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Publié parAri Pranoto Modifié depuis plus de 5 années
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Codes cycliques Hypothèse sur V = vocabulaire source
Code linéaire - caractérisation Codage et décodage d’un code linéaire Code cyclique – caractérisation Distance d’un code cyclique Code de Reed-Solomon
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Hypothèse sur le vocabulaire V du canal
V est un corps fini : soient a,b V : e0, e1, a+b, -a, a*b, a/b V Possible ssi |V| = pm avec p premier Soit q = pm : V est alors isomorphe à GFq Exemple: V= {0,1} ; V={mots de 32 bits} Implantation GFq isomorphe à (Z/pZ[x])/Q(x) avec Q polynôme irréductible de degré m à coefficients dans Z/pZ avec p= 2: facile registre à décalage !
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Code linéaire G = V corps => Vn est un espace vectoriel
Déf : code linéaire sev de dim k de Vn l Si x=[x0, …, x n-1] C, y=[y0, …, y n-1] C => x+y =[x0+y0,…, x n-1+y n-1] C C est engendré par une matrice génératrice G C=Im(G) G = n lignes k colonnes
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Exemple V = {a=00, b=01, c=10, d=11} Code (7,4) engendré par G 01 10
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Décodage d’un code linéaire
Il existe G génératrice = [Idk | A ] Codage( [s0, …, sk-1] ) =[c0,…, ck-1 , ck…, cn-1] [ck…, cn-1] = [s0, …, sk-1].A = [c0, …, ck-1].A Donc: [c0, …, ck-1].A - [ck…, cn-1].Idn-k = 0 Soit [-At | Idn-k ].ct = H .ct = 0 H = Matrice de contrôle : (n-k, n)
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Détection d’erreurs On émet x et on reçoit y; y est un mot de code H.yt = 0 Syndrome d’erreur : s = H .yt s 0 => il y eu erreur de transmission
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Correction d’erreurs Corriger trouver x=y-c
Or: s = H .yt = H.yt - H.ct = H.xt Le syndrome donne toute l’info pour corriger x non unique : pour chaque s on choisit le xs de poids minimal, stocké dans un tableau Cor[s]= xs Ex: V= {0,1}, n=64 k=52 : 264 erreurs possibles mais tableau de taille seulement 212=4096
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Distance d’un code linéaire
d = Min { dH( x , y) ; x,y C } = Min { wH(x - y) ; x,y C } = Min { wH( z ) ; z C } Borne de singleton : d n-k+1 Prop: d = nbre minimal de cols indép. de H k colonnes quelconques de H sont indépendantes
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Bon codes Facile et efficace à implémenter
Codes cycliques Etant donné un taux de correction, pouvoir facilement construire un code (n,k,d) qui donne ce taux de correction: Codes de Reed-Solomon
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Codes cycliques Décalage : ( [c0…, cn-1] ) = [cn-1,c0…, cn-2]
Déf: Code cyclique code linéaire stable par Description simple, de coût O(n-k=r): Un code (n,k) est engendré par un mot de code m=[c0 , …, cn-k-1 , cn-k=1, 0 …, 0] Ex: code binaire (7,4) engendré{ }
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Caractérisation Mot de code polynôme de V[X] [c0 , …, cn-1 ] Pc = i=0 n-1 ci.Xi (c) associé au polynôme : X. Pc mod Xn –1 m=[c0 , …, ck-2 , ck-1=1, 0 …, 0] associé à un polynôme: g(X) = i=0 k-1 ci.Xi Prop. g est un diviseur unitaire de Xn –1de degré r
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Codage/décodage code cyclique
Codage : P[a.G] = g(X).Pa mod Xn –1 Tout mot de code est un multiple de g mod Xn –1 Tout multiple de g mod Xn –1 est un mot de code Détection : on reçoit y = Py Si Py n’est pas multiple de g mod Xn –1 => erreur Syndrome d’erreur: Pe = Py mod g Correction: à partir du syndrome (algorithme de Meggitt)
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Distance minimale d’un code cyclique
Théorème BCH ( n premier avec q) Soit racine primitive de Xn –1 dans GF(q) Soit g = iS (X – i) Si il existe a entier tq {a+1, a+2, …, a+s} S d( C ) s+1 C est au moins s-détecteur et [s/2]-correcteur
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Codes de Reed-Solomon q = 2m n = 2m - 1 Xn-1x= aGF(q)* (X – a)
Il suffit de prendre générateur de GF(q)* et g = i=s. s+r-1 (X – i) de degré r Code cyclique (n=k+r, k, r+1) Optimal, car atteint la borne de Singleton Ex. Galileo : RS(255,233) sur V={octets}
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