CMME II Septembre 2018 MARRAKECH

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1 CMME II 27-29 Septembre 2018 MARRAKECH
APPROCHE AUX ESPACES DE BANACH PAR LEURS OPERATEURS A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

2 RÉFÉRENCES: A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA
[AK-2013] A. Aviles and P. Koszmider, “ A Banach Space in which every injective operator is surjective”. Bull. London Math. Soc.45 (2013) [ALT-05] S. A. Argyros, Jordi Lopez-Abad, Stevo Todorcevic « A class of Banach spaces with few non-strictly singular operators », Journal of Functional analysis 22 (2005), [BBKR-07] Becerra, Burgos, Kaidi, Rodriguez “Algebras with large groups of unitary elements” Quart. J. Math. 58 (2007) , [BKMO-06] M. Burgos, A. Kaidi, M. Mbekhta, M. Oudghiri « The descent spectrum and perturbations », Journal of Operator Theory 56 (2006) [BRW-03] Becerra, Rodriguez, Wood Banach spaces whose algebra of operators are unitary: A holomorphic Approach, Bull. London Math. Soc. 35 (2003) [GM-93] W.T. Gowers, B. Maurey  « The unconditional basic sequence problem », Journal of the American Mathematical Society 6 (1993), [HK-98] A. Haily and A. Kaidi, Modules with a «nice » endomrphism ring and a new characterization of semisimple modules and rings, Comm. In Algebra, 26(8), (1998). A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

3 A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA
[HK-99] A. Haily and A. Kaidi, Charactérisation de certaines classes d’anneaux par des propriétés des endomorphismes de leurs modules, Comm. In Algebra, 27(10), (1999). [HKR-10] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: “Algebra descent spectrum of operator” 177 (2010), [HKR-11] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: “Centralizers in semisimple algebras, and descent spectrum in Banach algebras”, Journal of Algebra 347(2011) [HKS-07] A. Hmaimou, A. Kaidi and E. Sánchez : “Generalized Wittig modules and rings, Journal of Algebra” 308 (2007), [LL-14] P.K Liau and C:K Liu “Invariants of algebraic derivations and automorphisms in Banach algebras”. Journal of Algebra 403 (2014) [N-14] M.A. Navarro, Note: Some Characterizations of Finite Dimensional Hilbert Spaces, J. of Math. Anal. And Appl. 223, [V-92] K. Varadarajan: « Hopfian and co-hopfian objects », Publicacions Matemátiques, Vol 36 (1992), A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

4 MOTIVATION: Théorème Pour un ensemble X, les affirmations suivantes sont équivalentes: i) X est finie ii) Toute application injective de X dans X est bijective iii) Toute application surjective de X dans X est bijective iv) Toute application de X dan X inversible á gauche est inversible Théorème Pour un espace vectoriel X, les affirmations suivantes sont équivalentes: i) X est de dimension finie ii) Toute application linéaire injective de X dans X est bijective iv) Toute application linéaire de X dan X inversible á gauche est inversible A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

5 Définitions [V-92]: Un objet, X, d’une catégorie, 𝒞, est dit hopfien (respectivement cohopfien) si tout epimorphisme (respectivement monomorphisme) de X dans X, est un automorphisme. X est dit, Dedekind fini, si tout endomorphisme de X inversible á gauche est inversible. REMARQUE Dans la plus part de catégories, ces notions ne sont pas équivalentes, par exemple, catégorie des groupes commutatives, espaces topologiques, anneaux, espaces normés etc…. Ce qui rend intéressant dans chaque catégorie la recherche des objets vérifiant ces conditions (une sorte de finitude « endofintude ») A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

6 Espaces de Banach Hopfiens ou cohopfiens
Définitions: Un éspace de Banach, X, est dit hopfien (respectivement cohopfien) si toute application linéaire continue de X dans X, surjective (respectivement injective) est bijective. X est dit Dedekind fini, si tout operateur inversible á gauche dans l’algèbre BL(X) est inversible. Remarques: i) Les espaces de Banach de dimension finie sont hopfiens et cohopfiens. ii) Tout espace de Banach hopfien ou cohopfien est Dedekind fini. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

