Ei2i4 – HF Licence EEA Filtrage Analogique T.Ditchi.

ei2i4 – HF Licence EEA Filtrage Analogique T.Ditchi

I. Introduction

I. Introduction Filtrage analogique
élimination d'une partie du spectre d'un signal - Radiocommunication : sélection du canal - élimination d'un bruit - sélection de fréquence à la sortie d'un circuit non linéaire ( mélangeur, oscillateur…) - analyse spectrale - …. Filtrage numérique même application que le filtrage analogique + transformation de signaux - apparition d'échos - modification d'une voix - …. 3

I. Introduction les filtres passifs
fréquences HF (qq 10 MHz  1GHz) ou µOnde (1GHz  100GHz) car inductances… les filtres actifs (à Amplificateurs Opérationnels) fréquences BF ( 0 à qq MHz ) car gain AOP… les filtres à résonateurs à quartz ( piézo-électrique) ( 100MHz ) - cavité métallique ou diélectrique ( 1GHz  100GHz ) les filtres à ondes de surface qq 100 MHz 4

les filtres passifs en µOnde
I. Introduction les filtres passifs en µOnde Optimisation de la puissance disponible composants non dispersifs : C, L,… Technologie hybride Technologie Intégrée (MMIC) Technologie Lignes 5

I. Introduction 6 filtres à onde de surface filtres à cavité
filtres à quartz filtres passifs à lignes et hybride les filtres actifs AOP les filtres passifs à composants MMIC 1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz 1GHz 10GHz 100GHz 6

II. Les systèmes linéaires

Signal : Toute grandeur physique Température = fonction ( lieu) Tension = fonction ( temps ) Signaux : continus (physique) ou discontinus (approximation de certains cas physiques) transitoires commence à un instant (t=0) se termine au bout d'un temps fini ou périodiques 10

Exemples de signaux Signal sinusoidal Signaux transitoires ou impulsionnels Portes Impulsion triangulaire Echelon de Heavyside Impulsion exponentielle Impulsion de Dirac Signaux périodiques discontinus peignes créneau 1/T T 2/T T 11

On remarque que : Définition de l'Impulsion de Dirac : d(t) d(t) : Impulsion de largeur nulle mais de surface unité : … t t t t t Exemple avec l’impulsion triangulaire 12

x II. Les systèmes linéaires
Quelques propriétés de l'Impulsion de Dirac : d(t) t t0 t e(t) e(t0) d(t-t0) x t t t 13

e1(t) s1(t) e2(t) s2 (t) linéaires : a e1(t) + b e2(t) a s1(t) + b s2(t) Invariant dans le temps : e (t-t) s (t-t) (e retardé de t) (s retardé de t) Système Linéaire Indépendant du temps S.L.I 14

e(t) ~e(t) t signal e(t) et signal approché ~e(t) : Impulsion carrée amplitude 1/T T donc Produit de convolution 15

d(t) h(t) réponse impulsionnelle S.L.I t d(t-t') h(t-t') S.L.I t t' e(t) t S.L.I s(t) S.L.I t 16

h(t) réponse impulsionnelle d(t) e(t) 17

III. Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace et de Fourier

III.1 Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace
22

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
Transformée de Laplace unilatérale (signaux causaux) T.L s(t) T.L-1 S(p) s(t<0)= 0 23

24

e(t) s(t) Système Dans le cas d’un système du 2nd degré Par Transformée de Laplace 25

Si système au repos avant la première exitation s(0+)=s(0-)= e(0+)=e(0-) C'est-à-dire noté Fonction de Transfert (opérationnelle) 26

plus généralement Fonction de Transfert (opérationnelle) Remarque : le dénominateur est l'équation caractéristique vue au chapitre II e(t) Système T.L Donc la fonction de Transfert est la Transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle 27

e(t) s(t) Calculons la fonction de transfert de ce système Domaine temporel Domaine de Laplace T.L d'où c.a.d 28

e(t) s(t) Calculons la réponse impulsionnelle h(t) de ce système Domaine temporel Domaine de Laplace T.L or c.a.d T.L-1 29

