La relation de Pythagore

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1 La relation de Pythagore
Triangle rectangle : Un triangle est rectangle lorsque l’un des angles du triangle mesure 90°. Rappel : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est toujours de 180°.

2 B Hypoténuse c a A C b Cathètes Remarque : L’hypoténuse est toujours en face de l’angle de 900.

3 Cathètes : Ce sont les deux côtés du triangle formant l’angle droit. Hypoténuse : C’est le côté opposé à l’angle droit. L’hypoténuse est le plus long des trois côtés du triangle.

4 Pythagore, philosophe et mathématicien grec, a établi la relation suivante dans les triangles rectangles.

5 Avec un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités,
on construit des carrés avec chacun des côtés. 25 On calcule l’aire de chacun. 5 3 9 On constate que la somme des aires des deux carrés formés avec les cathètes est égale à l’aire du carré formé avec l’hypoténuse. 4 16 = 25 soit = 52

6 c2 = a2 + b2 En remplaçant par des lettres c2 c a a2 b b2
Relation de Pythagore : Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes. c2 = a2 + b2

7 Si on cherche la mesure de l’hypoténuse ( le plus long côté ) :
b c c2 = a2 + b2 Si on cherche la mesure d’une cathète : a2 = c2 - b2 b2 = c2 - a2 Attention: Une fois le calcul terminé, il faut extraire la racine carrée de la réponse.

8 Exemples d’application :
Trouve les mesures manquantes dans les triangles suivants: Ici, on cherche l’hypoténuse. 1) 3 4 ? c2 = a2 + b2 a b c c2 = c2 = c2 = 25 c = 5 Réponse: La mesure manquante est de 5 unités ou 5u.

9 Ici, on cherche une cathète.
33,15 cm 2) A B C 18,42 cm ? Ici, on cherche une cathète. a b c b2 = c2 - a2 b2 = 33, ,422 b2 = 1098, ,2964 b2 = ,6261 b ≈ 27,5613 Réponse: m AC ≈ 27,56 cm

10 Comment vérifier si un triangle est rectangle en connaissant uniquement la mesure des trois côtés?
Par la relation de Pythagore. Exemple : À partir des mesures données, vérifie si les triangles forment un triangle rectangle. Hypoténuse 1) 11cm, 61cm, 60cm 2) 63dm, 33dm, 56dm c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 612 = 632 = 3721 = 3969 = 3721 = 3721 3969 ≠ 4225 Réponse : Le triangle 1) est un triangle rectangle.

11 La relation de Pythagore peut s’écrire
B A C b a c Remarque : La relation de Pythagore peut s’écrire soit c = a b2 soit (m AB) = (m BC) + (m AC) 2 300 600 D C E A B Cette écriture est un peu plus longue, mais plus précise pour une figure complexe.

12 Remarques : Un triangle est rectangle seulement si le problème le mentionne ou si tu es capable de le prouver. La relation de Pythagore n’est vraie que dans les triangles rectangles.