A H C « projeté orthogonal de B sur (AC) ».

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1 A H C « projeté orthogonal de B sur (AC) ».
8°) B AB . AC = AH × AC H est appelé le A H C « projeté orthogonal de B sur (AC) ».

2 A H C « projeté orthogonal de B sur (AC) ». B AB . AC = - AH × AC
H est appelé le A H C « projeté orthogonal de B sur (AC) ». B AB . AC = - AH × AC si AC et AH sont de sens opposés. H A C

3 8°) B AB . AC = AH × AC A H C B AB . AC = - AH × AC H A C
Démonstration : AB . AC = A H C B AB . AC = - AH × AC si AC et AH sont de sens opposés. H A C

4 A H C = AH.AC + HB.AC = AH×AC×cos0 + 0 B AB . AC = - AH × AC H A C
Démonstration : AB . AC = ( AH + HB ) . AC A H C = AH.AC + HB.AC = AH×AC×cos0 + 0 B AB . AC = - AH × AC si AC et AH sont de sens opposés H A C

5 A H C = AH.AC + HB.AC = AH×AC×cos0 + 0 B AB . AC = - AH × AC H A C
Démonstration : AB . AC = ( AH + HB ) . AC A H C = AH.AC + HB.AC = AH×AC×cos0 + 0 B AB . AC = - AH × AC si AC et AH sont de sens opposés H A C = AH . AC + HB . AC = AH × AC × cos π + 0

6 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’

7 Remarque : Y a-t-il un rapport entre la formule u.v = x x’ + y y’ et ||u|| = x² + y² ?

8 u.v = x x’ + y y’ donc si u = v on obtient u.u = xx + yy = x² + y²

9 u. v = x x’ + y y’ donc si u = v on obtient u
u.v = x x’ + y y’ donc si u = v on obtient u.u = xx + yy = x² + y² donc u² = ||u||²= x² + y²

10 u. v = x x’ + y y’ donc si u = v on obtient u
u.v = x x’ + y y’ donc si u = v on obtient u.u = xx + yy = x² + y² donc u² = ||u||²= x² + y² donc ||u||= x² + y²

11 9 °) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’
Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie

12 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j

13 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) =

14 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j )

15 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j ) = xx’ ( i . i ) + xy’( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’( j . j )

16 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j ) = xx’ ( i . i ) + xy’( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’( j . j ) = xx’ ||i|| ² + xy’ ( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’ ||j|| ²

17 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j ) = xx’ ( i . i ) + xy’( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’( j . j ) = xx’ ||i|| ² + xy’ ( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’ ||j|| ² Le repère est orthonormé, donc orthogonal, donc i . j = j . i = 0

18 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j ) = xx’ ( i . i ) + xy’( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’( j . j ) = xx’ ||i|| ² + xy’ ( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’ ||j|| ² Le repère est orthonormé, donc orthogonal, donc i . j = j . i = 0 Le repère est orthonormé, donc normé, donc ||i|| = ||j|| = 1

19 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j ) = xx’ ( i . i ) + xy’( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’( j . j ) = xx’ ||i|| ² + xy’ ( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’ ||j|| ² Le repère est orthonormé, donc orthogonal, donc i . j = j . i = 0 Le repère est orthonormé, donc normé, donc ||i|| = ||j|| = 1 donc u . v = xx’ 1² + xy’ 0 + yx’ 0 + yy’ 1²

20 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j ) = xx’ ( i . i ) + xy’( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’( j . j ) = xx’ ||i|| ² + xy’ ( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’ ||j|| ² Le repère est orthonormé, donc orthogonal, donc i . j = j . i = 0 Le repère est orthonormé, donc normé, donc ||i|| = ||j|| = 1 donc u . v = xx’ 1² + xy’ 0 + yx’ 0 + yy’ 1² = xx’ + yy’ si le repère est orthonormé !

