – 2x – 24  16 x2 – 2x – 40  0 x1  – 5,40 x2  7,40 À rejeter Réponse : x  [ 7,40 , +

17 Exemple #2 : Résoudre (1/2)x + 3 ≤ 52x – 1 . log (1/2)x + 3 ≤ log 52x – 1 . (x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5 (x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7) - 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7 - 0,2 ≤ 1,7x - 0,12 ≤ x Réponse : x  [ - 0,12 , +

18

19

20 Base naturelle « e » e ≈ 2,7182818… ex = y x = loge y loge x = ln x
Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : e ≈ 2, … C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que : ex = y x = loge y Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de loge x. loge x = ln x

21 La fonction Exponentielle

22 Définition Soit q un nombre réel strictement positif et x un nombre réel quelconque : Si x est un nombre rationnel, alors ax est défini. On veut attribuer un sens à ax pour x irrationelle.Pour cela, rappelons quelques résultats d’analiyse mathématique concernant les suites convergentes: 1. Pour tout nombre réel x , il existe deux suites des nombres rationnels ,tel que Note:On peut prendre les suites comme les approximations décimales Par défaut ;respectivement par excès: est une suite convergente de nombres rationnels 2.Si a est un réel, a>0 et et alors la suite et est aussi convergente. 3.Pour tous réels x et y, ex > ey  x > y ex = ey  x = y ex > 1  x > 0 ex < 1  x < 0

23 Propriétés des logarithmes
TERMINOLOGIE base exposant = puissance Ex. : 32 = 9 LOIS DES EXPOSANTS a b am bm m  am • an = am + n  = am an  = am – n  (am)n = amn 1 am  (ab)m = am bm  a - m =

24 Proprietes de la fonction exponentielle
2.La monotonie de f f strictement croissante pour a>1,ce qui équivaut à: tous -f est strictement décroissante pour 0<a<1 ,ce qui équivaut à:

25 5.LES TABLEAUX DE VARIATION:
Pour a>0 X -∞ ∞ f(x)= ↗ ↗ ∞ Pour 0<a<1 X -∞ ∞ f(x)= ∞ ↘ ↘ 0 *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

26 6.Graphique: est trasée pqr des points . Gf admet des asymptotes.
7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’équations. 9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations. .

27 10.Bijectivité Note: Les représentations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)= ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

28 De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles. Exemple : Avec LOG Avec LN 3x = 2x – 1 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 ln 3x = ln 2x – 1 x • log 3 = (x – 1) • log 2 x • ln 3 = (x – 1) • ln 2 x • (0,477) = (x – 1) • (0,3) x • (1,1) = (x – 1) • (0,7) 0,477x = 0,3x – 0,3 1,1x = 0,7x – 0,7 0,177x = – 0,3 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 x = – 1,7 Réponse : x  { -1,7 } Réponse : x  { -1,7 }

29 Équations et graphique
f(x) = cx (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = 2x f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple : f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5 f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE) Exemple : f(x) = 3 • 2x – 3 + 5

30 1)f(x) = 2 • 3x – 1 – 5 x f(x) - 4,3 1 - 3 2 1 3 13 -1 - 4,8 -2 - 4,9
(forme générale TRANSFORMÉE) x f(x) - 4,3 1 - 3 2 1 3 13 y = (asymptote) -1 - 4,8 -2 - 4,9

31 Équation de l’asymptote
1 2)f(x) = a cb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  ] 0 ,1 [ c  1 y = k Équation de l’asymptote Dom f =  Ima f = ] k , +∞ y = k (asymptote)

32 Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 . 0 = 11 (72x – 1) – 539 539 = 11 (72x – 1) 49 = 72x – 1 72 = 72x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x 3 2 = x 3 2 Réponse : x  { }

33 1 2 Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 . 1 2 0 = (6x+1) – 108 1 2 108 = (6x+1) 216 = 6x+1 63 = 6x+1 3 = x + 1 2 = x Réponse : x  { 2 }

34 1 5 Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 . 1 5 0 = 625 ( )3x – 1 1 625 1 5 = ( )3x 1 54 1 5 = ( )3x 1 5 1 5 ( )4 = ( )3x 4 = 3x 4 3 4 3 = x Réponse : x  { }

35 1 4 Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x 1 22 ( )8x = 2-10x + 18 (2-2)8x = 2-10x +18 2-16x = 2-10x + 18 -16x = -10x + 18 -18 = 6x -3 = x Réponse : x  { -3 }

36 Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 .
Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de (3-0,08x) < 52 . (3-0,08x) < 52 3 10 234 (3-0,08x) < 78 1 3 3-0,08x < y = 52 3-0,08x < 3-1 -0,08x < -1 x  12,5 y = (asymptote) Réponse : x  ] 12,5 , + ∞

37 À partir d’un problème de « BACTÉRIES » …
Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de ? f(x) = 500 (2)x/5 = 500 (2)x/5 256 = (2)x/5 28 = 2x/5 x 5 8 = 40 = x Réponse : Après 40 heures.

38 Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? a) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 1 C(t) = ( )1t C(3) = (1,05)3 C(3) ≈ 1157,63 C(t) = (1,05)t Réponse : 1157,63 $ b) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 3 C(t) = ( )3t C(3) = (1,01667)3(3) C(3) ≈ 1160,40 C(t) = (1,01667)3t Réponse : 1160,40 $ c) Règle générale… Après 3 ans… 0,05 12 C(t) = ( )12t C(3) = (1, )12(3) C(3) ≈ 1161,47 C(t) = (1, )12t Réponse : 1161,47 $

39 Devoir: 1. Résoudre dans IR les équations suivantes : a)ex = 2 b)ln(x) = 3 c)e2x+3 = 1 d)e2x – 5 = e x e)ex = e4x²+5x+1 f) ln(2x+1) - ln(x-1) = 1 g)ln(x-2) + ln(x+1) = ln(3x-5) 2. On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.

40 Sources principales: http://matematicadnl.wikispaces.com/
“Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon”-Sorina Danaila , Gabriela Siclovan,Gabriela Sandulescu Programs utilisés: Microsoft Office 2007; Mathtype 6.7; Graph 4.3; Paint;