Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud

Présentation au sujet: "Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud"— Transcription de la présentation:

1 Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud
Equivalence entre les représentations d ’images à l ’aide de complexes et d ’ordres Sylvie Alayrangues Jacques-Olivier Lachaud Séminaire IRCOM-SIC juin 2002

2 Plan Motivations Equivalence ordre/complexe Applications :
propriétés intéressantes sur une sous-catégorie d ’ordres et de complexes : ordres et complexes SN ex : complexes simpliciaux, polyédriques, Zn Applications : Homotopies Groupe fondamental Simplification d ’un objet dans un espace

3 Motivations Représentations topologiques des images Modèles généraux :
indépendants de la dimension, sans contrainte sur la nature du support de l ’image, sans contrainte géométrique…

4 Représentations à l ’aide d ’ordres et de complexes
Ordres développés par Bertrand et al. Approche ensembliste Complexes proposés par Dominguez et al. Topologie combinatoire : complexes plongés dans un espace euclidien Différents résultats : définitions et algorithmes purement discrets : surfaces, homotopie, points simples / squelettisation, segmentation définitions par analogie avec le continu : surfaces, groupe fondamental, théorème de Seifert/Van Kampen

5 Points communs Eléments répartis entre deux classes :
“pixels” de l ’image : -terminaux / n-cellules liens entre ces pixels : non -terminaux / k-cellules avec k < n

6 Ordre CF Ordre |X| = (X,α) Ordre CF : α-terminal
X : ensemble d’éléments α : relation d ’ordre (i.e. relation binaire réflexive, transitive, antisymétrique) α-1 = β (X, β) ordre dual Ordre CF : X dénombrable localement fini : fini α-terminal

7 Représentation des ordres
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 14 13 x2 x1 x3 x6 x5 x4 x7 x8 x9 x10 x12 x13 x14 x11 x2 x1 x3 x6 x5 x4 x7 x8 x9 x10 x12 x13 x14 x11

8 Complexe cellulaire abstrait
Complexe cellulaire abstrait : C=(E,,dim) E : ensemble d’éléments abstraits,   EE : relation binaire non réflexive , antisymétrique, transitive (relation de bord) dim : EI Z telle que dim(e) < dim(e’) ssi e  e’ (dimension) Complexe localement fini de dimension n: fini

9 Représentation des complexes
Restriction à des complexes polyédriques e5 e4 e2 e1 e7 e10 e11 e12 e9 e8 e6 e3

10 Lien complexe / ordre C=(E,<,dim) |X|=(X, a) ???

11 Construire un complexe à partir d ’un ordre (1)
a-décomposition de l’ordre : famille {Xi} fonction dima : xXi, dima(x) = i x7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x8 x9 x10 x11 x12 X0 X1 X2 X3 X4

12 Construire un complexe à partir d ’un ordre (2)
Complexe cellulaire abstrait associé à |X| : C|X|=(E,,dim) xX,  (x) E, (x,x’)XX, x’ a(x)/{x} then (x’)(x), dim((x)) = dima(x). Complexe cellulaire abstrait dual associé à |X| : C*|X|=(E*,*,dim*) xX,  *(x) E*, (x,x’)XX, x’ b(x)/{x} then *(x’)*(x), dim(* (x)) = (dima(x)) - dima(x)) = dim*a(x)) .

13 Exemple x1 x2 x4 x5 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x9 *  e5 e4 e2 e1 e7

14  Exemple x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x9 x5 * ordre dual  x4

15 Ordre / Complexe dual -terminaux représentés par des n-cellules
complexe pur : toute k-cellule est face d’au moins une n-cellule

16 Correspondances ordre/complexe dual
*(a(x)) = st(*(x)) *(b(x)) = cl(*(x)) topologies d’Alexandroff : ouverts de |X| fermés de C*|X| fermés de |X| ouverts de C*|X|

17 Images des adhérences x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
*(a(x)) = st(*(x)) *(b(x)) = cl(*(x))

18 Ouverts dans les ordres
x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 Ordre CF : S ouvert S={xS/(x)S} Complexe dual : *(S) fermé *(S)=cl(*(S) ) x9 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7