III.2 Les systèmes linéaires Par Transformée de Fourier
30

Transformée de Fourier
Etudions maintenant la réponse des systèmes à un signal d'entrée périodique Transformée de Fourier 31

III.2 Transformée de Fourier
signaux périodiques (T0 = 1/f0) Série de Fourier où w0 = 2 p /T0 où par exemple : créneau de périodeT0 T0 2T0 t 32

Série de Fourier d'un créneau de période T0 T0 2T0 t t 33

signaux périodiques (période finie) Signaux non périodiques (période infinie) Série de Fourier Transformée de Fourier 34

T0 2T0 par exemple : créneau de périodeT0 t s(t) f f0 3f0 5f0 |S(f)| T.F par exemple : porte de largeur T t s(t) f |S(f)|=T sinc(p f t) T.F 35

s(t-t0) 36

Système e(t) s(t) Par Transformée de Fourier : Réponse fréquentielle Obtenue en remplaçant p par jw dans la fct de transfert opérationnelle 37

Réponse fréquentielle e(t) Système T.F Donc la réponse fréquentielle est la Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle 38

e(t) s(t) Calculons la réponse fréquentielle de ce système Domaine temporel Domaine de Fourier T.F d'où c.a.d 39

Prenons une entrée sinusoïdale : T.F La réponse à cette entrée vaut : or et donc 40

T.F-1 donc Le gain G(w0) du système e0/s0 à w0 = | H(w0) | Le déphasage j(w0) de s(t) par rapport à e(t) à w0 = argument( H(w0) ) Diagramme de Bode = représentation de | H(w0) | et de j(w0) 41

III.3 Diagramme de Bode

III.3 Diagramme de Bode 46 On a montré que : Système Le gain Cad
Le déphasage de s(t) par rapport à e(t) = j(w0) =argument( H(w0) ) Diagramme de Bode = représentation de log10| H(w) | et de j(w) 46

III.3 Diagramme de Bode Exemple : soit un filtre du 1er ordre et 47

III.3 Diagramme de Bode 48 Comportement asymptotique
comportement du système à certaines fréquences caractéristiques par ex qd w0 ou qd w∞ Quand w0 Droite horizontale 0 dB 48

III.3 Diagramme de Bode 49 Comportement asymptotique Quand w∞
quand w 10 w alors -20 log(w)  -20 log(10w)=-20log(w)-20 Droite de pente -20 dB/décade d’ordonnée à l’origine 49

Droite horizontale 0dB Droite de pente dB/decade d’ordonnée à l’origine 1E4 1E3 1E5 -20 -15 -10 -5 -25 freq, Hz dB(out) 50

Les asymptotes se croisent quand cad quand w=1/t et G(w=1/t )= -3dB 1E4 1E3 1E5 -20 -15 -10 -5 -25 freq, Hz dB(out) -3dB 51

III.3 Diagramme de Bode 52 -45° pour w=1/t phase(out), deg freq, Hz
-80 -60 -40 -20 -100 freq, Hz phase(out), deg -45° pour w=1/t 52

IV. Les systèmes du 1er et du 2nd ordre
Seuls les systèmes du 2eme ordres sont traités très rapidement dans cette présentation. (Voir polycopié de cours)

IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
Gain en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients d’amortissement z z=0.1 z=6 z=0.3 z=0. 707 54

Phase en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients d’amortissement z z=6 z=0. 707 z=0.3 z=0.1 55

Réponse indicielle pour plusieurs coefficients d’amortissement z z=0. 1 z=0.3 z=0.707 z=1 z=3 56

V. Gabarits – Normalisation – Transposition
Quasiment non traité dans cette présentation. (voir polycopié de cours)

V. Gabarits – normalisation - transposition
Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? |H(w)| G wp w 58

Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? | H(f) | 1 fréquences 59

Filtre Passe Bas parfait … est il possible ? -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 0.2 0.4 0.6 0.8 1 | H(f) | -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 -0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 h(t) temps Non causal !!! TF-1 fréquences -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 Arg(H(f)) 60

1 fa/fp=1/k Passe Bas wn Gmin Gmax w wp wa 61

G V. Gabarits – normalisation - transposition 1 Passe Haut wn w wa wp
fa/fp=1/k 1 wn Gmin Gmax w wa wp 62

