Résolution de problèmes au cycle 3

Présentation au sujet: "Résolution de problèmes au cycle 3"— Transcription de la présentation:

1 Résolution de problèmes au cycle 3
Quelle est la demande institutionnelle? Ont déjà été évoqués dans le premier diaporama de david Touya (Les difficultés liées à la résolution de problèmes) et ne seront donc pas développés: Les types de difficultés des élèves; La rédaction des solutions La différenciation Il ne sera pas non plus question de l’évaluation. Cet essai de mise au point didactique se base sur les travaux de Roland Charnay, sur des travaux de l’INRP, des emprunts à Dominique Pernoux (ex-formateur en mathématiques 1er degré à l'IUFM d'Alsace) : et au site de la circonscription d’Hyères: Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

2 Pour les programmes 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. D’où une question: quelle place pour les problèmes dans les différentes phases du processus d’apprentissage en mathématiques? Découverte Structuration Mémorisation Entraînement, systématisation Approfondissement Réinvestissement Et selon ces stades, quelles seront nos attentes notamment en terme de procédures: Personnelles: utiliser des manipulations concrètes, dessins, schématisation de la situation, dénombrement, essais/erreurs… Expertes: utiliser les opérations mathématiques et pouvoir les expliciter. Comment traduire dans les faits « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique »? Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

3 Et le socle commun… Il s'agit aussi de développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration. La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Malgré ces jalons posés par l’institution, les conclusions d’une enquête nationale auprès des équipes de circonscription laissent pourtant apparaître: Une place insuffisante de la résolution de problèmes dans les apprentissages mathématiques; Une quasi-absence des problèmes de géométrie; Un enseignement basé essentiellement sur des problèmes d’application, très peu de problèmes de recherche susceptibles de développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration… Un enseignement peu structuré en terme de structure de séance et de progression-programmation « Qu’est-ce qu’un problème? Comment faire pour le résoudre ? » Les réponses données par des élèves en difficulté dans l’activité de résolution de problème témoignent aussi de leur vécu scolaire: il n’y a qu’une façon de résoudre les problèmes un problème se présente toujours sous la forme d’un énoncé qui se termine par une question un problème a toujours une solution un problème fait toujours intervenir des nombres c’est le résultat qui compte pour résoudre un problème, il faut utiliser les dernières notions vues en classe pour trouver la solution, il faut déjà savoir seul le maître (ou un autre adulte) est capable de dire si le résultat est le bon ou non Outre les carences déjà évoqués quant à la place de la résolution de problèmes, les réponses des élèves font aussi apparaître que l’on varie très peu souvent la forme des supports des problèmes proposés, quid par exemple des énoncés oraux des supports imagés? Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

4 Organisation et gestion de données
CE2 CM1 CM2 Nombres et calcul Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes Résoudre des problèmes de plus en plus complexes Géométrie Reproduction de construction Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé) à partir d’un modèle. Construire un carré ou un rectangle de dimensions données Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir d’un programme de constructions en suivant des consignes Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé) à partir d’un programme de construction ou d’un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions. Grandeurs et mesures Résoudre des problèmes dont la résolution implique des longueurs (m –km –cm –mm); masses (kg – g); capacités (l – cl); monnaies (€ - centime d’€); temps (h – min. – s – mois – année) Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure. Organisation et gestion de données Savoir organiser les données d’un problème en vue de sa résolution. Utiliser un tableau ou un graphique en vue d’un traitement des données Construire un tableau ou un graphique. Interpréter un tableau ou un graphique. Lire les coordonnées d’un point. Placer un point dont on connaît les coordonnées. Utiliser un tableau ou la « règle de trois » dans des situations très simples de proportionnalité. Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont la règle de trois). Quels questionnements supplémentaires ce tableau induit-il? Comment interpréter les « blancs du tableau? Quelle place pour une démarche spiralaire dans cet exemple de progression? Ces tableaux sont des repères pour les apprentissages, ils ne doivent pas laisser à penser que les problèmes complexes sont réservés aux CM2, c’est leur maîtrise qui est exigible au CM2, on se doit d’organiser la progressivité de leur apprentissage dès le début du cycle. Qu’est-ce qu’un problème de plus en plus complexe? ( détails diapositives suivantes) Peu cités dans les programmes mais explicitement évoqués dans le socle, problèmes complexes dans une certaine mesure ( à voir diapositive suivante) et problèmes ouverts doivent être enseignés car d’après les tests PISA : les principales difficultés des élèves français sont celles liées à la résolution d’une tâche complexe exigeant de combiner plusieurs tâches simples pour lesquelles d’après ces mêmes tests ils sont pourtant en réussite… Quelle place pour la résolution de problèmes dans nos classes: Les problèmes constituent-ils un enseignement à part ou bien sont-ils intégrés peu ou prou aux différents domaines comme cette présentation le laisse à penser? D’où une nécessaire réflexion à avoir sur les différents objectifs que l’on peut se fixer lorsque l’on propose des problèmes à résoudre et donc ne pas se contenter d’une programmation comme ici centré sur les domaines mathématiques concernés mais prendre en compte aussi une classification basée sur une classification des types de problèmes. Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

