Exercice 2 1°) ABCD un trapèze, et M et N les milieux respectifs de [BC] et [DA]. On pose AB = a ; CD = b ; MN = c Démontrez que c = ( a + b ) / 2.

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1 Exercice 2 1°) ABCD un trapèze, et M et N les milieux respectifs de [BC] et [DA]. On pose AB = a ; CD = b ; MN = c Démontrez que c = ( a + b ) / 2

2 A a B N c M D b C

3 Quel outil semble approprié pour cette question ? A a B N c M D b C

4 Quel outil semble approprié pour cette question
Quel outil semble approprié pour cette question ? Thalès car on a deux parallèles et … A a B N c M D b C

5 Quel outil semble approprié pour cette question
Quel outil semble approprié pour cette question ? Thalès car on a deux parallèles et on cherche une longueur. A a B N c M D b C

6 Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? A a B N c M D b C

7 Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas
Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car … A a B N c M D b C

8 Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas
Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite … A a B N c M D b C

9 Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas
Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et … A a B N c M D b C

10 Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas
Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et deux sécantes. A a B N c M D b C

11 Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas
Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et deux sécantes, et on ne les aura pas dans le cas où … A a B N c M D b C

12 Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas
Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et deux sécantes, et on ne les aura pas dans le cas où le trapèze est aussi un parallélogramme. A a B N c M D b C

13 Supposons que le trapèze est quelconque : on a alors deux parallèles et deux sécantes : A a B N c M D b C

14 Supposons que le trapèze est quelconque : on a alors deux parallèles et deux sécantes : O A a B N c M D b C

15 Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c
Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c ? O A a B N c M D b C

16 Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c
Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c ? non car il n’utilise que 2 parallèles, et non 3. O A a B N c M D b C

17 Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

18 Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

19 Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

20 Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

21 Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre
Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? pas celui-ci, car il nous donnera la relation entre a et b selon les positions de A et B. O A a B N c M D b C

22 (NM) est la droite des milieux, donc elle est parallèle à (AB) ; donc d’après Thalès OA/ON = OB/OM = AB/NM O A a B N c M D b C

23 (NM) est la droite des milieux, donc elle est parallèle à (DC) ; donc d’après Thalès ON/OD = OM/OC = NM/DC O A a B N c M D b C

24 On a donc : ON/OD = OM/OC = NM/DC et OA/ON = OB/OM = AB/NM O A a B N c M D b C

25 Ne conservons les rapports que sur deux côtés : OM/OC = NM/DC et OB/OM = AB/NM O A a B N c M D b C

26 qui donnent : OM/OC = c / b et OB/OM = a / c O A a B N c M D b C

27 qui donnent : OM/OC = c / b et OB/OM = a / c OM c OB OM a OC b c OM c OC b OM b OC c

28 on en déduit : OM × b / c = OC et OB = OM × a / c O A a B N c M D b C

29 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? O A a B N c M D b C

30 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] O A a B N c M D b C

31 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = … O B M C

32 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + … O B M C

33 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( … - … ) B M C

34 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + … B M C

35 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = … + ½ OC – ½ OB B M C

36 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = 2/2 OB + ½ OC – ½ OB B = … M C

37 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = 2/2 OB + ½ OC – ½ OB B = ½ OB + ½ OC M = … C

38 Quelle propriété n’a pas encore été utilisée
Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = 2/2 OB + ½ OC – ½ OB B = ½ OB + ½ OC M = ( OB + OC ) / 2 C

39 M est le milieu de [BC] on en déduit OM=(OB+OC)/2 O A a B N c M D b C

40 Même méthode : N est le milieu de [AD] on en déduit ON=(OA+OD)/2 O A a B N c M D b C

41 OM=(OB+OC)/2 et OM×b/c = OC et OB = OM×a/c on en déduit O A a B N c M D b C

42 on en déduit OM=(OB+OC)/2 = [ (OM×b/c)+(OM×a/c) ] / 2 O A a B N c M D b C

43 on divise par OM 1 = [ (b/c)+(a/c) ] / 2 O A a B N c M D b C

44 on multiplie par c c = [ (b)+(a) ] / 2 c = ( a + b ) / 2 O A a B N c M D b C

45 2ème méthode O A a B N c M D b C

46 2ème méthode O A a B N c E M D b C

47 2ème méthode (NM) est parallèle à (DC) donc … O A a B N c E M D b C

48 2ème méthode (NM) est parallèle à (DC) donc je fais Thalès dans ADC O A a B N c E M D b C

