Exercice 2 : 1°) On mise 5 €. On pioche en même temps 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons.

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1 Exercice 2 : 1°) On mise 5 €. On pioche en même temps 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons sont de la même couleur. Le jeu est-il équitable ? Déterminez l’écart-type de la variable aléatoire donnant le gain global d’un joueur. 2°) Combien faudrait-il de jetons rouges avec 2 jetons verts pour que le jeu soit favorable au joueur ? 3°) Il y a 6 jetons rouges et 2 jetons verts. Que devrait être la mise pour que le jeu soit équitable ? 4°) Il y a 2 jetons verts et 3 jetons rouges et on mise 5 €. Combien faudrait-il ajouter de jetons noirs pour que l’organisateur fasse un gain probable moyen d’au moins 1 € par joueur ? 5°) Quel serait alors le gain maximal de l’organisateur, et pour combien de jetons noirs ? On utilisera sa calculatrice.

2 Exercice 2 : 1/4 V 2/5 V 3/4 R 3/5 R 2/4 V 2/4 R
1°) On mise 5 €. On pioche 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons sont de la même couleur. Le jeu est-il équitable ? Déterminez l’écart-type de la variable aléatoire donnant le gain final d’un joueur. 1/4 V 2/5 V 3/4 R 3/5 R 2/4 V 2/4 R

3 Exercice 2 : 1/4 V 2/20 2/5 V 3/4 R 6/20 3/5 R 2/4 V 6/20 2/4 R 6/20
1°) On mise 5 €. On pioche 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons sont de la même couleur. Le jeu est-il équitable ? Déterminez l’écart-type de la variable aléatoire donnant le gain final d’un joueur. 1/4 V 2/20 2/5 V 3/4 R 6/20 3/5 R 2/4 V 6/20 2/4 R 6/20

4 Exercice 2 : 2/5 V 3/4 R 6/20 0 € gagnés 3/5 R 2/4 V 6/20 0 € gagnés
1°) On mise 5 €. On pioche 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons sont de la même couleur. Le jeu est-il équitable ? Déterminez l’écart-type de la variable aléatoire donnant le gain final d’un joueur. mise 5 € /4 V 2/ € gagnés 2/5 V 3/4 R 6/ € gagnés 3/5 R 2/4 V 6/ € gagnés 2/4 R 6/ € gagnés

5 Exercice 2 : 2/5 V 3/4 R 6/20 0 € gagnés p( X = xi ) 0,6 0,4
1°) On mise 5 €. On pioche 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons sont de la même couleur. Le jeu est-il équitable ? Déterminez l’écart-type de la variable aléatoire donnant le gain final d’un joueur. mise 5 € /4 V 2/ € gagnés valeurs xi prises par X 2/5 V 3/4 R 6/ € gagnés p( X = xi ) ,6 0,4 3/5 R 2/4 V 6/ € gagnés 2/4 R 6/ € gagnés

6 Exercice 2 : 2/5 V 3/4 R 6/20 0 € gagnés p( X = xi ) 0,6 0,4
1°) On mise 5 €. On pioche 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons sont de la même couleur. Le jeu est-il équitable ? Déterminez l’écart-type de la variable aléatoire donnant le gain final d’un joueur. mise 5 € /4 V 2/ € gagnés valeurs xi prises par X 2/5 V 3/4 R 6/ € gagnés p( X = xi ) ,6 0,4 3/5 R 2/4 V 6/ € gagnés 2/4 R 6/ € gagnés moyenne probable E(X) = Σ pi xi = 0,6(- 5) + 0,4(5) = = - 1 E(X) ≠ 0 donc le jeu n’est pas équitable.

7 Exercice 2 : 2/5 V 3/4 R 6/20 0 € gagnés p( X = xi ) 0,6 0,4
1°) On mise 5 €. On pioche 2 jetons dans un sac contenant 2 jetons verts et 3 jetons rouges. On remporte 10 € si les jetons sont de la même couleur. Le jeu est-il équitable ? Déterminez l’écart-type de la variable aléatoire donnant le gain final d’un joueur. mise 5 € /4 V 2/ € gagnés valeurs xi prises par X 2/5 V 3/4 R 6/ € gagnés p( X = xi ) ,6 0,4 3/5 R 2/4 V 6/ € gagnés 2/4 R 6/ € gagnés p( X = 5 ) = (2/5)×(1/4) + (3/5)×(2/4) = 8/20 = 4/10 = 0,4 p( X = - 5 ) = (2/5)×(3/4) + (3/5)×(2/4) = 12/20 = 6/10 = 0,6 moyenne probable E(X) = Σ pi xi = 0,6(- 5) + 0,4(5) = = - 1 E(X) ≠ 0 donc le jeu n’est pas équitable ( et défavorable au joueur ). σ(X) = √ [ ∑ ni xi² - ( E(X) )² ] = √ [ 0,6(- 5)² + 0,4(5)² - (- 1)² ] = √24 valeur exacte ≈ 4,89… valeur approchée

