ACT2025 - Cours 9 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours.

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1 ACT2025 - Cours 9 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours

2 ACT2025 - Cours 9 Rappel: Annuité différée

3 ACT2025 - Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes

4 ACT2025 - Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement

5 ACT2025 - Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement Valeur dune annuité au m e paiement

6 ACT2025 - Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement Valeur dune annuité au m e paiement Rente perpétuelle

7 ACT2025 - Cours 9 Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes: Rappel:

8 ACT2025 - Cours 9 Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes: Rappel:

9 ACT2025 - Cours 9 Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement: Rappel:

10 ACT2025 - Cours 9 Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement: Rappel:

11 ACT2025 - Cours 9 Valeur dune annuité au m e paiement: Rappel:

12 ACT2025 - Cours 9 Valeur dune annuité au m e paiement: Rappel:

13 ACT2025 - Cours 9 Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période Rappel:

14 ACT2025 - Cours 9 Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période Rappel:

15 ACT2025 - Cours 9 Cicéron a laissé en héritage 400 000$ placé dans un fonds de placement rémunéré au taux effectif dintérêt de 6.75% par année. Dans ses dernières volontés, il a exprimé le souhait que son organisme de charité favori: « la Société pour lamélioration du discours » recoive une rente perpétuelle consistant en des paiements de X dollars à tous les ans pour toujours, le premier paiement débutant un an après sa mort. Déterminer X. Exemple 1:

16 ACT2025 - Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 1: (suite)

17 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeur avec comme date de comparaison : le début de la première année est X/(0.0675) = 400 000 Nous obtenons ainsi que X = 27 000$ par année. Exemple 1: (suite)

18 ACT2025 - Cours 9 Nous allons maintenant considérer une annuité pour laquelle les paiements ne sarrêtent jamais et ceux-ci sont faits au début de chaque période. Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il ny a pas de valeur accumulée parce quil ny a pas de dernier paiement. Rente perpétuelle de début de période :

19 ACT2025 - Cours 9 Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle de début de période par Notation:

20 ACT2025 - Cours 9 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

21 ACT2025 - Cours 9 Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires dobtenir que où d est le taux descompte équivalent au taux dintérêt i Valeur actuelle:

22 ACT2025 - Cours 9 En effet, De cette dernière formule, nous obtenons le résultat. Valeur actuelle: (suite)

23 ACT2025 - Cours 9 où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1. Interprétation de la formule:

24 ACT2025 - Cours 9 Nous avons Interprétation (suite):

25 ACT2025 - Cours 9 Interprétation (suite) est donc égale à la valeur actuelle dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait à t = n + k de

26 ACT2025 - Cours 9 Notons que ce dernier paiement est approximativement égal à k dollars. Interprétation (suite)

27 ACT2025 - Cours 9 où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1. Interprétation de la formule:

28 ACT2025 - Cours 9 Nous avons Interprétation (suite):

29 ACT2025 - Cours 9 Interprétation (suite) est donc égale à la valeur accumulée à t = n + k dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

30 ACT2025 - Cours 9 Les notions précédentes sont utiles afin de déterminer le nombre de paiements dune annuité lorsque nous connaissons le taux dintérêt, les versements de lannuité et soit sa valeur actuelle, soit sa valeur accumulée.

31 ACT2025 - Cours 9 Par exemple il nexiste pas nécessairement un entier n qui permette de résoudre léquation dans laquelle P, R et i sont donnés.

32 ACT2025 - Cours 9 Cependant il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre léquation dans laquelle P, R et i sont donnés.

33 ACT2025 - Cours 9 En effet, nous obtenons où est le taux instantané constant de lintérêt équivalent au taux dintérêt i

34 ACT2025 - Cours 9 Un capital de 125 000$ doit être utilisé pour faire des paiements de 1 000$ à tous les mois. Ce placement est rémunéré au taux nominal dintérêt i (12) = 9% par année capitalisé à tous les mois et les paiements sont faits à la fin de chaque mois. Le premier paiement est fait à la fin du premier mois. Combien de paiements peut-on faire? Exemple 2:

35 ACT2025 - Cours 9 Le taux dintérêt par mois est Exemple 2: (suite)

36 ACT2025 - Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 2: (suite)

37 ACT2025 - Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 2: (suite) La solution de cette équation est n + k = 371.0630643 mois. Ici n = 371 et k = 0.0630643

38 ACT2025 - Cours 9 Cette solution signifie que nous pourrons faire un paiement de 1000$ à la fin de chaque mois pendant 371 mois et un dernier paiement fait 0.0630643 mois (approximativement 2 jours) après le dernier paiement de 1000$ et ce dernier paiement sera au montant de Exemple 2: (suite)

39 ACT2025 - Cours 9 Lexemple précédent illustre une des difficultés lorsque ceci a à être mis en application. Lidée de faire un paiement de 62.84$ environ 2 jours après le dernier paiement de 1000$ nest pas très pratique. La solution est plutôt de gonfler le dernier paiement ou encore de faire un paiement réduit à la fin du mois suivant. Remarque 1:

40 ACT2025 - Cours 9 Nous allons illustrer ceci dans lexemple 2. La solution du dernier paiement gonflé. Nous ferons ainsi 370 paiements de 1000$ et un dernier paiement de X dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer X. Exemple 3:

41 ACT2025 - Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 3: (suite)

42 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite)

43 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est X = 1062.81$ et est fait à la fin du 371 e mois.

44 ACT2025 - Cours 9 Nous allons illustrer lautre solution, celle du dernier paiement réduit dans lexemple 2. Nous ferons ainsi 371 paiements de 1000$ et un dernier paiement de Y dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer Y. Exemple 3: (suite)

45 ACT2025 - Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 3: (suite)

46 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite)

47 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est Y = 63.28$ et est fait à la fin du 372 e mois.

48 ACT2025 - Cours 9 Ce que nous avons fait pour calculer le nombre de paiements dans le cas de la valeur actuelle peut aussi être utilisé pour le calcul du nombre de paiements dans le cas de la valeur accumulée.

49 ACT2025 - Cours 9 Ainsi il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre léquation dans laquelle A, R et i sont donnés.

50 ACT2025 - Cours 9 En effet, nous obtenons où est le taux instantané constant de lintérêt équivalent au taux dintérêt i

51 ACT2025 - Cours 9 Anatole veut accumuler un capital de 40 000$ en faisant des versements de 800$ à toutes les semaines dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (52) = 5% par année capitalisé à toutes les semaines. Combien de versements doit-il faire? Exemple 4:

52 ACT2025 - Cours 9 Le taux dintérêt par semaine est Exemple 4: (suite)

53 ACT2025 - Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 4: (suite)

54 ACT2025 - Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 4: (suite) La solution de cette équation est n + k = 48.85873717 semaines. Ici n = 48 et k = 0. 85873717.

55 ACT2025 - Cours 9 Cette solution signifie que Anatole fera un versement de 800$ à la fin de chaque semaine pendant 48 semaines et un dernier versement fait à 0. 85873717 semaine (approximativement 6 jours) après le dernier versement de 800$ et ce dernier versement sera au montant de Le montant accumulé lors de ce dernier versement sera alors de 40 000$. Exemple 4: (suite)

56 ACT2025 - Cours 9 Si nous considérons plutôt la situation dun dernier versement gonflé, alors Anatole fera 48 versements: les 47 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de X dollars fait à la fin de la 48 e semaine. Le diagramme de ce flux est Exemple 4: (suite)

57 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est: Exemple 4: (suite)

58 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est: Exemple 4: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier versement est X = 1519.38$ et est fait à la fin de la 48 e semaine.

59 ACT2025 - Cours 9 Si nous considérons plutôt la situation dun dernier versement réduit, alors Anatole fera 49 versements: les 48 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de Y dollars fait à la fin de la 49 e semaine. Le diagramme de ce flux est Exemple 4: (suite)

60 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est: Exemple 4: (suite)

61 ACT2025 - Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est: Exemple 4: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier versement est Y = 681.61$ et est fait à la fin de la 49 e semaine.