Exercice 3 : Soient 2 triangles DBC et ABC.

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1 Exercice 3 : Soient 2 triangles DBC et ABC.
Soient les milieux respectifs I, J, K et L de [AB], [AC], [DC] et [DB]. Démontrez que IJKL est un parallélogramme.

2 D A B C

3 D A L K I J B C

4 D A L K I J B C

5 (LK) est une droite des milieux, donc est
parallèle à (BC), donc … D A L K I J B C

6 (LK) est une droite des milieux, donc est
parallèle à (BC), donc j’applique Thalès dans le triangle DBC : D A L K I J B C

7 (LK) est une droite des milieux, donc est
parallèle à (BC), donc j’applique Thalès dans le triangle DBC : DL/DB=DK/DC=LK/BC D A L K I J B C

8 L et K sont des milieux, donc … ½ = ½ = LK / BC D A L K I J B C

9 Même méthode dans ABC : AI/AB = AJ/AC = IJ / BC D A L K I J B C

10 I et J sont des milieux donc : ½ = ½ = LK / BC D A L K I J B C

11 Conclusion : ½ = ½ = LK / BC et ½ = ½ = IJ / BC donc … D A L K I J B C

12 Conclusion : ½ = ½ = LK / BC et ½ = ½ = IJ / BC donc LK = IJ D A L K I J B C

13 A-t-on démontré que IJKL est un parallélogramme ? D A L K I J B C

14 A-t-on démontré que IJKL est un
parallélogramme ? Non : il faut que ces 2 côtés égaux soient D parallèles. A L K I J B C

15 2 droites (LK) et (IJ) parallèles à une 3ème
(BC) sont parallèles entre elles. 2 côtés parallèles et de même longueur : D IJKL est un parallélogramme. A L K I J B C

16 2ème méthode : D A L K I J B C

17 2ème méthode : avec les vecteurs. D A L K I J B C

18 2ème méthode : avec les vecteurs. LK = … D A L K I J B C

19 2ème méthode : avec les vecteurs. LK = LD + DK = D A L K I J B C

20 2ème méthode : avec les vecteurs.
LK = LD + DK = ½ BD + ½ DC D A L K I J B C

21 2ème méthode : avec les vecteurs.
LK = LD + DK = ½ BD + ½ DC = ½ ( BD + DC ) D A L K I J B C

22 2ème méthode : avec les vecteurs.
LK = LD + DK = ½ BD + ½ DC = ½ ( BD + DC ) = ½ BC D A L K I J B C

23 Même méthode : I J = I A + A J = ½ BA + ½ AC = ½ ( BA + AC ) = ½ BC D A L K I J B C

24 Conclusion : D A L K I J B C

25 Conclusion : I J = ½ BC et LK = ½ BC donc … D A L K I J B C

26 Conclusion : I J = ½ BC et LK = ½ BC IJ = LK donc IJKL est un parallélogramme. D A L K I J B C

27 3ème méthode : D A L K I J B C

28 3ème méthode : les vecteurs avec des coordonnées. D A L K I J B C

29 Choisissons le repère ( B ; BC ; BD ) :
A a pour coordonnées (a;b) signifie …. D A L K I J B C

30 Choisissons le repère ( B ; BC ; BD ) :
A a pour coordonnées (a;b) signifie …. BA = a BC + b BD D A L K I J B C

31 Choisissons le repère ( B ; BC ; BD ) :
A a pour coordonnées (a;b) signifie …. BA = a BC + b BD D A L K I J B C

32 Le point A peut être placé indépendamment
des autres points, donc ses coordonnées sont des nombres variables a et b. D A B C

33 D A L K I J B C B C D A I J K L BC 1 a BD b

34 On détermine les milieux avec les relations :
J milieu de [AC] donc J( (xA+xC)/2 ; (yA+yC)/2 ) = J( (a+1)/2 ; (b+0)/2 ) D A L K I J B C

35 D A L K I J B C B C D A I J K L BC 1 a a/2 (a+1)/2 BD b b/2

36 I J = ( (a+1)/2 – a/2 ; b/2 – b/2 ) = ( ½ ; 0 )
C D A I J K L BC 1 a a/2 (a+1)/2 BD b b/2 I J = ( (a+1)/2 – a/2 ; b/2 – b/2 ) = ( ½ ; 0 ) D LK = ( ½ – 0 ; ½ - ½ ) = ( ½ ; 0 ) A L K I J B C

37 I J = LK donc IJKL est un parallélogramme. D A L K I J B C