8 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’
2°) Combien faudrait-il de jetons rouges pour que le jeu soit favorable au joueur ? mise 5 € /(n+1)V 10 € gagnés valeurs xi prises par X 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ n/(n+2)R 2/(n+1) V 0 € gagnés (n-1)/(n+1) R € gagnés

9 2 n n 2 4n p = × + × = n+2 n+1 n+2 n+1 (n+1)(n+2)
2°) Combien faudrait-il de jetons rouges pour que le jeu soit favorable au joueur ? mise 5 € /(n+1)V 10 € gagnés valeurs xi prises par X 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ n/(n+2)R 2/(n+1) V 0 € gagnés (n-1)/(n+1) R € gagnés n n n p = × × = n n n n (n+1)(n+2)

10 2 n n 2 4n p = × + × = n+2 n+1 n+2 n+1 (n+1)(n+2) 2 1 n n-1 2+n(n-1)
2°) Combien faudrait-il de jetons rouges pour que le jeu soit favorable au joueur ? mise 5 € /(n+1)V 10 € gagnés valeurs xi prises par X 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ n/(n+2)R 2/(n+1) V 0 € gagnés (n-1)/(n+1) R € gagnés n n n p = × × = n n n n (n+1)(n+2) n n n(n-1) p’ = × × =

11 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’
2°) Combien faudrait-il de jetons rouges pour que le jeu soit favorable au joueur ? mise 5 € /(n+1)V 10 € gagnés valeurs xi prises par X 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ n/(n+2)R 2/(n+1) V 0 € gagnés p = 4n/[(n+1)(n+2)] (n-1)/(n+1) R € gagnés p’ = [2+n(n-1)]/[(n+1)(n+2)] jeu favorable au joueur : E(X) > 0 donc Σ pi xi = p(- 5) + p’(5) > 0

12 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’
2°) Combien faudrait-il de jetons rouges pour que le jeu soit favorable au joueur ? mise 5 € /(n+1)V 10 € gagnés valeurs xi prises par X 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ n/(n+2)R 2/(n+1) V 0 € gagnés p = 4n/[(n+1)(n+2)] (n-1)/(n+1) R € gagnés p’ = [2+n(n-1)]/[(n+1)(n+2)] jeu favorable au joueur : E(X) > 0 donc Σ pi xi = p(- 5) + p’(5) > 0 4n n(n-1) (- 5) (5) > 0 (n+1)(n+2) (n+1)(n+2) - 20n n² - 5n n² - 25n + 10 > > 0 (n+1)(n+2) (n+1)(n+2) (n+1)(n+2) n = nombres jetons rouges donc n est un entier positif donc (n+1)(n+2) est positif donc 5n² - 25n + 10 > 0

13 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’
2°) Combien faudrait-il de jetons rouges ( avec 2 jetons verts ) pour que le jeu soit favorable au joueur ? mise 5 € /(n+1)V 10 € gagnés valeurs xi prises par X 2/(n+2)V n/(n+1)R 0 € gagnés p( X = xi ) p p’ n/(n+2)R 2/(n+1) V 0 € gagnés p = 4n/[(n+1)(n+2)] (n-1)/(n+1) R € gagnés p’ = [2+n(n-1)]/[(n+1)(n+2)] jeu favorable au joueur : E(X) > 0 donc Σ pi xi = p(- 5) + p’(5) > 0 5n² - 25n + 10 > ∆ = (-25)² - 4(5)(10) = 425 = (5√17)² racines ( √17 )/10 = ( 5 - √17 ) / 2 ≈ 0,438… et ( 5 + √17 ) / 2 ≈ 4,56... Le polynôme est du signe de a = 5 > 0 à l’extérieur des racines, et on veut qu’il soit > 0, donc n est dans ≈ ] - ∞ ; 0,438… [ union ] 4,56… ; + ∞ [. n est le nombres de jetons rouges, donc un entier positif, donc n est dans { 0 ; 5 ; 6 ; etc…}. Soit 0 jetons rouges, soit au moins 5.