19 Fermés dans les ordres x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 CF-Order :
S fermé S={xS/a(x)S} Dual abstract complex : *(S) ouvert *(S)=st(*(S)) x9 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7

20 Connexité entre les -terminaux / n-cellules
Sélectionner des non -terminaux / des k-cellules (k<n) définir les adjacences entre -terminaux / n-cellules x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x14 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7 e*13 e*14 x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x14 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7 e*13 e*14 x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x14 e*1 e*2 e*3 e*4 e*10 e*11 e*12 e*5 e*6 e*9 e*8 e*7 e*13 e*14

21 Deux approches pour déterminer la connexité maximale
Topologique : par équivalence homotopique suppression itérative de points par rétractions élémentaires sans changement de la topologie -noyau Ensembliste : par examen des intersections des clôtures combinatoire de tout ensemble de n-cellules nombre minimal de k-cellules qui connectent le maximum de n-cellules Support

22 Exemple d ’extraction d ’un noyau

23 Exemple de détermination d ’un support

24 Configuration problématique
x1 x4 x5 x6 x2 e*1 e*2 e*5 e*6 e*4 e*3 x3

25 Ordres et Complexes ”Strongly Normal”
complexe SN pur : complexe localement fini l ’intersection des clôtures de tout ensemble de n-cellules est soit vide, soit la clôture d ’une cellule de dimension quelconque. ordre SN: Ordre CF L ’intersection des β-adjacences de tout ensemble de -terminaux est soit vide, soit la β-adjacence d ’un élément quelconque de l ’ordre

26 Exemple x1 x2 x4 x6 x7 x10 x11 x3 x8 x12 x5 x13 x9 x1 x2 x4 x6 x7 x10

27 Résultat principal Ox : sous-ensemble de -terminaux d ’un ordre SN
OK : sous-ensemble de n-cellules d ’un complexe SN tels que OK = *(OX) -noyau de | β(OX)| = support de OK

28 " Strong weak lighting functions"
Famille de fonctions permettant de formaliser différentes notions de connexité par sélection des cellules/éléments nécessaires valable pour un objet et son complémentaire Propriétés de ces fonctions pour tout objet O les pixels (n-cellules / -terminaux) de O sont sélectionnés seuls les éléments appartenant au support de O / -noyau de |β(O)| peuvent être sélectionnés si un élément est sélectionné pour un objet O, il est sélectionné pour l ’image le choix de sélectionner ou non un élément doit pouvoir se faire localement

29 Homotopie Transformations préservant la topologie
squelettisation… Définition purement discrète sur les ordres suite d ’homotopies élémentaires -homotopie et β-homotopie Transfert sur les complexes -homotopie et -homotopie

30 Groupe fondamental Invariant algébrique
utilisé pour comparer les formes des objets groupe composé des classes d ’équivalence pour la relation d ’homotopie de l ’ensemble des lacets ex : sphère / groupe fondamental trivial (i.e. elle est simplement connexe) Défini par Dominguez par analogie avec le continu construction de chemins et de lacets entre les n-cellules : un chemin de e à e’ est une fonction c d’un intervalle [0,tmax] telle que c(0)=e, c(tmax)=e ’ et c(t) est alternativement une n-cellule et une k-cellule (k < n). Transfert sur les ordres : construction similaire de chemins et de lacets entre -terminaux

31 Exemple : chemins homotopes sur un objet O

32 Simplification Définition de points simples :
points dont la suppression ne modifie ni la topologie de l ’objet ni celle de son complémentaire Caractérisation de points simples d ’un ordre par Bertrand caractérisation de points simples sur un objet de l ’ordre / du complexe (en cours)

33 Conclusion

34 Perspectives Vérification de la cohérence des notions de surface définies sur les ordres et les complexes Comparaison avec d ’autres modèles : cartes… Utilisation des ordres pour de l ’analyse d ’images multirésolution