L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

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1 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

2 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

3 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

4 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

5 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

6 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

7 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

8 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

9 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

10 L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :
Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela :

11 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

12 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

13 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

14 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

15 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

16 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

17 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

18 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

19 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

20 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

21 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

22 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

23 Algorithme de balayage : on veut résoudre l’équation f(x) = k sur un intervalle [ a ; b ] où f est monotone. L’ algorithme de dichotomie réalisait cela : L’algorithme de balayage doit réaliser cela :

24 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc … A B

25 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc … A B

26 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc … A B

27 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc … A B

28 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P

29 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P et dès que …

30 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P et dès que …

31 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P et dès que …

32 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P et dès que …

33 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P et dès que …

34 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P et dès que f(X) dépasse k on recule d’un pas plus petit.

35 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P par exemple P prend la valeur 0,1(B-A) et dès que f(X) dépasse k on recule d’un pas plus petit.

36 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P par exemple P prend la valeur 0,1(B-A) et dès que f(X) dépasse k f(X) > k on recule d’un pas plus petit.

37 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P par exemple P prend la valeur 0,1(B-A) et dès que f(X) dépasse k f(X) > k on recule d’un pas plus petit. P prend la valeur 0,1 P

38 Algorithme de balayage :
A partir de A, on va donc avancer A B d’un certain « pas » P par exemple P prend la valeur 0,1(B-A) et dès que f(X) dépasse k f(X) > k on recule d’un pas plus petit. P prend la valeur - 0,1 P

39 Algorithme de balayage :
A B Mais si l’on a inversé le sens du balayage, on va de nouveau l’inverser lorsque f(X) devient …

40 Algorithme de balayage :
A B Mais si l’on a inversé le sens du balayage, on va de nouveau l’inverser lorsque f(X) devient inférieur à k f(X) < k et on …

41 Algorithme de balayage :
A B Mais si l’on a inversé le sens du balayage, on va de nouveau l’inverser lorsque f(X) devient inférieur à k f(X) < k et on avancera d’un pas plus petit. P prend la valeur …

42 Algorithme de balayage :
A B Mais si l’on a inversé le sens du balayage, on va de nouveau l’inverser lorsque f(X) devient inférieur à k f(X) < k et on avancera d’un pas plus petit. P prend la valeur - 0,1 P

43 Conclusion : A B Les pas successifs s’inverseront et deviendront plus petits avec la même action P prend la valeur - 0,1 P Mais la condition pour inverser le pas est

44 Conclusion : A B Les pas successifs s’inverseront et deviendront plus petits avec la même action P prend la valeur - 0,1 P Mais la condition pour inverser le pas est soit f(X) > k pour des pas P positifs soit f(X) < k pour des pas P négatifs

45 Conclusion : A B Les pas successifs s’inverseront et deviendront plus petits avec la même action P prend la valeur - 0,1 P Mais la condition pour inverser le pas est soit f(X) > k pour des pas P positifs f(X) - k > 0 soit f(X) < k pour des pas P négatifs f(X) - k < 0

46 Conclusion : A B Les pas successifs s’inverseront et deviendront plus petits avec la même action P prend la valeur - 0,1 P Mais la condition pour inverser le pas est soit f(X) > k pour des pas P positifs f(X) - k > 0 soit f(X) < k pour des pas P négatifs f(X) - k < 0 La même condition dans les deux cas est : P [ f(X) – k ] > k

47 Conclusion : On prendra la fonction carré comme exemple. On va saisir l’intervalle [ A ; B ] et le réel K. On détermine le 1er pas P. On déterminera dans une boucle les X successifs et leurs images Y. Le 1er X est A, donc il faut saisir X, B et K. Dès que Y a dépassé K il faut prendre un nouveau pas P. Lorsque l’écart entre Y et K est suffisamment petit ( prenons par exemple 10-5 ) on arrête le balayage et on affiche la réponse X.

48 Organigramme : …

49 Organigramme : Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ?
Saisir X Calcul de X B Calcul de Y P(Y–K)<0 non |Y-K|≤ oui Afficher X K Calcul de P oui non P prend la valeur -0,1P Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ?

50 Organigramme : Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ?
Saisir X Calcul de X B Calcul de Y P(Y–K)<0 non |Y-K|≤ oui Afficher X K Calcul de P oui non P prend la valeur -0,1P Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ?

51 Organigramme : Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ?
Saisir X Calcul de X B Calcul de Y P(Y–K)<0 non |Y-K|≤ oui Afficher X K Calcul de P oui non P prend la valeur -0,1P Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ?

52 Organigramme : Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ?
Saisir X Calcul de X B Calcul de Y P(Y–K)<0 non |Y-K|≤ oui Afficher X K Calcul de P oui non P prend la valeur -0,1P Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ? Inversion du pas dès que f(X) > k dès que f(X) < k

53 Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ? Inversion du pas
Modification de l’organigramme pour qu’il convienne aux fonctions décroissantes : Saisir X Calcul de X B Calcul de Y P(Y–K)<0 non |Y-K|≤ oui Afficher X K Calcul de P oui non P prend la valeur -0,1P Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ? Inversion du pas dès que f(X) > k dès que f(X) < k

54 Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ? Inversion du pas
Modification de l’organigramme pour qu’il convienne aux fonctions décroissantes : Saisir X Calcul de X B Calcul de Y VP(Y–K)<0 non |Y-K|≤ oui Afficher X K Calcul de P oui non V prend la valeur f(B)-f(X) P prend la valeur -0,1P Cet organigramme convient-il à toutes les fonctions ? Inversion du pas dès que f(X) > k dès que f(X) < k

55 Modification de l’organigramme pour qu’il convienne aux fonctions décroissantes :
Saisir X Calcul de X B Calcul de Y VP(Y–K)<0 non |Y-K|≤ oui Afficher X K Calcul de P oui non V prend la valeur f(B)-f(X) P prend la valeur -0,1P Programme :

56 Modification de l’organigramme pour qu’il convienne aux fonctions décroissantes :
Saisir X Calcul de X B Lbl1 Calcul de Y VP(Y–K)<0 non Lbl2 |Y-K|≤ oui Lbl4 Afficher X K Calcul de P oui non V prend la valeur f(B)-f(X) P prend la valeur -0,1P Lbl3 Programme :

57 ? → X : ? → B : ? → K : 0,1( B – X ) → P : B² - X² → V :
Modification de l’organigramme pour qu’il convienne aux fonctions décroissantes : Saisir X Calcul de X B Lbl1 Calcul de Y VP(Y–K)<0 non Lbl2 |Y-K|≤ oui Lbl4 Afficher X K Calcul de P oui non V prend la valeur f(B)-f(X) P prend la valeur -0,1P Lbl3 Programme : ? → X : ? → B : ? → K : 0,1( B – X ) → P : B² - X² → V : Lbl 1 : X + P → X : X² → Y : If VP( Y – K ) < 0 : Then Goto 1 : Else Goto 2 : Lbl 2 : If |Y-K|≤10-5 : Then Goto 4 : Else Goto 3 : Lbl 3 : - 0,1 P → P : Goto 1 : Lbl 4 : X