7 iii) Pour un espace d’Hilbert, H, les affirmations suivantes sont équivalentes:
H est hopfien. H est cohopfien 4) H est Dedekind fini 5) H est de dimension finie. iv) Le premier exemple d’espace de Banach hopfien (Dedekind fini) de dimension infinie est du á Gowers et Maurey [GM-93]. v) Dans [HKR-10] on a posé la question de l’existence d’un espace de Banach cohopfien de dimension infinie. Aviles et Koszmider, avec des méthodes très sofistiqués on construit un C(K) , cohopfien, avec le compact K infini. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

8 ii) X n’est pas isomorphe á aucun de ses espaces cocients propres
Proposition: Soit X un espace de Banach, alors les affirmations suivantes sont équivalentes: i) X est hopfien ii) X n’est pas isomorphe á aucun de ses espaces cocients propres iii) X est Dedekind fini et le noyau de tout opérateur surjectif de BL(X), est facteur direct de X. Définition: Un espace de Banach, X, est dit indécomposable s’il ne peut pas s’écrire comme somme direct de deux sous espaces fermés de dimension infinie et il est dit héréditairement indécomposable, (HI-espace), si tous ses sous espaces fermés sont indécomposables. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

9 Définition: Un espace de Banach, X, est dit indécomposable s’il ne peut pas s’écrire comme somme direct de deux sous espaces fermés de dimension infinie et il est dit héréditairement indécomposable, en abrégé HI-espace, si tous ses sous espaces fermés sont indécomposables. Proposition [GM-93] Soit X un HI-espace. Alors tout opérateur T de BL(X) est de la forme 𝝀𝑰+𝑺, oú 𝝀 est un scalaire et S strictement singulier. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

10 Théorème [HKR-10] Soit X un espace de Banach dans lequel l’intérieure du spectre de tout opérateur T de BL(X) est vide (𝑖𝑛𝑡(𝜎 𝑇 =∅). Alors X n’est pas isomorphe á aucun de ses sous espaces propres ni á aucun de ses espaces quotients propres. En particulier X est hopfien. Corollaire [HKR-10]: Les espaces de Banach HI sont hopfiens. Remarques: Ils existent des espaces de Banach hopfiens qui ne sont pas HI [ALT-05]. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

11 Définitions [BKMO-06], [HKR-11]:
Soit T un opérateur linéaire d’un espace vectoriel X, sur un corps K. La descente de T, d(T), est: d(T):= min{n≥0:𝑅 𝑇 𝑛 =𝑅( 𝑇 𝑛+1 )} Avec la convention min ∅= ∞. Oú R(T) note l’image de T. Le spectre descent de T est: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇 ≔{𝜆∈𝐾:𝑑 𝑇−𝜆𝐼 =∞} Si A est une K-algèbre et 𝑎∈𝐴.On défine: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑎,𝐴 ≔ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝐿 𝑎 , oú 𝐿 𝑎 estl’opérateur: 𝓍↦𝑎𝓍 de A dans A. Pour un espace de Banach, X, on a: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇,𝐵𝐿(𝑋) ⊇ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇 Théoréme [HKR-10]: Il existe un espace de Banach X possédant un opérateur T de BL(X) tel que: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇,𝐵𝐿(𝑋) ≠ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇 A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

12 Définition [HKR-10]: On dira qu’un espace de Banach, X, vérifie l’Egalité du Spectre Descente (DES-espace) si : 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇,𝐵𝐿(𝑋) = 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇 , pour tout 𝑇∈𝐵𝐿(𝑋). Théorème [HKR-10]: Les espaces de Banach 𝑙 𝑝 : p= 1 ou 2 sont DES-espaces et pour 1<𝑝≤∞, p≠2 ne le sont pas. Théorème [HKR-10]: Les espaces de Banach hopfiens ou cohopfiens sont de DES-espaces. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

13 X est Dedekind fini et est un DES-espace 𝐼𝑛𝑡(𝜎 𝑇 )⊆ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇
Théorème [HKR-10]: Soit X un espace de Banach. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes: X est hopfien X est Dedekind fini et est un DES-espace 𝐼𝑛𝑡(𝜎 𝑇 )⊆ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇 Thèoréme [HKR-10]: Tout espace de Banach cohopfien, X, dont le dual, X* , est w*- séparable est de dimension finie. Remarque [HKR-10]: Le dual d’un espace séparable ou HI-espace est w*- séparable. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

14 Question [HKR-10]: Existe-t’il un espace de Banach cohopfien de dimension infinie? Théorème [AK-13]: Il existe un espace topologique compact séparé (infini) K tel que l’espace de Banach C(K) est cohopfien. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