G V. Gabarits – normalisation - transposition Passe Bande wn Gmin
1 wn Gmin wa= w’2 – w2 Gmax wp= w’1 – w1 w w2 w1 w0 63

Coupe Bande G’ w2 w1 w0 w Gmin Gmax wp wn 1 64

VI. Recherche de H(p) à partir de |H(w)|
68

VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
(poly chapitre 2 - page 10) 69

e(t) Système s(t) de fonction de Transfert : Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC série, on a un système du 2eme ordre e(t) i(t) s(t) R L 70

Stabilité Solutions de l'équation différentielle :
solution générale : solution de l'équation sans second membre cad ( e(t)=0 régime libre) + solution particulière : solution de l'équation avec second membre cad ( régime forcé = transitoire + régime permanent) Stabilité étude du régime libre, cad étude de la réponse du système avec e(t)=0 un système est dit stable si quand e(t>0) = 0 71

les fonction de la forme s(t) = e p t sont solutions de cette équation différentielle et on a : d'où : or : donc : appelée équation caractéristique 72

résoudre l'équation différentielle revient donc à trouver les solutions de l'équation caractéristique : C’est-à-dire les pôles de la fonction de transfert. Ces pôles sont notées : p1 , p2 , …, pn sont soient simples réels ou complexes, ou bien doubles réels . 73

dans tous les cas, réponse stable si : ai < 0
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires Les solutions possibles de l’équation différentielle sont donc : dans tous les cas, réponse stable si : ai < 0 où ai = Re( pôles de H(p) ) 74

Conclusion VI.1 Stabilité des systèmes linéaires fonction de transfert
s(t) stable si les pôles de la fonction de transfert sont à Re < 0 Im(pi) pi Dans le plan complexe Re(pi) p*i Systèmes stables Systèmes instables 75

VI.2 Recherche de H(p) stable
76

On connait ou on choisit On cherche Pour déterminer e(t) s(t) K=1 R0 q C0 m C0 77

e(t) s(t) S.L.I où ai et bi sont réels positifs constants dans le temps La réponse fréquentielle H(jw) s'écrit : 78

VI.2 Recherche de H(p) stable 1°) propriété de |H(w)|
fct Réelle paire en w fct réelle paire en w impaire en w 79

de même fct Réelle paire en w fct réelle paire en w impaire en w d'où 80

donc cad est une fonction de w2 uniquement 81

VI.2 Recherche de H(p) stable 2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)
où p1 , p2, …pn sont les pôles de H(p) et z1 , z2, …zm sont les zéros de H(p) On a vu que : - les pôles et les zéros de H(p) sont soient réels soient complexes conjugués - Re(pôles) et Re(zéros) sont négatives (pour stabilité et déphasage minimum) Re Im pi p*i zi zi* d'où la répartition suivante : 82

VI.2 Recherche de H(p) stable 2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)
de plus cad donc les pôles et les zéros de H(p) H(-p) sont répartis comme ci dessous Im Re pi p*i zi zi* -pi -p*i -zi -zi* 83

VI.2 Recherche de H(p) stable 3°) Calcul de H(p)
On sait que : de plus : donc donc donc |H(w)|2 est fct de w2 uniquement 84

donc inconnu connu On cherche H(p) stable et à déphasage minimum Re Im pi p*i zi zi* -pi -p*i -zi -zi* On ne garde que ces pôles et zéros que l’on associe à H(p) On élimine ces pôles et zéros que l’on associe à H(-p) 85

par ex : d'où cad recherche des pôles et des zéros : - pas de zéro - pôles : cad cad 86

cad 87

cad Et on peut choisir Pour obtenir une fct normalisée ( gain max = 1) donc 88

VII. Prototypes de Filtres

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
90

2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 91

2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 92

2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 93

2 4 6 8 10 12 14 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Carré initial j(w) Carré filtré avec déphasage linéaire en fct fréq 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 94