21 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 1ère méthode : u ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) signifie u = x i + y j u . v = ( x i + y j ) . ( x’ i + y’ j ) = ( x i ).( x’ i )+( x i ).( y’ j ) + ( y j ).( x’ i ) + ( y j ).( y’ j ) = xx’ ( i . i ) + xy’( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’( j . j ) = xx’ ||i|| ² + xy’ ( i . j ) + yx’( j . i ) + yy’ ||j|| ² Le repère est orthonormé, donc orthogonal, donc i . j = j . i = 0 Le repère est orthonormé, donc normé, donc ||i|| = ||j|| = 1 donc u . v = xx’ 1² + xy’ 0 + yx’ 0 + yy’ 1² = xx’ + yy’ Cette relation permet de redémontrer toutes les propriétés précédentes.

22 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC a B A b c

23 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a a B A b c

24 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a = AB × AC × cos ( c – b ) = AB × AC × cos ( c + (–b) ) a B A b c

25 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a = AB × AC × cos ( c – b ) = AB × AC × cos ( c + (–b) ) a B = AB × AC × [ cos c cos (–b) – sin c sin (–b) ] A b c

26 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a = AB × AC × cos ( c – b ) = AB × AC × cos ( c + (–b) ) a B = AB × AC × [ cos c cos (–b) – sin c sin (–b) ] A b c = AB × AC × [ cos c cos b – sin c (– sin b) ]

27 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a = AB × AC × cos ( c – b ) = AB × AC × cos ( c + (–b) ) a B = AB × AC × [ cos c cos (–b) – sin c sin (–b) ] A b c = AB × AC × [ cos c cos b – sin c (– sin b) ] = AB × AC × [ cos c cos b + sin c sin b ]

28 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a = AB × AC × cos ( c – b ) = AB × AC × cos ( c + (–b) ) a B = AB × AC × [ cos c cos (–b) – sin c sin (–b) ] A b c = AB × AC × [ cos c cos b – sin c (– sin b) ] = AB × AC × [ cos c cos b + sin c sin b ] = AB × AC cos c cos b + AB × AC sin c sin b

29 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a = AB × AC × cos ( c – b ) = AB × AC × cos ( c + (–b) ) a B = AB × AC × [ cos c cos (–b) – sin c sin (–b) ] A b c = AB × AC × [ cos c cos b – sin c (– sin b) ] = AB × AC × [ cos c cos b + sin c sin b ] = AB × AC cos c cos b + AB × AC sin c sin b = AB cos c × AC cos b + AB sin b × AC sin c

30 9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u
9°) Si u ( x ; y ) et v ( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé, alors u . v = x x’ + y y’ Démonstration : 2ème méthode : A( 0 ; 0 ), B( x ; y ) et C( x’ ; y’ ) dans un repère orthonormé. C u . v = AB . AC = AB × AC × cos a = AB × AC × cos ( c – b ) = AB × AC × cos ( c + (–b) ) a B = AB × AC × [ cos c cos (–b) – sin c sin (–b) ] A b c = AB × AC × [ cos c cos b – sin c (– sin b) ] = AB × AC × [ cos c cos b + sin c sin b ] = AB × AC cos c cos b + AB × AC sin c sin b = AB cos b × AC cos c + AB sin b × AC sin c = x × x’+ y × y’

31 Remarque : Y a-t-il un rapport entre la formule u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 de deux vecteurs colinéaires ?

32 u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 ?

33 u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 ?
x x’ + y y’ = 0 pour deux vecteurs u et v orthogonaux. Soit w( x’’ ; y’’ ) le vecteur …

34 u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 ?
x x’ + y y’ = 0 pour deux vecteurs u et v orthogonaux. Soit w( x’’ ; y’’ ) le vecteur orthogonal à v( x’ ; y’ ). Le repère est orthonormé, alors …

35 u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 ?
x x’ + y y’ = 0 pour deux vecteurs u et v orthogonaux. Soit w( x’’ ; y’’ ) le vecteur orthogonal à v( x’ ; y’ ). Le repère est orthonormé, alors v( - y’’ ; x’’ ),

36 u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 ?
x x’ + y y’ = 0 pour deux vecteurs u et v orthogonaux. Soit w( x’’ ; y’’ ) le vecteur orthogonal à v( x’ ; y’ ). Le repère est orthonormé, alors v( - y’’ ; x’’ ), qui donne …

