Exercice 8 : résoudre √3 sin x - cos x = - √2 dans [ 10π ; 12π ].

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1 Exercice 8 : résoudre √3 sin x - cos x = - √2 dans [ 10π ; 12π ].
1ère méthode : changement de variables :

2 Exercice 8 : résoudre √3 sin x - cos x = - √2 dans [ 10π ; 12π ].
1ère méthode : changement de variables : cos x = X et sin x = Y On a donc √3 Y - X = - √2 X² + Y² = 1 car cos² x + sin² x = 1

3 Exercice 8 : résoudre √3 sin x - cos x = - √2 dans [ 10π ; 12π ].
1ère méthode : changement de variables : cos x = X et sin x = Y On a donc √3 Y - X = - √2 X² + Y² = 1 car cos² x + sin² x = 1 1ère équation : X = √3 Y + √2 2ème équation : ( √3 Y + √2 )² + Y² = 1 donc ( 3 Y² + 2 √6 Y + 2 ) + Y² = 1 donc 4 Y² + 2 √6 Y + 1 = 0

4 4 Y² + 2 √6 Y + 1 = 0 ∆ = (2 √6)² - 4 (4) (1) = 24 – 16 = 8 = (2 √2)²
∆ > 0 donc deux racines Y1 = ( - 2√6 + 2√2 ) / 8 = ( - √3 + 1 ) / (2√2) et Y2 = ( - √3 - 1 ) / (2√2)

5 4 Y² + 2 √6 Y + 1 = 0 ∆ = (2 √6)² - 4 (4) (1) = 24 – 16 = 8 = (2 √2)²
∆ > 0 donc deux racines Y1 = ( - 2√6 + 2√2 ) / 8 = ( - √3 + 1 ) / (2√2) et Y2 = ( - √3 - 1 ) / (2√2) donc X1 = √3 Y1 + √2 = √3[( -√3 + 1 )/(2√2)] + √2 = ( √3 )/(2√2) + 4/(2√2) = ( √3 + 1 )/(2√2) et X2 = √3 Y2 + √2 = √3[( -√3 - 1 )/(2√2)] + √2 = ( √3 )/(2√2) + 4/(2√2) = ( - √3 + 1 )/(2√2)

6 On cherche les x tels que :
1er cas : cos x1 = X1 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( - √3 + 1 ) / (2√2) aucun cos ou sin correspondant dans le tableau des angles remarquables : on utilise sa calculatrice. Elle affiche à l’écran : cos-1 [( √3 + 1 )/(2√2)] donne π/12 sin-1 [( - √3 + 1 )/(2√2)] donne - π/12

7 cos x1 = X1 = ( √3 + 1 )/(2√2) sin x1 = Y1 = ( - √3 + 1 ) / (2√2)
cos-1 X1 donne x1≈ π/12 sin-1 Y1 donne x1≈ - π/12 donc x1≈ - π/12 + k2π

8 2ème cas :. cos x2 = X2 = ( - √3 + 1 )/(2√2)
2ème cas : cos x2 = X2 = ( - √3 + 1 )/(2√2) sin x2 = Y2 = ( - √3 - 1 ) / (2√2) cos-1 X2 donne x2 ≈ 7π/12 sin-1 Y2 donne x2 ≈ - 5π/12 donc x2 ≈ - 7π/12 + k2π

9 Solutions dans R: S = { - π/12 + k2π ; - 7π/12 + k2π } tous les x de
sans avoir pu prouver l’exactitude des résultats donnés par la calculette.

10 Solutions dans [ 10π ; 12π ] : S dans I = { 143π/12 ; 137π/12 }
S dans R = { - π/12 + k2π ; - 7π/12 + k2π } trajet = 0 – (-π/12) = π/12 b = 12π – trajet = 12π – π/12 = 143π/12 trajet = (- π/12 ) – (- 7π/12 ) = 6π/12 a = b – trajet = b - 6π/12 = 137π/12 S dans I = { 143π/12 ; 137π/12 }