Carré initial 2 4 6 8 10 12 14 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 j(w) Carré filtré avec déphasage NON linéaire en fct fréq Déformation 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 95

phase = fonction linéaire de la fréquence Pas de déformation des signaux dans la bande passante 96

VII.2 Prototypes 97

1°) Filtres de Butterworth
VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth 1°) Filtres de Butterworth calcul de H(w) Réponse la plus plate possible 98

VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth On désire normaliser à -3dB Donc on veut cad d'où La fréquence normalisée vaut : wn = w/wp 99

VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth Calcul de la fonction de Transfert On cherche les pôles de H(pn) H(-pn) 100

VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth Prenons par exemple une fonction d'ordre 2 pôles cad donc donc donc 101

VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth qui se répartissent comme suit : Re Im p1 -p1 -p1* p1* Pour calculer H(p) on ne doit garder que les pôles à partie réelle négative 102

VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth cad Im -p1 -p1* Re et H(pn) vaut : cad 103

VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth 104

|H(wn)| Filtres de Butterworth
VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth |H(wn)| Filtres de Butterworth -3dB n=1 asymptotes en -20 n dB/decade n=2 n=3 n=4 0.1 1 10 wn - pulsation de référence (wn=1) =pulsation de coupure à -3dB - pas d'ondulation dans la bande 105

Phase de H(wn) Filtres de Butterworth
VII.2 Prototypes 1°) Filtres de Butterworth Phase de H(wn) Filtres de Butterworth 0.1 1 10 0° w n - 45° n=1 - 90° - - 135° n= 2 - 180° n= 3 - 270° n= 4 - 360° 106

2°) Filtres de Chebychev
VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev 2°) Filtres de Chebychev A) Polynomes de Chebychev 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -5 5 10 15 20 25 T2 T3 T4 T5 T6 Tn(x) 107

VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev B) Filtres de Chebychev de type I 1 e=0.1 0.9 0.8 0.7 n=2 |H(wn)|2 0.6 0.5 0.4 n=3 0.3 0.2 n=4 0.1 wn 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 108

VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev 0.1 1 10 -60 -50 -40 -30 -20 -10 e=0.5  1 dB d'ondulation ordres 2 à 6 -1 -2 0.1 1 109

VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Chebychev C) Propriétés des Filtres de Chebychev - n oscillations dans la bande passante - "equal ripple" - ondulation fonction de e ondulation e=1  ondulation=3 dB e=0.5  ondulation=1 dB |H(wn=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général asymptotes en -20n dB/decade Coupure + raide que Butterworth phase – linéaire que Butterworth 110

3°) Filtres de Legendre (Papoulis)
VII.2 Prototypes 3°) Filtres de Legendre 3°) Filtres de Legendre (Papoulis) où Ln(x) n L (x) n 1 x 2 x 2 3 3 x 3 - 3 x 2 + x 4 6 x 4 – 8 x 3 + 3 x 2 5 20 x 5 - 40 x 4 + 28 x 3 - 8 x 2 + x 6 50 x 6 – 120 x 5 + 105 x 4 – 40 x 3 +6 x 2 111

VII.2 Prototypes 3°) Filtres de Legendre ordre 2 à 5 112 -10 -20 -30
-10 -20 -30 ordre 2 à 5 -40 -50 -60 -70 -80 10 -1 10 10 1 112

VII.2 Prototypes 3°) Filtres de Legendre ordre 2 à 5 113 -0.2 -0.4
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 ordre 2 à 5 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2 0.1 1 e=1  gain de -3 dB et donc une ondulation= 3 dB dans la bande passante e=0.5  gain de -1 dB et donc une ondulation= 1 dB dans la bande passante 113

VII.2 Prototypes 4°) Filtres de Cauer 4°) Filtres de Cauer 114 zéros 1
nb extrema dans la bande passante = ordre du filtre nb zéro = Ent(ordre du filtre /2) 114

VII.2 Prototypes 2°) Filtres de Cauer 115
C) Propriétés des Filtres de Cauer - n oscillations dans la bande passante |H(wn=1)| = - ondulation  ≠ -3 dB en général asymptotes ordres impairs :-20 dB/decade ordres pairs : asymptote horizontale Coupure + raide que Chebychev phase – linéaire que Chebychev 115

Recherche de la phase la + linéaire possible
VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel 5°) Filtres de Bessel Recherche de la phase la + linéaire possible Distorsion du signal la + faible possible 116

VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel 117
temps de propagation de groupe (t = -dj/dw) ( u.a) Bessel ordre 2 à 6 -0.1 -0.2 -0.3 ordre 2 -0.4 ordre 3 -0.5 ordre 4 -0.6 ordre 5 -0.7 ordre 6 -0.8 0.1 1 10 pulsations normalisées (wn) 117

VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel 5°) Filtres de Bessel 118
Gain des filtres de Bessel (dB) -10 ordre 2 -20 Bessel ordre 2 à 6 -30 3 -40 4 -50 5 -60 -70 6 -80 0.1 1 10 pulsations normalisées (wn) 118

6°) Comparaison des prototypes
VII.2 Prototypes 6°) Comparaison des prototypes Comparaison des Gains des prototypes normalisés à – 3 dB Bessel -10 Butterworth -20 Legendre Chebychev -30 -40 Cauer -50 -60 -70 -80 0.1 1 10 119

Phases comparées et linéarité
VII.2 Prototypes 6°) Comparaison des prototypes -50 Legendre Butterworth Bessel Chebychev -100 déphasage (°) -150 -200 -250 Phases comparées et linéarité 0.1 1 10 wn 100 Legendre Butterworth Bessel Chebychev Tps de propagation de groupe 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 120

VIII. Synthèse des Filtres Passifs
121

IX. Synthèse des Filtres Actifs

II Méthodes de Synthèse T.L. Pbas_1 Phaut_1 Pbas_2 Pbande_2 Phaut_2 Cbande_2 123

Synthèse par variable d'état  Filtres à intégrateurs
IX. Synthèse des Filtres Actifs Synthèse par variable d'état  Filtres à intégrateurs 124

1°) Synthèse par variable d'état Comment réaliser ces différentes fonctions ? Prenons par exemple un filtre Passe haut du second ordre : en divisant par 125

S IX. Synthèse des Filtres Actifs 126 1°) Synthèse par variable d'état
3 e(t) s(t) en sortie 1 on obtient s(t) réponse du filtre passe haut du second ordre 126

3 e(t) s(t) et en sortie 2 on obtient cad qui est un passe bande du second ordre 127

3 e(t) s(t) et en sortie 3 on obtient cad qui est un passe bas du second ordre 128

Synthèse à 1 AOP 129

2°) Synthèse à 1 A.O.P Structure Générale de Salen-Key du 2eme ordre Z4 Z1 Z2 + - e(t) s(t) Z5 Z3 R1 R2 Amplificateur de gain K positif (développés dans le chapitre suivant) 130

2°) Synthèse à 1 A.O.P Structure Générale de Rauch du 2eme ordre Z4 Z5 Z1 Z3 - e(t) Z2 + s(t) mais les structure à 1 AOP de type Salen-Key ou Rauch ont une sensibilité croissante avec le coefficient de qualité Q=1/2z  utilisable pour Q<8 cad z>0.06 131

2°) Synthèse à 1 A.O.P à rétroaction double - + e(t) s(t) type Deliyannis et Friend les structures à AOP multiple permettent d'obtenir des coefficients de qualité Q=1/2z > 50 cad z<0.01 132

Synthèse par simulation de composants
IX. Synthèse des Filtres Actifs Synthèse par simulation de composants 133

3°) Synthèse par simulation de composants ie is ve(t) Zs vs(t) ve= k vs is= - k' ie Si K est négatif on parle de Negative Impedance Converter (NIC) Si K est positif on parle de Positive Impedance Converter (PIC) Si K est complexe on parle de Generalised Impedance Converter (GIC) 134

3°) a. Circuits convertisseurs d'impédance On part d'une structure de filtre passif en échelle e(t) s(t) et on simule les inductances par des circuits actifs sans utiliser de self 135

3°) a. GIC GIC - + ie R1 R2 is R3 C4 ve R5 vs + - équivalent à une self en parallèle (mise à la masse) 136

3°) a. GIC - + ve ie is R1 R2 C4 R3 R5 v3 v2 i3 or vs=ve vs 137

3°) a. GIC GIC GIC = Generalised Impedance Converter - + ie R1 R2 GIC ve ve R3 ve C4 R5 + - GIC R 138

3°) a. GIC Pour simuler une inductance en série, il faut 2 GIC - + + - R1 R2 R2 R1 R3 R3 C4 C4 + - - + 139

3°) b. Gyrateur Gyrateur ie Rg Rg ve Z Z ou 140

3°) b. Gyrateur Utilisation du Gyrateur C1 C1 Rg C2 L2 141

3°) b. Gyrateur Structure d’un Gyrateur ? Rg Rg ie NIC NIC ve Z vs Rg NIC où Z 142

3°) a.ii. NIC Structure d’un NIC ? - + R Z ie ve - + R Z ie ve ie NIC NIC ve Z 143

3°) a.ii. NIC Calcul du NIC R ie - ve ie vs + i ve i R Z 144

3°) a.ii. NIC Calcul du NIC R ie - ve ie vs donc + i Par Def : ve i R Z D’où 145

3°) b. Gyrateur Calcul du Gyrateur (1/2) Rg Rg ie NIC NIC ve Z Rg Rg ie NIC ve Z+Rg -Rg Rg ie NIC Z' ve 146

3°) b. Gyrateur Calcul du Gyrateur (2/2) Rg ie NIC Z' ve ie NIC Z" ve ie -Z" ve 147

X. Synthèse des Filtres Actifs

Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits i+ v+ + i- v- - ( G infini ) donc pour avoir vs ≠ ∞ (ou ±Valim ) il faut v+ = v- de plus les impédances d'entrée sont infinies donc i+ et i- sont nul i+ = i-=0 149

Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits v+ = v- + e(t) - v- = e Z2 i e(t) s(t) Z1 si Z1 =R1 et Z2 =R2 alors 150

- X. Synthèse des Filtres Actifs 151
Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits s(t) Z2 Z1 - e(t) e(t) + s(t) v+ = v- = 0 151

2°) Premiers Ordres R s(t) + - Passe Bas du 1er ordres s(t) C e(t) K=1 K= 1 + R2 / R1 e(t) + - s(t) R2 R1 R C 152

2°) Premiers Ordres Passe Bas du 1er ordres R K C e(t) s(t) 153

2°) Premiers Ordres Passe Bas du 1er ordres C R2 - R1 e(t) + s(t) 154

2°) Premiers Ordres Passe Haut du 1er ordres C K e(t) R s(t) R2 - R1 e(t) C + s(t) 155

3°) Salen-Key Structure Générale des Salen-Key du 2eme ordre L’amplificateur de gain K est en général construit autour d’un AOP Z4 K Z1 Z2 i=0 e(t) s(t) Z5 Z3 vi v+ 156

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key e(t) s(t) K R1 R2 C4 C3 Z1 = R1 Z2 = R2 Y3 = C3 p Y4 = C4 p Z5 = ∞ 157

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key q C0 K=1 R0 R0 e(t) s(t) m C0 R1 = R2 = R0 C4 = m C0 C3 = q C0 K=1 158

3°) Salen-Key e(t) s(t) K=1 R0 q C0 m C0 Passe Bas de Salen-Key 159

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : Normalisation q C0 Impédance de référence : R0 la pulsation de référence : K=1 R0 R0 e(t) s(t) m C0 R0 1 C0 1 mC0 m e(t) s(t) K=1 1 q m qC0 q 160

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : Normalisation e(t) s(t) K=1 1 q m Impédance de référence : R0 la pulsation de référence : 161

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Butterworth q K=1 1 1 e s m Passe Bas d'ordre 2 de Salen-Key : m= ; q=1.4142 162

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple filtre normalisé q=1.4142 e s K=1 1 m=0.7071 -20 db( V(Out1) / V(In) ) PasseBasOrdre2_Normalise_Parfait.sch -40 wn 0.1 1 163 10

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple filtre dénormalisé à f0 = 1 kHz 225 nF 112.5 nF -0 PasseBasOrdre2_Parfait.sch -20 db( V(Out1) / V(In) ) -40 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 164 Fréquence

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4 m1= ; q1 =1.0823 m2= ; q2 =2.6131 résonance G(wr = w0 ) = Vm = 1.41 165

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4 G(wr = w0 ) = Vm = 1.41 q2 C0 K=1 R0 m2 C0 m2= ; q2 =2.6131 m1= ; q1 =1.0823 q1 C0 K=1 R0 m1 C0 e s PasseBasOrdre4_Parfait.sch Les Q élevé en tête 166

3°) Salen-Key Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4 Vm = 1.41= 3dB fr = f0 -0 1er étage 2eme étage -20 les 2 étages -40 -60 100Hz 300Hz f0 = 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 167 Fréquence

3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key R3 K C1 C2 e(t) s(t) R4 Y1 = C1 p Y2 = C2 p Z3 = R3 Z4 = R4 Z5 = ∞ 168

3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key R3=R0 / q 1 C1=C0 C2=C0 e(t) s(t) R4=R0 / m C1 = C2 = C0 R4 = R0 /m R3 = R0 /q K=1 169

3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key e(t) s(t) 1 R0 / q R0 / m C0 170

3°) Salen-Key Passe Haut de Salen-Key e(t) s(t) 1 R0 / q R0 / m C0 avec et R0 1 C0 1 R0 / q 1 / q R0 / m 1 / m e(t) s(t) 1 1/ q 1/ m 171

3°) Salen-Key Passe Bande de Salen-Key 2eme ordre (mais pentes en ± 20dB/dec ) R R C K e s C 2 R Gain à w0 : mais structure trop sensible aux écarts de valeur 172

Passe Bande de Rauch 2eme ordre (mais pentes en ± 20dB/dec ) C0 R0 / m q R0 C0 - e + s m R0 1-m2 173

3°) Salen-Key Passe Bande de Salen-Key 4eme ordre (pentes en ± 40dB/dec ) q C0 R0 / q 1 1 R0 R0 e C0 C0 R0 / m s m C0 174

2°) Salen key Exemple de Passe Bande : Chebychev Ordre 6 de bande relative de 20% (pentes en 1/p3 60dB/dec) 20 PasseBandeOrdre3_Chebychev_0.20_Parfait.sch db(V(Out1)/V(In)) db(V(Out2)/V(Out1)) -0 db(V(Out3)/V(Out2)) Pente 40dB/dec db(V(Out3)/V(In)) -20 -40 Pente 20dB/dec Pente 60dB/dec -60 175 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz

3°) Sensibilité Rappel sur la sensibilité Soit une fonction f(x1 , x2 , …, xn), la sensibilité notée vaut : Elle représente la variation relative de la fonction f par rapport à la variation relative du paramètre xi exemple : f(x,y)= x2 + 3y A.N : en x=1 et y=1 = (50%) = (75%) si x varie 20% (dx/x = 0.2 ) alors f varie de [dx/x]*[Sx] soit 0.2 * 0.5 = 0.1 = (10% ) si y varie 20% (dy/y = 0.2 ) alors f varie de [dy/y]*[Sy] soit 0.2 * 0.75 = 0.15 = (15% ) 176

3°) Sensibilité Sensibilité d'un filtre de Salen Key e s 1 R1 R2 C2 C1 177

3°) Sensibilité Sensibilité d'un filtre de Salen Key e s 1 R1 R2 C2 C1 178

3°) Sensibilité Sensibilité d'un filtre de Salen Key 10 2.43KHz -10 -20 -30 1.0KHz 2.7KHz 10KHz Fréquence 179

Bibliographie Analyse et synthèse des filtres actifs analogiques, Gérard Mangiante, Ed. Lavoisier (Bibliothèque Physique Enseignement MAN ) Filtres actifs, P. Bildstein, Ed. de la radio Mathématiques Générales, Jacques Velu, Ed. Dunod (équations différentielles) (Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 VEL 03E Les Mathématiques en Licence, 1ere année Tome 2, E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac, Ed. EdiScience (équations différentielles) (Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 AZO 2(1).03Q 180

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