5 Rôle du problème Type Fonction Tâche de l’élève
Pour construire des connaissances Problème Pour apprendre Situation-problème P1 Construction d’une connaissance nouvelle ou d’un nouvel aspect d’une connaissance déjà abordée Engager des connaissances antérieures; Invalider/ valider; élaborer une nouvelle connaissance Pour réinvestir des connaissances Problème d’application direct P2 Entraînement à la maîtrise du sens d’une connaissance nouvelle Appliquer la connaissance Problème de transfert ou de réinvestissement P3 Utilisation d’une (de) connaissance(s)dans un contexte différent de celui où elle a été abordée Adapter la connaissance Pour intégrer des connaissances Pour chercher Indépendant des apprentissages du moment Problème complexe P4 Apprendre à chercher (étapes, déductions) lorsque les connaissances nécessaires sont en place Trier, organiser plusieurs catégories de connaissances pour élaborer une stratégie Problème ouvert P5 Apprendre à chercher (objectif surtout méthodologique) Essayer, conjecturer, tester, argumenter; élaborer une démarche originale. Exemple de classification selon le rôle attribué au problème dans la démarche d’apprentissage donnée comme dans le tableau ci-dessus: Détails par type de problèmes donnés dans les diapositives de fin de diaporama : P1= diapositive 9; P2et P3= diapositive 10; P4= diapositive 11; P5= diapositive 12 et diapositive 13 En résolution de problèmes, on peut distinguer 3 degré de complexité: Tâches simples : exécuter une procédure de base/ Procédure de base= automatismes= simple restitution de savoirs (application, à l’identique), degré qui correspond aux problèmes d’application et de réinvestissement (P2 et P3) du tableau ci-dessus. Choisir et combiner plusieurs procédures/ Interprétation de la situation, réinvestissement dans une situation familière. L’élève a utilisé récemment les procédures ou les connaissances pertinentes à la résolution. Choisir et combiner plusieurs procédures dans une situation nouvelle et complexe/ réinvestissement dans une situation nouvelle et complexe. L’élève doit produire une réponse qu’il n’a pas mémorisée avant ; pour cela il doit effectuer une recherche approfondie dans le répertoire de ses ressources afin de déterminer celles qui seront utiles. Nous avons souvent tendance dans notre inconscient collectif une représentation du problème souvent limitée aux problèmes numériques d’un degré de complexité 1 et 2. Base de réflexion : « une situation complexe n’est pas une situation compliquée : une situation est complexe si elle combine des éléments que l’élève connaît, qu’il maîtrise, qu’il a déjà utilisés mais de façon séparée, dans un autre ordre ou dans un contexte séparé » . (X Rogiers ). Donc attention à ne pas confondre problèmes complexes et problèmes pour chercher pour lesquels il n’y a ni procédures expertes, ni solutions avérées.. Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

6 En conclusion, être vigilant:
Sur l’objectif que l’on assigne aux problèmes donnés à résoudre à nos classes Pour Jacques Moisan doyen du groupe des mathématiques de l’inspection générale de l’éducation nationale et en cohérence avec les attentes du socle commun (Cf. diapositive 3) : un des objectifs essentiels de l’enseignement des mathématiques, dès l’école primaire est le développement des qualités de logique et d’aptitude au raisonnement. Pour qu’il puisse construire ses propres schémas logiques, il est indispensable : De mettre l’élève en situation de recherche, personnelle ou en groupe dans le cadre d’une activité de résolution de problème ; D’instaurer le débat mathématique dans la classe de telles sortes que les méthodes trouvées puissent être examinées et confrontées Les cinq types de problèmes évoqués sur la diapositive 5 et donc les objectifs qui leur sont liés doivent être travaillés chaque année et tout au long du cycle, hors le danger d’une progression uniquement basée sur les domaines mathématiques comme celle des programmes (ainsi que dans beaucoup de manuels) et une absence dans nos emplois du temps, comme c’est souvent le cas, d’un horaire spécifique à la résolution de problème, peuvent amener à ne proposer dans une très large mesure à nos élèves une majorité de problèmes d’application qui de fait contextualisent certes l’opération à utiliser mais en aucun cas ne permettent la mise en place d’une réelle démarche de résolution de problèmes. Il est donc souhaitable de laisser dans nos emplois du temps et dans nos programmations et progressions une large place aux problèmes complexes et aux problèmes ouverts qui pourraient cohabiter dans les emplois du temps avec les apprentissages en « Organisation et gestion de données ». De plus, les projets de classe interdisciplinaires (EPS, culturels) peuvent donner l’occasion d’ancrer dans la réalité certaines situations problèmes comme le préconise le socle commun. Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

