Chapitre 2 : La fonction de transfert

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1 Chapitre 2 : La fonction de transfert

2 2.1 Rappels sur la Transformée de Laplace

3 Définition La transformée de Laplace F(p) = L (f(t)) est la fonction de la variable complexe p définie par : Opérateur de Laplace : p : littérature francophone s : littérature anglophone Convention d ’écriture : fonc. temporelle = minusc fonc. de L. = majusc.

4 Principaux théorèmes - linéarité
Changement d ’échelle : Superposition : par contre :

5 Principaux théorèmes - translations
Translation (théorème du retard) : Translation dans le domaine complexe : f(t) f(t-t) t

6 Principaux théorèmes - équa. diff.
Dérivation : Intégration:

7 Principaux théorèmes - extrema
Valeur initiale : Valeur finale:

8 2.2 Fonction de transfert

9 Equation différentielle de départ
Système e(t) y(t) Soit un système décrit par une équation différentielle :

10 Utilisation de la Transf. de Laplace
On suppose les cond. init. nulles ; l ’application de la TL conduit à : d ’où la fonction de transfert (FT) :

11 Un paradoxe apparent H(p) e(t) y(t) Cette égalité pourrait être considérée comme un paradoxe, en effet : son premier membre est le rapport des transformées de Laplace des signaux d ’entrée-sortie son deuxième membre est une fraction rationnelle ne dépendant pas des signaux

12 La fonction de transfert
La fonction de transfert caractérise le système et lui seul Généralisation du concept d'impédance complexe z(jw) d’un circuit L'ordre du système est le degré du dénominateur de la fonction de transfert Attention à respecter le principe de causalité :

13 Le gain d ’une fonction de transfert
Dans H(p), on peut factoriser a0 et b0 : K représente le gain statique G(p) représente le régime transitoire

14 Exemple : circuit RL Equation différentielle : Transfor. de Laplace :
u(t) i(t) Exemple : circuit RL Equation différentielle : Transfor. de Laplace : Fonction de transfert : Ordre du système : Gain :

15 2.3 Caractéristiques statique et dynamique

16 Les conditions initiales
Très souvent : les conditions initiales ne sont pas nulles le système évolue autour d ’un point de fonctionnement qui correspond à ces conditions initiales Système e(t) = e0 + de(t) y(t) = y0 + dy(t) Point de fonctionnement Variations autour du point de fonctionnement

17 Caractéristique statique
Le point de fonctionnement est déterminé par une caractéristique statique qui n ’a aucun rapport avec la fonction de transfert estatique ystatique Caractéristique statique e0 Point de fonctionnement y0

18 Caractéristique dynamique
le modèle utilisé pour représenter le système n ’est valable qu ’autour du point de fonctionnement ; la FT relie les variations de sortie à celles d ’entrée H(p) de(t) dy(t) y e Caractéristique statique Point de fonctionnement Zone de validité du modèle dynamique (FT)

19 Exemple : moteur à courant continu
Point de fonctionnement : u0 = 100 V ; n0 = 735 tr/mn Fonction de transfert : Moteur CC u(t) = u0 + du(t) n(t) = n0 + dn(t) Tension d ’induit Vitesse de l ’arbre

20 Convention d ’écriture
Sauf dispositions particulières, toutes les variables manipulées correspondent à des variations autour d ’un point de fonctionnement Aussi, pour simplifier l ’écriture, les « d » seront omis :

21 2.4 Signaux d ’entrée

22 Signaux d ’entrée Pour définir les caractéristiques (le modèle) d ’un système, on étudie sa réponse à des signaux d ’entrée particuliers Approche temporelle entrée = échelon, rampe ou impulsion Approche fréquentielle entrée = sinusoïde à fréquence variable

23 Approche temporelle Echelon Rampe
caractérise le gain et le régime transitoire du système utilisé comme entrée de test d ’une régulation Rampe détermine l ’erreur de traînage d ’un asservissement t e(t) A t e(t) At

24 Approche temporelle Impulsion mathématiquement, impulsion de Dirac :
physiquement : t e(t) t e(t) Aire impulsion = 1

25 Approche fréquentielle
Sinusoïde on fait varier la fréquence de la sinusoïde d ’entrée de « 0 » (basse fréquence) à « l ’infini » (haute fréquence) permet de construire le diagramme de Bode

26 2.5 Schémas fonctionnels

27 Association série et parallèle
H1(p) e(t) y(t) H2(p) H1(p) H2(p) H1(p) + H2(p) e(t) y(t) H1(p) H2(p) +

28 Factorisation H(p) + e1(t) e2(t) s(t) + e1(t) e2(t) s(t) H(p)

29 Principe de superposition
Quand un système a plusieurs entrées (commande et perturbations) pour calculer la FT entre une entrée particulière et la sortie, on suppose que les autres entrées sont nulles Ex : H1(p) + H2(p) e1(t) e2(t) s(t) H3(p)

30 Système à retour unitaire
Cas d ’une régulation où K G(p) représente l ’ensemble {correcteur + actionneur + procédé + capteur} : e(t) y(t) KG(p) - + Consigne Mesure e

31 Système à retour non unitaire
Cas précédent avec un correcteur en plus dans la boucle de retour : e(t) y(t) KG(p) - + Consigne Mesure e F(p)

32 2.6 Détermination de la réponse d ’un système

33 Principe Pour évaluer le comportement d ’un système, il faut pouvoir déterminer sa réponse temporelle à une entrée particulière Méthode : Détermination de la FT H(p) du système Détermination de l’entrée e(t) et de sa TL E(p) Calcul de Y(p) = H(p) E(p) Recherche de l ’original de Y(p) : y(t) = L-1(Y(p))

34 Quelques originaux

35 Exemple : circuit RL Fonction de transfert : Entrée : Sortie :
u(t) i(t) ? t A Exemple : circuit RL Fonction de transfert : Entrée : Sortie : Original de la sortie :

36 Fin du chapitre 2