Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = (√6)/2

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1 Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = (√6)/2
2ème méthode : utilisation d’une formule d’addition. cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b sin ( a + b ) = cos a sin b + cos b sin a Généralement, les élèves préfèrent le sinus car il n’y a pas ( dès le début de notre recherche ) un signe négatif.

2 Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = (√6)/2
sin ( a + b ) = cos a sin b + cos b sin a On veut transformer l’énoncé sin x + cos x = (√6)/2 en sin( x + b ) = (√6)/2 On prend a = x il faut donc chercher un réel b tel que sin x + cos x = sin( x + b ) b existe-t-il ?

3 Exercice 7 : résoudre sin x + cos x = (√6)/2
on aurait cos b sin x + sin b cos x = (√6)/2 donc cos b = 1 et sin b = 1 qui est impossible car cos² b + sin² b donnerait 1² + 1² = 2 au lieu de 1 !

4 On peut diviser l’énoncé par un réel c : sin x + cos x = (√6)/2
devient (1/c) sinx + (1/c) cosx = (√6)/(2c) sin ( x + b ) = cos b sin x + cos x sin b

5 On peut diviser l’énoncé par un réel c : sin x + cos x = (√6)/2
devient (1/c) sinx + (1/c) cosx = √6/(2c) sin ( x + b ) = cos b sin x + cos x sin b donnerait cos b = 1/c et sin b = 1/c cos² b + sin² b donne (1/c)² + (1/c)² = 2/(c²) = 1 donc 2 = 1 c² donc c = √2 ( ou - √2, mais une seule solution nous suffit )

6 On peut diviser l’énoncé par un réel c : sin x + cos x = (√6)/2
devient (1/c) sinx + (1/c) cosx = √6/(2c) sin ( x + b ) = cos b sin x + cos x sin b donnerait cos b = 1/c et sin b = 1/c cos² b + sin² b donne (1/c)² + (1/c)² = 2/c² = 1 donc 2 = 1 c² donc c = √2 ( ou - √2, mais une seule solution nous suffit ) donc cos b = 1/√2 = (√2)/2 et sin b = 1/√2 = (√2)/2 donc b = π/4

7 l’énoncé devient : (1/√2) sin x + (1/√2) cos x = √6/(2√2)
ou cos π/4 sin x + sin π/4 cos x = √6/(2√2) ou sin ( x + π/4 ) = (√3)/2 qui est le sinus de l’angle remarquable π/3 On veut résoudre une équation du type sin w = √3/2 π/ Deux points w1 = π/3 et w1 = 2π/3 π qui donnent x + π/4 = π/3 + k2π ou x + π/4 = 2π/3 + k2π

8 l’énoncé devient : sin ( x + π/4 ) = √3/2
qui donne x + π/4 = π/3 + k2π ou x + π/4 = 2π/3 + k2π x = π/3 - π/4 + k2π et x = 2π/3 - π/4 + k2π

9 l’énoncé devient : sin ( x + π/4 ) = √3/2
qui donne x + π/4 = π/3 + k2π et x + π/4 = 2π/3 + k2π x + π/ x x = π/3 - π/4 + k2π et x = 2π/3 - π/4 + k2π x = π/12 + k2π et x = 5π/12 + k2π

10 Avantages de la 2ème méthode :
Tout est démontré, même l’exactitude des valeurs numériques. ( avec le défaut d’être compliquée … ) Application : en ½ classe la semaine prochaine nous résoudrons √3 sin x – cos x = - √2 dans [ 10π ; 12π ]. sin x – cos x = - √(3/2) dans [ - 7π ; - 9π/2 ] sera mis sur Internet en guise d’AP. DM pour lundi 14/12 : exo 128 p 296 DM pour le lundi 04/01 ( meilleurs vœux à tous ! ): résoudre sous le sapin ( par les 2 méthodes ) cos x + sin x = ( 1 + √3 ) / 2 dans [ - 3π ; - π ].