37 u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 ?
x x’ + y y’ = 0 pour deux vecteurs u et v orthogonaux. Soit w( x’’ ; y’’ ) le vecteur orthogonal à v( x’ ; y’ ). Le repère est orthonormé, alors v( - y’’ ; x’’ ), qui donne x (- y’’) + y (x ’’) = 0

38 u.v = x x’ + y y’ et x y’’ – x’’ y = 0 ?
x x’ + y y’ = 0 pour deux vecteurs u et v orthogonaux. Soit w( x’’ ; y’’ ) le vecteur orthogonal à v( x’ ; y’ ). Le repère est orthonormé, alors v( - y’’ ; x’’ ), qui donne x (- y’’) + y (x ’’) = 0 x y’’ – x’’ y = 0 qui prouve bien que u et w sont colinéaires.

39 v u . v 10°) v’ v’ = u u u ²

40 v B u. v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u. v = AC
v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH

41 v B u. v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u. v = AC
v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH = AC × AH × cos( AC ; AH )

42 v B u. v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u. v = AC
v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH = AC × AH × cos( AC ; AH ) = u . v’

43 v B u. v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u. v = AC
v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH = AC × AH × cos( AC ; AH ) = u . v’ u et v’ colinéaires donc v’ = k u u . v = u . v’ devient

44 Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH
v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH = AC × AH × cos( AC ; AH ) = u . v’ u et v’ colinéaires donc v’ = k u u . v = u . v’ devient u . v = u . ( k u ) donc u . v = k × (u . u)

45 Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH
v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Démonstration : u . v = AC . AB = AC × AH = AC × AH × cos( AC ; AH ) = u . v’ u et v’ colinéaires donc v’ = k u u . v = u . v’ devient u . v = u . ( k u ) donc u . v = k × (u . u) = k × u ² donc k = (u . v) / (u²)

46 Exercice : Soient u ( 1 ; 3 ) et v ( 3 ; - 2 ). 1°) Déterminez le projeté orthogonal v’ de v sur u. Placez-les dans un repère et vérifiez graphiquement pour v’. 2°) Déterminez à 0,01 ° près l’angle orienté ( u ; v ).

47 1°) Supposons que le repère est orthonormé,
on a alors u . v = x x’ + y y’ = 1×3+3(-2) = - 3 angle et u ² = u . u = 1×1 + 3×3 = 10 orienté Le projeté orthogonal v’ du vecteur v sur u est v’ = ((u.v)/(u²)) u = (-3/10)u = - 0,3 u sens trigo ce qui semble vrai d’après les mesures des longueurs sur le graphe. v’ = - 0,3 u = - 0,3 ( 1 ; 3 ) = ( - 0,3 ; - 0,9 )

48 2°) On a supposé que le repère était orthonormé. u
2°) On a supposé que le repère était orthonormé. u . v = x x’ + y y’ = - 3 = ||u||× ||v||× cos(u;v) Le repère est orthonormé donc ||u||=√(x²+y²) donc ||u||= √(1²+3²) = √10 et ||v|| = √(3²+(-2)²) = √13 donc u . v = - 3 = √10 × √13 × cos(u;v) donc cos(u;v) = - 3 / (√10 × √13) cos-1 (- 3 / (√10 × √13)) ≈ 105,26° d’après Casio. donc (u;v) ≈ ,26° = 254,74° ( voir schéma )

49 v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Si u est un vecteur unitaire ( signifie de longueur 1 )

50 v B u . v 10°) v’ v’ = u A u H C u ² Si u est un vecteur unitaire ( signifie ||u|| = 1 ) on a alors v’ = ( ( u . v ) / u ² ) u carré scalaire = ( ( u . v ) / ||u||² ) u carré des réels = ( ( u . v ) / 1² ) u = ( u . v ) u

51 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ?

52 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont …

53 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires

54 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires k u = k’ v

55 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires k u = k’ v A-t-on ( u . v )² = u ² × v ² ?

