chapitre : Les Probabilités

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1 chapitre : Les Probabilités
I Variable aléatoire Les nombres x1 ; x2 ; … ; xn sont les résultats d’une expérience aléatoire. La variable aléatoire X est une variable qui peut prendre, aléatoirement, comme valeur numérique les nombres x1 à xn.

2 chapitre : Les Probabilités
I Variable aléatoire Les nombres x1 ; x2 ; … ; xn sont les résultats d’une expérience aléatoire. La variable aléatoire X est une variable qui peut prendre, aléatoirement, comme valeur numérique les nombres x1 à xn. II Loi de probabilité d’une variable aléatoire On associe respectivement à chaque valeur x1 à xn la probabilité p1 à pn de l’obtenir.

3 II Loi de probabilité d’une variable aléatoire
I Variable aléatoire Les nombres x1 ; x2 ; … ; xn sont les résultats d’une expérience aléatoire. La variable aléatoire X est une variable qui peut prendre, aléatoirement, comme valeur numérique les nombres x1 à xn. II Loi de probabilité d’une variable aléatoire On associe respectivement à chaque valeur x1 à xn la probabilité p1 à pn de l’obtenir. valeurs xi prises par X x x x etc… p ( X = xi ) p p p3

4 Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire.
Exemple : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, la Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire.

5 Exemple : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, le Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi prises par X p ( X = xi )

6 Exemple : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, le Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. 1 arbre de choix : 1 2 2 1 2 Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi prises par X p ( X = xi )

7 Exemple : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, le Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. 1 X = 1 arbre de choix : Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi prises par X p ( X = xi )

8 Exemple : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, le Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. 1 X = 1 arbre de choix : Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi prises par X p ( X = xi )

9 Exemple : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, le Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. 1 X = probabilité : 1 branche sur 4 donc 1/4 arbre de choix : branches sur 4 donc 2/4 branche sur 4 donc 1/4 Loi de probabilité de la variable aléatoire : ou : ½ × ½ = ¼ et ½ × ½ + ½ × ½ = 2/4 valeurs xi prises par X p ( X = xi ) ¼ ½ ¼

10 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la …

11 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais …

12 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais celles ayant une faible probabilité …

13 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais celles ayant une faible probabilité peuvent aussi être obtenues. La valeur représentative ayant le plus de probabilité sera donc …

14 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais celles ayant une faible probabilité peuvent aussi être obtenues. La valeur représentative ayant le plus de probabilité sera donc la moyenne des valeurs …

15 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais celles ayant une faible probabilité peuvent aussi être obtenues. La valeur représentative ayant le plus de probabilité sera donc la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités.

16 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais celles ayant une faible probabilité peuvent aussi être obtenues. La valeur représentative ayant le plus de probabilité sera donc la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités. Σ ni xi xmoyen = donne E(X) = … Σ ni

17 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais celles ayant une faible probabilité peuvent aussi être obtenues. La valeur représentative ayant le plus de probabilité sera donc la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités. Σ ni xi Σ pi xi xmoyen = donne E(X) = Σ ni Σ pi et comme … on a alors E(X) = …

18 III Espérance d’une variable aléatoire
Elle est notée E(X) La valeur xi que l’on a plus de probabilité d’obtenir est la valeur ayant la plus forte probabilité. Mais celles ayant une faible probabilité peuvent aussi être obtenues. La valeur représentative ayant le plus de probabilité sera donc la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités. Σ ni xi Σ pi xi xmoyen = donne E(X) = Σ ni Σ pi et comme Σ pi = 1, on a alors E(X) = Σ pi xi

19 L’espérance est la …

20 L’espérance est la moyenne probable
L’espérance est la moyenne probable. Si X est un gain global à un jeu aléatoire, E(X) = 0 signifie …

21 L’espérance est la moyenne probable
L’espérance est la moyenne probable. Si X est un gain global à un jeu aléatoire, E(X) = 0 signifie que le jeu est équitable, E(X) > 0 que le jeu est …

22 L’espérance est la moyenne probable
L’espérance est la moyenne probable. Si X est un gain global à un jeu aléatoire, E(X) = 0 signifie que le jeu est équitable, E(X) > 0 que le jeu est favorable au joueur. Soient deux variables aléatoires telles que Y = aX + b On a, comme pour une série statistique, E(Y) = ...

23 L’espérance est la moyenne probable
L’espérance est la moyenne probable. Si X est un gain global à un jeu aléatoire, E(X) = 0 signifie que le jeu est équitable, E(X) > 0 que le jeu est favorable au joueur. Soient deux variables aléatoires telles que Y = aX + b On a, comme pour une série statistique, E(Y) = E( aX + b ) = a E(X) + b

24 L’espérance est la moyenne probable
L’espérance est la moyenne probable. Si X est un gain global à un jeu aléatoire, E(X) = 0 signifie que le jeu est équitable, E(X) > 0 que le jeu est favorable au joueur. Soient deux variables aléatoires telles que Y = aX + b On a, comme pour une série statistique, E(Y) = E( aX + b ) = a E(X) + b Cette propriété ( vue en 2nd ) est la Linéarité de la moyenne.

25 Exercice : déterminez l’espérance de la variable aléatoire de l’exemple précédent :

26 Loi de probabilité de la variable aléatoire :
Exercice : déterminez l’espérance de la variable aléatoire de l’exemple précédent : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, le Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi prises par X p ( X = xi ) ¼ ½ ¼ Espérance : E(X) = Σ pi xi = ¼ 1 + ½ 2 + ¼ 4 = ¼ = 2,25

27 Loi de probabilité de la variable aléatoire :
Exercice : déterminez l’espérance de la variable aléatoire de l’exemple précédent : On lance 2 fois une pièce de monnaie. Le pile donne le nombre 1, le Face donne le nombre 2. Soit X la variable aléatoire donnant le produit des deux nombres obtenus. Loi de probabilité de la variable aléatoire : valeurs xi prises par X p ( X = xi ) ¼ ½ ¼ Espérance : E(X) = Σ pi xi = ¼ 1 + ½ 2 + ¼ 4 = ¼ = 2,25 moyenne probable