16/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Treizième cours.

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1 16/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Treizième cours

2 16/10/07 Rappel du dernier cours Détermination de la valeur actuelle dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt

3 16/10/07 Rappel du dernier cours Détermination de la valeur actuelle dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt Détermination de la valeur accumulée dune annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de lintérêt

4 16/10/07 Considérons une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de lintérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de lintérêt dans une période de paiement. Le terme de lannuité sera de n périodes de capitalisation. Les paiements sont de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Il y a (n/k) paiements. Rappel du dernier cours

5 16/10/07 Rappel du dernier cours: Le diagramme dentrées et sorties est:

6 16/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur actuelle L est

7 16/10/07 Rappel du dernier cours: Le diagramme dentrées et sorties est:

8 16/10/07 Rappel du dernier cours: La valeur accumulée X est

9 16/10/07 Considérons une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de lintérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de lintérêt dans une période de paiement. Le terme de lannuité sera de n périodes de capitalisation. Les paiements sont de 1$ au début de chaque période de paiement. Il y a (n/k) paiements.

10 16/10/07 Notons par la valeur actuelle de cette annuité. Nous avons le diagramme suivant:

11 16/10/07 Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle est Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes dannuités.

12 16/10/07 Notons par la valeur accumulée de cette annuité au dernier paiement. Nous avons le diagramme suivant:

13 16/10/07 Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée au dernier paiement est Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes dannuités.

14 16/10/07 Exemple 1: Anastasia a gagné 125000$ à la loterie. Elle utilise ce capital pour lachat dune rente consistant en 20 versements de R dollars à tous les six mois suivi de 20 versements de 2R dollars, le premier paiement fait immédiatement en recevant son lot. Elle recevra ainsi 40 versements dans sa rente. Le taux dintérêt est le taux nominal i (4) = 8% capitalisé trimestriellement. Déterminer R.

15 16/10/07 Exemple 1: (suite) Le taux dintérêt par trimestre est ( i (4) /4) = 8%/4 = 2%. Nous avons deux annuités: les 20 premiers paiements au montant de R dollars et les 20 derniers au montant de 2R dollars. Cette dernière est une annuité différée. Nous allons calculer la valeur actuelle de chacune à t = 0 (cest-à-dire au moment de recevoir le lot de 125000$ )

16 16/10/07 Exemple 1: (suite) Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

17 16/10/07 Exemple 1: (suite) Léquation de valeur à t = 0 est: Nous obtenons que R = 4655.26$.

18 16/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous avions plutôt utilisé la première approche. Nous calculons que le taux nominal i (2) dintérêt par année capitalisé semestriellement équivalent à i (4) = 8%. Ce taux est i (2) = 8.079999992% par année, cest-à-dire ( 8.079999992%/2) = 4.039999996% par six mois.

19 16/10/07 Exemple 1: (suite) Léquation de valeur à t = 0 est alors: Nous obtenons aussi que R = 4655.26$

20 16/10/07 Considérons une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de lintérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de lintérêt dans une période de paiement. Les paiements sont de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Notons par L : la valeur actuelle de cette rente perpétuelle.

21 16/10/07 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

22 16/10/07 Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle est Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes dannuités.

23 16/10/07 Considérons une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de lintérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de lintérêt dans une période de paiement. Les paiements sont de 1$ au début de chaque période de paiement. Notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle par

24 16/10/07 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant:

25 16/10/07 Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle est Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes dannuités.

26 16/10/07 Exemple 2: Bernard a hérité de 250000$ et il sachète deux rentes perpétuelles dont les paiements sont faits une fois par an. La première rente verse un montant de R dollars, le premier versement est fait au moment de lhéritage et la seconde verse un montant de (R + 1000) dollars, le second versement est fait six mois plus tard. Le taux dintérêt pour la première rente est i (4) = 6% par année capitalisé à tous les trimestres; alors que celui de la seconde rente est i (12) =6% par année capitalisé à tous les mois. Déterminer R.

27 16/10/07 Exemple 2: (suite) La première rente est une rente perpétuelle de début de période. Dans ce cas, k = 4 et le taux dintérêt par trimestre est (i (4) /4) = (6%/4) = 1.5%. Avec ce que nous venons de voir, sa valeur actuelle est

28 16/10/07 Exemple 2: (suite) La deuxième rente est une rente perpétuelle de début de période différée pour 6 mois. Dans ce cas, k = 12 et le taux dintérêt par mois est (i (12) /12) = (6%/12) = 0.5%. Avec ce que nous venons de voir, sa valeur actuelle est

29 16/10/07 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est

30 16/10/07 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons que R = 6861.16$

31 16/10/07 Exemple 2: (suite) Nous aurions aussi pu utiliser lapproche par conversion de taux dintérêt. Ainsi pour la première rente, si i (4) = 6%, alors le taux effectif dintérêt équivalent est 6.13635506% et le taux effectif descompte équivalent est 5.781576969%. Alors que pour la deuxième rente si i (12) = 6%, alors le taux effectif dintérêt équivalent est 6.167781182% et le taux effectif descompte équivalent est 5.809466029%.

32 16/10/07 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons aussi que R = 6861.16$

33 16/10/07 Nous allons maintenant considérer les annuités pour lesquelles la période de paiement est plus courte que celle de la capitalisation de lintérêt. Nous supposerons quil y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation de lintérêt. Lexemple 2 du cours du douzième cours est dans cette situation.

34 16/10/07 Nous noterons le terme de lannuité, cest-à-dire sa durée, par n et celui-ci est mesuré en périodes de capitalisation. Le taux dintérêt par période de capitalisation sera noté par i et (1 + i) est le facteur descompte.

35 16/10/07 Ainsi n et i sont définis comme précédemment, celle pour laquelle la période de capitalisation est plus courte que la période de paiement.

36 16/10/07 Il y aura (mn) paiements parce quil y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation de lintérêt.

37 16/10/07 Considérons maintenant une annuité consistant en (mn) paiements de (1/m) dollars faits à la fin de chacune des périodes de paiement, cest-à-dire à la fin de chacune des m -ièmes périodes de capitalisation.

38 16/10/07 Ainsi le total des paiements fait pendant une période de capitalisation est 1$.

39 16/10/07 Nous noterons la valeur actuelle de cette annuité au début de la première période de paiement par

40 16/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où i (m) est le taux nominal dintérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule

41 16/10/07 Nous noterons la valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement par

42 16/10/07 Nous obtenons algébriquement la formule suivante: où i (m) est le taux nominal dintérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme dannuité de cette formule

43 16/10/07 Exemple 3: Céline veut accumuler 10000$ en faisant 260 dépôts de R dollars dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (2) = 6% par année capitalisé à tous les six mois. Les dépôts sont faits à la fin de chaque semaine pendant 5 ans. Déterminons R.

44 16/10/07 Exemple 3: (suite) Dans cet exemple, la période de paiement est la semaine et la période de capitalisation est six mois. Le taux dintérêt par six mois est (i (2) /2) = (6%/2) = 3%. Donc nous avons n = 5 x 2 = 10 périodes de capitalisation i = 3% est le taux dintérêt par six mois m = 26 périodes de paiement dans une période de capitalisation 26R est le total des paiements dans une période de capitalisation

45 16/10/07 Exemple 3: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison: la fin de la cinquième année au dernier paiement est

46 16/10/07 Exemple 3: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison: la fin de la cinquième année au dernier paiement est Ici i = 3% et en conséquence i (26) = 2.957561069%

47 16/10/07 Exemple 3: (suite) Nous obtenons donc

48 16/10/07 Exemple 3: (suite) Nous obtenons donc Nous obtenons que R = 33.08$

49 16/10/07 Exemple 4: Damien a emprunté 15000$. Il remboursera ce prêt en faisant des paiements de R dollars pendant 2 ans à tous les trimestres et ensuite des paiements de 2R dollars à tous les semestres pendant les 3.5 années suivantes. Le premier paiement est fait 3 mois après le prêt. Le premier paiement de 2R dollars après les 2 premières années est fait 6 mois après le dernier paiement de R dollars. Le taux dintérêt est le taux effectif i = 10% par année. Déterminons R.

50 16/10/07 Exemple 4: (suite) Pour la première annuité, la période de paiement est le trimestre et la période de capitalisation est une année. Le taux dintérêt par année est i = 10%. Donc nous avons n = 2 x 1 = 2 périodes de capitalisation i = 10% est le taux dintérêt par six mois m = 4 périodes de paiement dans une période de capitalisation 4R est le total des paiements dans une période de capitalisation

51 16/10/07 Exemple 4: (suite) La valeur actuelle de la première annuité est alors Ici i = 10% et conséquemment i (4) = 9.645475629%

52 16/10/07 Exemple 4: (suite) Pour la seconde annuité, la période de paiement est le semestre et la période de capitalisation est une année. Le taux dintérêt par année est i = 10%. Il sagit dune annuité différée. Donc nous avons n = 3.5 x 1 = 2 périodes de capitalisation i = 10% est le taux dintérêt par six mois m = 2 périodes de paiement dans une période de capitalisation 4R est le total des paiements dans une période de capitalisation

53 16/10/07 Exemple 4: (suite) La valeur actuelle de la seconde annuité est alors Ici i = 10% et conséquemment i (2) = 9.76176963%

54 16/10/07 Exemple 4: (suite) Léquation de valeur à t = 0 est alors Nous obtenons ainsi que R = 892.70$.