15 Espaces de Banach fortement hopfiens ou fortement cohopfiens
Espaces de Banach fortement hopfiens ou fortement cohopfiens. Définition [HKS-07]: Un espace de Banach sera dit fortement hopfien (respectivement fortement cohopfien) si pour tout 𝑇∈𝐵𝐿 𝑋 , on a que l’ascente de T, 𝑎 𝑇 =:min⁡{𝑛≥0:𝑁( 𝑇 𝑛 )=𝑁( 𝑇 𝑛+1 )}, (respectivement d(T)), est finie. Remarque: tout espace de Banach fortement hopfien (respectivement fortement cohopfien) est hopfien (respectivement cohopfien) Théorème [BKMO-06]: Tout espace de Banach fortement hopfien ou fortement cohopfien est de dimension finie. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

16 Questions ouvertes: Caractériser les compacts K, pour lesquels C(K) est hopfien ou cohopfien. Existe-t-il un espace de Banach de dimension infinie hopfien ou cohopfien héréditaire (Ses sous espace fermés ont la même propriété). Caractériser l’hopficité ou cohopficité d’un espace de Banach X en termes de BL(X). Est-ce-que tout espace de Banach cohopfien est hopfien? 5) Est-ce-que tout espace de Banach Dedekind fini est hopfien?

17 Espaces de Banach d’algèbres d’opérateurs « spéciales»
MOTIVATION: Théorème: Soient X un ensemble (resp. espace vectoriel) et T une application (resp. application linéaire) de X dans X. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes: T est inversible à gauche (resp. á droite) T est injective (resp. surjective) T est simplifiable à gauche (resp. à droite) Remarque Pour un espace de Banach X et T un opérateur (application linéaire continue) de X dans X on a: 𝒊)⟹𝒊𝒊)⟹𝒊𝒊𝒊), mais en général iii) ⇏ i), iii) ⇏ ii) et ii) ⇏ i), dans [HK-98] on a considérer cette situation pour les modules. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

18 A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA
Une preuve simple des deux résultats précédents s’obtient en remarquant que pour toute application (resp. application linéaire) T de X dans X il existe une application (resp. application linéaire) S de X dans X telle que: TST=T (T est von Newman régulier). Dans toutes les catégories il parait intéressant de connaitre (total ou partiellement) les objets dont les endomorphismes sont von Newman réguliers. Pour les espaces de Banach la réponse est simple: Théorème: Les espaces de Banach dont tout opérateur est von régulier sont de dimension finie. Preuve: L’on sait que toute algèbre de Banach von Newman régulière est de dimension finie, Résultat bien connu de Kaplansky (1948). Quelques résultats élémentaires: Proposition: Soit X un espace normé et T un opérateur de X dans X. Alors on a: T est injectif si et seulement si T est simplifiable á gauche. T est simplifiable á droite si et seulement si T est a image dense. Preuve: Hahn-Banach A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

19 T est surjective si et seulement si T est inversible á droite
Proposition Soit H un espace d’Hilbert et T un opérateur de BL(H). Alors: T est surjective si et seulement si T est inversible á droite T est inversible á gauche si et seulement si T est injective et á image fermée (T est « bounded below »). D’autres résultats intéressants: Théorème Soit X un espace de Banach et BL(X) l’algèbre de Banach des opérateurs de X. On a: Si BL(X) admet une involution alors X est réflexif Définition Soit A une algèbre de Banach, un élément u de A est dit unitaire s’il est inversible et 𝑢 = 𝑢 −1 =1, et A est dite unitaire si l’enveloppe convexe de l’ensemble de ses éléments unitaires est dense dans la boule unité fermée de A. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

20 Pour A= BL(X), X Banach, les unitaires sont les isometries surjectives de X. Toute C*-algèbre est unitaire (Russo-Day) Théorème [BBKR-07] Soit X un espace de Banach complexe tel que BL(X) soit unitaire ayant une involution, ∗, telle que 𝑢 ∗ = 𝑢 −1 Alors X est un espace d’Hilbert. Question ouverte: 1) Exist’il? un espace de Banach complexe d’algèbre d’opérateurs unitaire qui n’est pas un espace Hilbert? A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

21 2) Caractériser les espaces de Banach dont l’algèbre des opérateurs vérifie total ou partiellement les implications cités dans la motivation. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

22 CMME II 27-29 Septembre 2018 MARRAKECH A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERÍA
MERCI POUR VOTRE ATTENTION A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERÍA