Simulation distribuée et continue

Présentation au sujet: "Simulation distribuée et continue"— Transcription de la présentation:

1 Simulation distribuée et continue

2 Simulation distribuée
(Section 1.6; LAW & KELTON, 90) Des processeurs spécialisés s’acquittent de fonctions spécialisées. Décomposition du modèle en plusieurs sous-modèles lesquels sont assignés à des processeurs différents. Les processeurs communiquent entre eux à l’aide d’un système de messagerie. Cela permet de synchroniser l’ensemble des opérations du modèle. Une autre approche est telle que les processeurs sont autonomes ou encore, les sous-modèles sont indépendants (File d’attente M/M/s ou s files M/M/1). La réception d’un message par un sous-modèle où l’instant courant du récepteur > l’instant courant du transmetteur entraîne la reprise d’une partie de la simulation propre à ce sous-modèle. Simulation distribuée et simulation continue

3 Simulation distribuée et simulation continue
Il s’agit de modéliser un système dont l’état change continûment en fonction du temps. Le modèle est représenté en général par un système d’équations différentielles à valeurs initiales. Elle est très utilisée dans tous les domaines : physique, chimie, biologie, génie, informatique, sociologie, économie, gestion, etc. Langages spécialisés en simulation continue: ACSL, CSSL-IV, DYNAMO, CSMP, DSL/VS, etc. Langages de simulation à événements discrets possédant des outils permettant la simulation continue : SIMAN, SIMSCRIPT II.5, SLAM II. Simulation distribuée et simulation continue

4 Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales
On cherche une approximation à la solution y(t) du problème: y'(t) = dy/dt (t) = f(t, y(t)), a ≤ t ≤ b y (a) = y0 En général, y(t) = (y1(t), ..., yn(t)) est un vecteur qui désigne l’état du système. Note: - En pratique, on ne peut pas calculer y(t) pour tout t. - On choisit un maillage de points t0 < t1 < ... < tN sur [a, b]. - On calcule pour tout ti, une approximation Wi de y(ti). - Maillage régulier: h = (b - a)/N (le pas d’intégration) ti = a + i h Il existe plusieurs façons d’obtenir les Wi. Simulation distribuée et simulation continue

5 Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales
La plus simple est: LA MÉTHODE D’EULER. - On suppose qu’on connaît y(ti) (approximé par Wi) et on veut approximer y(ti + 1). - On se base sur la formule de TAYLOR: y(ti + 1) = y(ti) + h y'(ti) + h2/2 y''(ti + qi h) (avec 0 < qi < 1) y(ti) + h f(ti , y (ti)) car h est très petit. LOCALE Wi + h f(ti, y(ti)) =Wi +1 GLOBALE \ On pose W0 := y0 et on évalue Wi + 1 := Wi + h f(ti, Wi) pour tout i = 1, 2, 3,... Simulation distribuée et simulation continue

6 Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales
Simulation distribuée et simulation continue

7 Algorithme (méthode d ’EULER)
Lire les paramètres a, b, N et y0; h = (b - a)/N; // h = pas d’intégration t = a; // t = instant courant w = y0; // w = approximation de y(t) Écrire la valeur de (t, w); for (i = 1; i <= N; i++) { w = w + h * f (t, w); t = a + i h; Écrire (t, w) } Note : - Si N est assez grand, on suppose que l’erreur est négligeable. - La méthode d’EULER est simple, mais faible numériquement. Simulation distribuée et simulation continue

8 Un système proie-prédateur exemple
Il y a 2 types d’animaux : les proies sont la nourriture des prédateurs. x(t) : # proies au temps t y(t) : # prédateurs au temps t Le modèle est le suivant : x'(t) = taux de variation du nombre de proies = r x(t) - c x(t) y(t) y'(t) = taux de variation du # de prédateurs = - s y(t) + d x(t) y(t) Taux de mortalité dû à la prédation Taux de croissance naturel en l’absence de prédateurs Taux de croissance dû à la prédation Taux d’extinction naturel Simulation distribuée et simulation continue

9 Un système proie-prédateur exemple
La population initiale est x(0) = x0 > 0 et y(0) = y0 > 0. Il s’agit d’un système (déterministe) discret approximé par un modèle continu. Il est possible de le résoudre analytiquement: toutes les solutions (x(t), y(t)) pour x0  0, y0  0 sont périodiques autour du point (x, y)  (s/d, r/c). Note : Il existe plusieurs raffinements possibles: plusieurs espèces, perturbations aléatoires, etc. Paramètres d’entrée : r = s = c = d = x0 = y0 = 150 durée de la simulation = 5000 Simulation distribuée et simulation continue

10 Un système proie-prédateur exemple (N = 1000)
Simulation distribuée et simulation continue

11 Un système proie-prédateur exemple (N = 1000)
Simulation distribuée et simulation continue

12 Un système proie-prédateur exemple (N = 100 000)
Simulation distribuée et simulation continue

13 Un système proie-prédateur exemple (N = 100 000)
Simulation distribuée et simulation continue

14 Exemple : N = 100 000 (x0, y0) = (2000, 150) et (2000, 300)
(2000, 500) Simulation distribuée et simulation continue

15 Résolution numérique d’équations différentielles à valeurs initiales
La méthode d’Euler n’est pas très efficace. Il faut trouver mieux. La méthode d’Euler est basée sur la formule de Taylor en retenant 2 termes seulement. Une approche consisterait à utiliser n > 2 termes. MÉTHODE DE TAYLOR D’ORDRE n y(ti+1)  y(ti) + h y'(ti) + h2/2 y''(ti) + … + hn/n! y(n)(ti)  wi + h f(ti, wi) + h2/2 f'(ti, wi) + … + hn/n! f(n-1)(ti , wi) où y'(t) = dy/dt (t) = f(t, y(t)). Pour n > 2, nous avons en général une meilleure approximation qu’avec la méthode d’Euler, pourvu que la dérivée || f(n) || soit suffisamment petite en valeur absolue. Toutefois, il faut connaître les dérivées de f d’ordre 1 à n-1, ce qui n’est pas le cas en pratique. Les méthodes les plus utilisées n’exigent que des évaluations de f et non de sa dérivée. Simulation distribuée et simulation continue

16 Évaluation de fonctions
On veut évaluer MÉTHODE SIMPLISTE [GORDON, p. 40] Tirer des couples (X, Y) dans ce rectangle où X : U[a, b], Y : U[0, c] Estimer I comme suit: \ I = p. c. (b - a) où E[I] = I un estimateur sans biais et Var [I] élevée. Simulation distribuée et simulation continue

17 Méthode suggérée par Law & Kelton
Soient X : U[a, b], Z : g(X), 1˚) Générer X1, X2,..., Xn i.i.d. U(a, b) 2˚) Yi = (b - a) g(Xi ) et E[Y] = I et  Intégrales simples: Il existe des méthodes numériques plus efficaces que la simulation. Intégrales multiples : LA SIMULATION (MONTE-CARLO) EST SOUVENT LE SEUL RECOURS. Simulation distribuée et simulation continue