7 En conclusion, être vigilant:
Sur l’objectif que l’on assigne aux problèmes donnés à résoudre à nos classes Et donc sur nos attentes en terme de critères de réussite et donc d’évaluation… S’il faut redonner le goût du débat mathématique cela induit aussi une confrontation de ses procédures et essais de résolution à ses pairs. Cela induit de mener de vraies mises en commun propices à l’argumentation et aux échanges. En effet, au cycle 3, les élèves, avec l'aide des maîtres, peuvent commencer à prendre conscience de la nature particulière des démarches et des notions mathématiques. En particulier, ils peuvent commencer à élaborer des preuves, ou à en faire la critique, c'est à dire se donner pour but d'établir la valeur de vérité d'une proposition, et ce à l'aide d'arguments qui soient spécifiques aux mathématiques… Moment essentiel de l'action didactique, toute mise en commun s'avère cependant délicate à mener. On cherchera à éviter: o La présentation exhaustive et fastidieuse des productions: ce moment est vécu par tous comme une sorte de rituel fastidieux, plus ou moins vide de sens, et fort pauvre pédagogiquement… o La correction en lieu et place d’une véritable mise commun: l'enseignant peut concevoir la mise en commun comme l'occasion privilégiée de communiquer à l'ensemble du groupe classe -enfin ! - " la " bonne solution, celle qu'il a prévue depuis le début de la séance. C'est ainsi qu'en accueillant d'un regard trop bienveillant une procédure particulière, l'enseignant court-circuite l'intérêt majeur d'une mise en commun mais aussi le travail d'élaboration de connaissances visé par la situation-problème… o La non-intervention: il s'agirait alors d'espérer que les élèves exhibent alors spontanément leurs méthodologies, parviennent à communiquer leurs procédures originales et deviennent capables de prendre du recul par rapport à la situation particulière qu'ils viennent d'étudier… Ainsi, si à l'issue du débat en grand groupe, les élèves se sont mis d'accord sur une proposition fausse, le maître doit intervenir pour faire réfuter ou réfuter lui-même les preuves erronées. La fonction d'une mise en commun dépend de l'objectif assigné à la situation proposée : être au clair sur nos attentes, s’agit-il d’un entraînement à l’utilisation d’une solution experte (problème d’application) ou de mesurer la capacité à élaborer une démarche personnelle et à la prouver? Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

8 En conclusion, être vigilant:
Sur l’objectif que l’on assigne aux problèmes donnés à résoudre à nos classes Et donc sur nos attentes en terme de critères de réussite et donc d’évaluation… Cela aura donc des incidences sur la mise en œuvre pédagogique de nos séances Ces points de vigilance auront donc au final aussi une incidence sur la structure de nos séances de classes, cela peut amener à prévoir de façon plus systématique plusieurs phases successives: 1/ Une mise en situation qui va différer selon le rôle assigné au problème à partir soit d’objets concrets (jeu de cartes, pions…), soit d’un énoncé (oral ou écrit), d’une situation de la vie de la classe ou de la vie courante ou encore à partir d’un défi-math. 2/ D’une prise en compte de ce que savent les élèves par un: temps de recherche individuelle : les élèves s’appuient sur leurs connaissances préalables pour trouver des solutions temps de recherche en groupe : c’est un temps durant lequel il s’agit de prouver avant la mise en forme d’une affiche pour communiquer avec une formulation de procédures à tester (rappel: selon la nature du problème les élèves peuvent faire appel à des procédures personnelles et/ou expertes). 3/ Mise en commun des procédures avec une présentation et un débat autour des différentes procédures trouvées dans les groupes. Par la confrontation et la comparaison, l’échange et l’argumentation les élèves valident les propositions. Le maître questionne, interpelle, incite à argumenter. 4/ Synthèse et conclusion de la séance: le maître aide les élèves à organiser et structurer les connaissances, les procédures intéressantes et les comportements essentiels qui ont été élaborés. Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

9 Quelles différences entre :
Problème-exercice d’application Situation problème Situation connue Méthode déjà acquise Application Consolidation d’un savoir, entraînement Conditionnement, s’exercer Situation inédite Méthode inconnue Création Acquisition d’un savoir Autonomie, ouverture: invention d’un chemin possible… Diapositive annexe de la diapositive 5/ Illustration problèmes de type P1/ Objectif de ce type de problème: Élaborer de nouvelle connaissance Qu’est-ce qu’une situation problème ? Elle doit : Avoir du sens Etre lié à un obstacle dont on a pris conscience par l’émergence des représentations Faire naître un questionnement et Créer des ruptures Correspondre à une situation complexe (plusieurs procédures possibles) Déboucher sur un savoir d’ordre général L’élément le plus important qui différencie les situations problèmes des problèmes ouverts, c’est la présence d’une véritable rupture, allant à l’encontre des conceptions initiales, ce qui provoque l’apprenant et là, donne du sens à son activité. Un simple changement dans la mise en mots ou les données peuvent transformer un exercice en situation problème: « 4 enfants ont bonbons à se partager, Combien chacun va-t-il en manger ? » Les élèves peuvent le classer comme impossible à résoudre par l’obstacle qu’est la rupture dans la conception du partage. Base de réflexion: « Enseigner aux élèves les problèmes avant de leur enseigner les connaissances qui permettent de les traiter efficacement, autrement dit de fixer un enjeu pour l’apprentissage[…] Cela s’appuie sur l’idée qu’il ne sert à rien d’enseigner une connaissance nouvelle si les connaissances erronées ou moins intéressantes n’ont pas encore étaient repérées par les élèves. Autrement dit apprendre c’est non seulement savoir plus mais aussi savoir autrement ». Roland Charnay Pourquoi des mathématiques à l’école ?, ESF,1996  Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

10 Modèle de résolution connu Modèle de résolution inconnu
Informations disponibles Problèmes d’application Pas d’objectif spécifique à la résolution de problème : « J’achète 8 livres. Chacun coûte 9 euros. Quelle somme d’argent sera nécessaire ? » Problèmes de recherche ou dits problèmes « ouverts » Nécessité de rechercher, de trier, d’organiser et décomposer les informations Problèmes complexes Trop dur ! Démobilisant et inutile : pas de possibilité de contrôler soi-même résultats ou méthodes Tableau issu d’un classement proposé par l’INRP (Ermel) pour le CM2 Diapositive annexe de la diapositive 5/ Illustration problèmes de types P2 et P3/ Des problèmes pour s’entraîner (problème classés P2 et P3 sur la diapositive 5, pour rappel dans le cas de problèmes classés P2 il s’agira d’appliquer la connaissance, pour ceux de type P3 de l’adapter à un nouveau contexte) : L’objectif de ces types de problèmes: Proposer des activités visant à acquérir, renforcer des techniques opératoires, des mécanismes de calcul dans le cadre d’une situation lui donnant du sens. C’est-à-dire de mettre en situation l’opération travaillée, de lui donner du sens; par conséquence, on va aboutir plus à une correction qu’à une mise en commune puisque la solution experte sera valorisée et présentée comme la «résolution» dont il faut s’approcher le plus possible. La compétence travaillée dans ce cas est «  Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux ( pour la division, le diviseur est un nombre entier) ». Cependant une véritable mise en commun pourra permettre par l’échange et la confrontation de stabiliser la notion, d’institutionnaliser ce savoir. C'est en interrogeant les démarches des autres que chacun peut même s’il n’a pas encore reconnu cette démarche experte comme plus efficace ou plus économique et si la distance cognitive n'est pas trop grande, faire sienne une nouvelle procédure et élargir le champ de ses possibles. Base de réflexion: « Pour être intéressantes des connaissances doivent être d’emblée fonctionnelles, être des outils intéressants. Autrement dit connaître un concept, c’est d’abord savoir à quoi il sert avant de savoir ce qu’il est.». Roland Charnay Pourquoi des mathématiques à l’école ?, ESF,1996 Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

11 Modèle de résolution connu Modèle de résolution inconnu
Information s disponibles Problèmes d’application Problèmes de recherche / Problèmes « ouverts » Nécessité de rechercher, de trier, d’organiser et de décomposer les informations Problèmes complexes (P4) « Une entreprise expédie 3 chargements de 300 kg chacun pour équiper une école. Le premier chargement contient 15 tables et 30 chaises. Le second contient 25 tables. Le troisième contient 10 tables, 20 chaises et 5 armoires. Combien pèse une chaise ? Une table ? Une armoire ? » Trop dur ! Démobilisant et inutile : pas de possibilité de contrôler soi-même résultats ou méthodes Diapositive annexe de la diapositive 5/ Illustration problèmes de type P4/ Sélectionner des informations et résoudre des problèmes complexes. La place du problème complexe est complexe! Le tableau de la diapositive 5 le situe parmi les problèmes pour chercher car le verbe « chercher » doit être pris comme un mot à double sens: on peut avoir à chercher parmi les solutions déjà éprouvées ou à chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur. Trois objectifs principaux sont visés: 1) Reconnaître, trier, organiser et traiter les données utiles. 2) Concevoir des étapes, planifier une résolution. 3) Communiquer sa démarche et rédiger des solutions. Dans ce cas tout comme dans celui d’un problème ouvert, la mise en commun sera de mise puisqu’il s’agit dans les deux cas d’apprendre à chercher soit parmi l’éventail des procédures maîtrisées et à disposition tout en sélectionnant et organisant les informations, soit en inventant une solution originale et personnelle par essais et tâtonnements. La mise en commun sera l’occasion d’inventorier les «résolutions», de débattre de leur validité, de les comparer (notamment en mettant en évidence les liens entre elles et en permettant le passage de l’une à l’autre avec pour conséquence de mettre l’accent sur la diversité des procédures employées sans valorisation excessive (celle-ci semble plus économique, telle autre plus astucieuse) ou mépris. La mise en commun n'est d’ailleurs pas nécessairement terminale mais doit souvent intervenir en cours de recherche de manière à ne pas laisser certains élèves dans l'impasse ; à jouer un rôle de relance, de bilan intermédiaire qui permet aux élèves de se remobiliser sur le problème, de faire " rebondir " la recherche… Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

12 Modèle de résolution connu Modèle de résolution inconnu
Informations disponibles Problèmes d’application Problèmes de recherche /« ouverts » Développer des stratégies de recherche… et le goût pour la recherche : « Vous devez obtenir 41 en additionnant des 8 et des 3 » Nécessité de rechercher, de trier, d’organiser et de décomposer les informations Problèmes complexes Diapositive annexe de la diapositive 5/ Illustration problèmes de type P5/Développer des stratégies de recherche. Objectifs: améliorer la gestion des procédures par essais de calcul successifs : garder la trace des essais, les relire, en identifier les variables, faire des ajustements au voisinage du but, vérifier que les solutions sont compatibles avec les contraintes de l'énoncé; s'organiser pour produire les solutions dans des problèmes de recherche de tous les possibles, comparer les solutions, contrôler que l'on a toutes les solutions ; formuler des conjectures et émettre des hypothèses ; établir la preuve d'une proposition ; Caractéristiques d'un « problème ouvert »: - L'énoncé est court et concerne un domaine (numérique, géométrique ou logique) avec lequel l'élève a assez de familiarité pour prendre facilement "possession" de la situation et s'engager dans des essais, des conjectures, etc. - La difficulté ne doit pas se situer dans la compréhension de la situation, mais dans les moyens de répondre à la question posée. L'énoncé n'induit ni la méthode ni la solution et celle-ci ne doit pas se réduire à l'utilisation ou l'application immédiate des résultats vus en cours. Pourquoi proposer des « problèmes ouverts » ? Il s'agit de permettre aux élèves " d'élaborer une démarche originale, dans un véritable problème de recherche ", c'est à dire un problème pour lequel l'élève ne dispose d'aucune solution déjà éprouvée. Ils permettent donc de construire des hypothèses et de les vérifier soi même (proche de la démarche scientifique). Ce sont les plus à même de faire évoluer les conceptions des élèves et de lever les croyances. Ils permettent de se détacher de la solution experte et favorise les solutions personnelles Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1

13 D’autres problèmes ouverts…
Un classique: « Le loup, la chèvre et le chou Un loup, une chèvre et un chou veulent traverser une rivière . La barque ne peut contenir qu’un seul passager à la fois, ce qui pose problème au passeur. En effet , les trois passagers ne s’entendent pas et dès qu’ils sont sans témoins, leur instinct est le plus fort : le loup dévore la chèvre , la chèvre mange le chou… Comment les faire passer ? » Diapositive annexe de la diapositive 5/ Illustration problèmes de type P5/ Une sitographie pour une banque de problèmes « ouverts » Rallye maths de l'Essonne : Rallye maths de la circonscription de Jonzac : Rallye maths de la circonscription de Rochefort : Défi maths de l'Espace Coopératif de Sarrebourg : Rencontre maths de la circonscription d' Arras IV : Rallyes mathématiques du Puy de Dôme : Défi maths de la circonscription de Maromme : Dominique Gabarroche CPC Marmande / Stéphane Prima CPC Agen 1