49 2ème méthode (NM) est parallèle à (DC) donc je fais Thalès dans ADC AN/AD = AE / AC = NE / DC O A a B N c E M D b C

50 2ème méthode N milieu donc ½ = AE / AC = NE / DC O A a B N c E M D b C

51 2ème méthode N milieu donc ½ = AE / AC = NE / DC donc NE = ½ DC = ½ b O A a B N c E M D b C

52 même méthode dans ABC Thalès et M milieu donc CM/CB = CE / CA = ME / AB donc ½ = CE / CA = ME / AB donc ME = ½ AB = ½ a A a B N c E M D b C

53 NM = NE + EM = ½ b + ½ a c = ( a + b ) / 2 O A a B N c E M D b C

54 2°) Démontrez que l’aire du trapèze est MN × la hauteur A a B N c M D b C

55 2°) A quoi correspond la formule MN × la hauteur ? A a B N c M D b C

56 2°) A la surface d’un rectangle longueur × largeur A a B N c M D b C

57 2°) Comment créer un rectangle qui aurait la même aire que le trapèze
2°) Comment créer un rectangle qui aurait la même aire que le trapèze ? A a B N c M D b C

58 Soient les perpendiculaires aux bases passant par les milieux , et leurs intersections A’, B’, C’ et D’ avec les droites passant par les bases : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

59 que remarque-t-on ? O A’ A B B’ N M D D’ C’ C

60 Soient les perpendiculaires aux bases passant par les milieux : que remarque-t-on ? les triangles A’AN et DD’N semblent identiques Idem BB’M et CC’M A’ A B B’ N M D D’ C’ C

61 Les angles suivants sont : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

62 Les angles suivants sont : alternes/internes A’ A B B’ N M D D’ C’ C

63 Les angles suivants sont : alternes/internes donc sont : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

64 Les angles suivants sont : alternes/internes donc sont : égaux
Les angles suivants sont : alternes/internes donc sont : égaux. A’ A B B’ N M D D’ C’ C

65 Les 2 côtés … de DD’N et AA’N sont …. : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

66 Les 2 côtés [ND] et [NA] de DD’N et AA’N sont de même longueur car … A’ A B B’ N M D D’ C’ C

67 Les 2 côtés [ND] et [NA] de DD’N et AA’N sont de même longueur car N est milieu de [DA] A’ A B B’ N M D D’ C’ C

68 A = D et DN = NA donc on va utiliser… A’ A B B’ N M D D’ C’ C

69 A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus A’ A B B’ N M D D’ C’ C

70 A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = adjacent/hypothénuse O A’ A B B’ N M D D’ C’ C

71 A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = AA’ / AN A’ A B B’ N M D D’ C’ C

72 A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = AA’ / AN cos D = DD’ / DN A’ A B B’ N M D D’ C’ C

73 A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = AA’ / AN cos D = DD’ / DN Donc AA’ = DD’ A’ A B B’ N M D D’ C’ C

74 Avec le sinus on obtient … A’ A B B’ N M D D’ C’ C

75 A = D et DN = NA avec le sinus sin A = NA’ / AN sin D = ND’ / DN Donc NA’ = ND’ A’ A B B’ N M D D’ C’ C

76 On a bien 2 triangles avec 3 mêmes côtés ( et un angle commun, donc finalement 3 angles égaux ) A’ A B B’ N M D D’ C’ C

77 On aurait pu utiliser Thalès « papillon » dans NA / ND = NA’ / ND’ = AA’ / DD’ donc 1 = NA’ / ND’ = AA’ / DD’ Donc NA’=ND’ et AA’ = DD’ A’ A B B’ N M D D’ C’ C

78 Même méthode pour démontrer que les triangles BB’M et CC’M sont identiques ( on dit isométriques ) A’ A B B’ N M D D’ C’ C

79 Je déplace DD’N et CC’M A B N M D C

80 Je déplace DD’N et CC’M O A’ A B B’ N M D’ C’

81 L’aire du trapèze devient … A’ A B B’ N M D’ C’

82 L’aire du trapèze ABCD devient celle du rectangle A’B’C’D’ A’ A B B’ N M D’ C’

83 Aire du trapèze ABCD = celle du rectangle A’B’C’D’ = largeur × hauteur = MN × hauteur A’ A B B’ N M D’ C’