Exercice 5 : 1°) Déterminez son ensemble de définition.

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1 Exercice 5 : 1°) Déterminez son ensemble de définition.
Soit la fonction f définie par f(x) = 3 - x 1°) Déterminez son ensemble de définition. 2°) Déterminez la forme de sa courbe et tracez-la. 3°) Déduisez-en ses tableaux de variations et de signes. 4°) Soit la droite d d’équation y = - 4. Déterminez les points d’intersection de la courbe de f avec d. 5°) Soit la droite d’ d’équation y = 3x - 1. Démontrez que ( 3x – 2 )×( x – 2 ) = 3x² - 8x + 4 et déterminez les points d’intersection de la courbe de f avec d’. 6°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses. 7°) Déterminez les ensembles S1 à S5 des solutions des inéquations a) f(x) > 3x – 1  b) f(x) ≤ c) f(x) ≥ d) f(x) ≤ 1 e) f(x) ≥ ⅓

2 f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition.
On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [

3 f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition.
On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2 3 -2

4 f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition.
On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2 f(0) = ⅓ 3 -2

5 f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition.
On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2 f(0) = ⅓ 3 -2

6 f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition.
On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2 f(0) = ⅓ 3 -2 x - ∞ ∞ f(x)

7 f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition.
On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2 f(0) = ⅓ f(x) = x + 1 = 0 x = - ½ -2 x - ∞ ