Transformée de Laplace

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1 Transformée de Laplace
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2 Objectifs du cours Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler
Revoir la transformée de Laplace Détermination de la fonction de transfert Décomposition de la réponse en fractions partielles Introduction à la modélisation GPA535. (C) R. AISSAOUI

3 Introduction Pour effectuer l’analyse et la synthèse d’un système dynamique, il est nécessaire de connaître les relations entre ses grandeurs d’entrée et ses grandeurs de sorties. L’ensemble de ces relations constituent le modèle mathématique du système. GPA535. (C) R. AISSAOUI

4 Introduction La mise en équations d’un système consiste, après avoir considéré que le système est linéaire et invariant dans le temps, à lui appliquer les lois qui le régissent. GPA535. (C) R. AISSAOUI

5 Introduction des lois de la mécanique pour les mouvements des corps solides en translations et/ou en rotation des lois de l’électricité pour les circuits électriques (Les systèmes à composants passifs et actifs) des lois magnétiques (moteur à courant continu,…) des lois de l’écoulement des fluides la thermodynamique… GPA535. (C) R. AISSAOUI

6 Mécanique (Loi de Newton)
En translation : somme des forces agissant sur un corps = accélération linéaire du centre de gravité du corps fois la masse du corps En rotation : somme des moments de forces agissant sur un corps solide = accélération angulaire du corps fois le moment d’inertie par rapport au centre de gravité GPA535. (C) R. AISSAOUI

7 Loi de l’électricité (loi de Kirchhoff)
Somme des tensions dans une maille est nulle Somme des courants traversant un nœud est nulle GPA535. (C) R. AISSAOUI

8 Il s’agit de trouver un formalisme qui permet de relier l’entrée de référence r(t) à la sortie contrôlée c(t) et ce au travers d’un système ou plusieurs sous-systèmes mis en cascade. GPA535. (C) R. AISSAOUI

9 SYSTÈME LINÉAIRE INVARIANT DANS LE TEMPS (S.L.I.T.)
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10 Transformée de Laplace
C’est une méthode opérationnelle pour la résolution des équations différentielles. Conversion de fonctions sinusoïdales et exponentielles sous forme de fonctions algébriques à variable complexe. L’intégration et la dérivation peuvent être remplacées par une opération algébrique dans le plan complexe. La transformée de Laplace permet l’utilisation de techniques graphiques pour prédire la performance d’un système sans résoudre le système. La transformée de Laplace permet la détermination simultanée du régime transitoire et du régime permanent. GPA535. (C) R. AISSAOUI

11 Transformée de Laplace
 Résolution des équations différentielles qui régissent les S.L.I.T. Exemple : Conditions initiales nulles Conditions initiales GPA535. (C) R. AISSAOUI

12 Variable complexe et fonction complexe
Variable complexe. Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire constante. Si la partie réelle ou imaginaire sont variables alors le nombre complexe est dit une variable complexe. Pour la transformée de Laplace on utilise la notation suivante: Complexe Complexe conjugué GPA535. (C) R. AISSAOUI

13 Représentation géométriques des nombres complexes
Im M s + On définit alors:  Module de s Re Phase de s GPA535. (C) R. AISSAOUI

14 Opérations dans l’ensemble des complexes
Addition: Multiplication: GPA535. (C) R. AISSAOUI

15 Division de 2 nombres complexes
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16 Exemples: déterminer le module et l’argument des complexes suivants
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17 Fonctions TI - Matlab GPA535. (C) R. AISSAOUI

18 THÉORÈME D’EULER Le développement en série de puissance des fonctions circulaires sinus et cosinus s’écrivent: GPA535. (C) R. AISSAOUI

19 THÉORÈME D’EULER Or on sait que la fonction ex se développe par
Alors le théorème d’Euler: GPA535. (C) R. AISSAOUI

20 THÉORÈME D’EULER Alors GPA535. (C) R. AISSAOUI

21 Tout nombre complexe peut s’écrire sous une forme exponentielle
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22 VARIABLE COMPLEXE – FONCTION COMPLEXE (suite)
Fonction complexe. Une fonction complexe F(s) possède une partie réelle et une partie imaginaire et s’écrit: Où Fx et Fy sont des quantités réelles. +  GPA535. (C) R. AISSAOUI

23 EXEMPLE DE FONCTION COMPLEXE
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24 Exemple - TI GPA535. (C) R. AISSAOUI

25 Exemple - TI GPA535. (C) R. AISSAOUI

26 TRANSFORMÉE DE LAPLACE
Si f(t) est une fonction du temps telle que f(t) =0 pour t<0, et si s désigne la variable complexe Et L désigne l’opérateur de la T.L. alors: Condition d’existence = convergence de l’intégrale GPA535. (C) R. AISSAOUI

27 TRANSFORMÉE DE LAPLACE INVERSE
Le processus inverse est définit: Où c est l’abscisse de convergence et choisit plus grand que toute les valeurs singulières (pôles) de F(s). Le chemin de l’intégrale se fait à droite de ces points singuliers. ON N’UTILISERA PAS CETTE FORME GPA535. (C) R. AISSAOUI

28 SIGNAUX DE COMMANDE (Tableau 1.1 p.19)
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29 TRANSFORMÉE DE LAPLACE (Tableau 2.1p. 41)
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30 TRANSFORMÉE DE LAPLACE
Fonction sinus amortie Fonction cosinus amortie GPA535. (C) R. AISSAOUI

31 Propriétés de la transformée de Laplace
Linéarité (items 2 et 3) Décalage fréquentiel (item 4) Décalage temporel (item 5) Modification d’échelle (item 6) Dérivation (items 7, 8 et 9) Intégration (item 10) Théorème de la valeur finale (item 11) Théorème de la valeur initiale (item 12) GPA535. (C) R. AISSAOUI

32 Propriétés des transformée de Laplace
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33 La transformée de Laplace sert à :
Résoudre des équations différentielles (intégrales) comme des équations algébriques. Trouver simultanément la solution complète : homogène et particulière. Plus facile à gérer les conditions initiales lorsque la fonction f(t) est discontinue. GPA535. (C) R. AISSAOUI

34 FONCTION DE TRANSFERT GPA535. (C) R. AISSAOUI

35 Étape à suivre pour déterminer la réponse d’un système
Déterminer par les lois physiques les relations entre les différentes entrées-sorties. Effectuer les transformées de Laplace de ces relations (éq. diff) Identifier la commande (R(s)) et la variable de sortie (C(s)) Établir la fonction de transfert G(s) = C(s)/ R(s) Déterminer la réponse à partir de C(s) C(s) = N(s) / D(s) Décomposer en fraction partielle Identifier les composants et leurs transformée de Laplace inverse (Tables) GPA535. (C) R. AISSAOUI

36 Décomposition en fraction partielle d’une fonction complexe
Les racines du dénominateur et distincts Les racines du dénominateur sont réelles et multiples Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures GPA535. (C) R. AISSAOUI

37 Racines réelles distinctes
Pour déterminer K1 On donne à s la valeur qui annule le terme de K2 (s+1=0) donc s =-1 GPA535. (C) R. AISSAOUI

38 Racines réelles distinctes
La décomposition nous permet de retrouver grâce au tableau 2.1 la réponse temporelle f(t) GPA535. (C) R. AISSAOUI

39 Racines réelles distinctes
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40 Exemple GPA535. (C) R. AISSAOUI

41 Réponse GPA535. (C) R. AISSAOUI

42 Racines réelles multiples et distinctes
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43 GPA535. (C) R. AISSAOUI

44 Racines complexes GPA535. (C) R. AISSAOUI

45 Exemple 1 racines multiples (TI)
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46 Exemple 1 (TI) GPA535. (C) R. AISSAOUI

47 Racine complexe GPA535. (C) R. AISSAOUI

48 Ça ne fonctionne pas ? GPA535. (C) R. AISSAOUI

49 Utilisation de s_ à la place de s
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50 La réponse GPA535. (C) R. AISSAOUI

51 La réponse temporelle GPA535. (C) R. AISSAOUI

52 Quelle est la forme de f(t)?
 Sinusoide amortie GPA535. (C) R. AISSAOUI

53 Exemple-2 1 2 3 4 GPA535. (C) R. AISSAOUI

54 Exemple -3 Soit l’équation différentielle suivante :
Déterminer la réponse C(s) dans le domaine de Laplace en fonction de R(s) (conditions initiales nulles) GPA535. (C) R. AISSAOUI

55 Exemple -3 Déterminer la valeur de la réponse c(t) à l’instant t tend vers l’infini en supposant que l’entrée r(t) est une fonction échelon de valeur 4 GPA535. (C) R. AISSAOUI