56 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires k u = k’ v A-t-on ( u . v )² = u ² × v ² ? carré des réels carré scalaire

57 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires k u = k’ v A-t-on ( u . v )² = u ² × v ² ? ( u . v )² = ( ||u|| × ||v|| × cos( u ; v ) )² = ||u||² × ||v||² × cos²( u ; v ) = u ² × v ² × cos²( u ; v )

58 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires k u = k’ v A-t-on ( u . v )² = u ² × v ² ? ( u . v )² = ( ||u|| × ||v|| × cos( u ; v ) )² = ||u||² × ||v||² × cos²( u ; v ) = u ² × v ² × cos²( u ; v ) donc uniquement si …

59 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires k u = k’ v A-t-on ( u . v )² = u ² × v ² ? ( u . v )² = ( ||u|| × ||v|| × cos( u ; v ) )² = ||u||² × ||v||² × cos²( u ; v ) = u ² × v ² × cos²( u ; v ) donc uniquement si cos( u ; v ) = 1 ou – 1 donc …

60 Remarques : A-t-on ( u . v ) u = ( u . u ) v ? seulement si u et v sont colinéaires k u = k’ v A-t-on ( u . v )² = u ² × v ² ? ( u . v )² = ( ||u|| × ||v|| × cos( u ; v ) )² = ||u||² × ||v||² × cos²( u ; v ) = ||u||²×||v||² = u ² × v ² × cos²( u ; v ) donc uniquement si cos( u ; v ) = 1 ou – 1 donc u et v colinéaires.

61 Résumé : u . v = ||u|| × ||v|| × cos ( u ; v )
Je peux déterminer u . v selon les méthodes suivantes : u . v = ||u|| × ||v|| × cos ( u ; v ) AB . AC = - AH × AC ou + AH × AC selon les sens de AH et AC u . v = ½ ( ||u||² + ||v||² - ||u – v||² ) u . v = x x’ + y y’ si le repère est orthonormé.

62 Application : Déterminez AB . AC dans les 4 cas suivants :
B cas C B 3 A 9 C cas 2 A C cas cas 4 B B ° A A C

63 cas 1 : AB . AC = - AH . AC = - 9 × 3 = - 27 = x x’ + y y’ = (-3)×9 + 4×0 = - 27 On ne connaît pas l’angle On ne connaît pas u - v

64 cas 2 : AB . AC = ½ ( ||AB||² + ||AC||² - ||AB – AC||² ) = ½ ( 8² + 17² – 19² ) = - 4 On ne connaît pas l’angle On ne connaît pas les coordonnées On ne connaît pas le projeté orthogonal

65 On ne connait pas l’angle AB . AC = AH × AC = 10 × 30 = 300
cas 3 : AB( 40 ; 10 ) et AC( 0 ; 30 ) dans le repère orthonormé ( A ; i ; j ). AB . AC = x x’ + y y’ = 40×0 + 10×30 = 300 On ne connait pas l’angle AB . AC = AH × AC = 10 × 30 = 300 AB . AC = ½ ( ||AB||² + ||AC||² - ||AB – AC||² ) Il faudrait calculer les longueurs avec ||u|| = √(x²+y²)

66 cas 4 : AB . AC = ||AB|| × ||AC|| × cos ( AB ; AC )
On peut déterminer les coordonnées avec l’angle. On peut déterminer ||u-v|| avec l’angle. On peut déterminer le projeté orthogonal avec l’angle.

67 Une utilisation importante du produit scalaire est le calcul d’un travail.
Quelque soit l’orientation d’une force F par rapport à un objet, le travail ( l’énergie ) qu’elle développe lorsqu’il se déplace sur une distance d est simplement W = F . d où W est le travail en Joule, F le vecteur force de norme en Newton, et d le vecteur déplacement de norme en mètres. F d

68 Une utilisation importante du produit scalaire est le calcul d’un travail.
Quelque soit l’orientation d’une force F par rapport à un objet, le travail ( l’énergie ) qu’elle développe lorsqu’il se déplace sur une distance d est simplement W = F . d où W est le travail en Joule, F le vecteur force de norme en Newton, et d le vecteur déplacement de norme en mètres. force motrice F d

69 Une utilisation importante du produit scalaire est le calcul d’un travail.
Quelque soit l’orientation d’une force F par rapport à un objet, le travail ( l’énergie ) qu’elle développe lorsqu’il se déplace sur une distance d est simplement W = F . d où W est le travail en Joule, F le vecteur force de norme en Newton, et d le vecteur déplacement de norme en mètres. F force réactive d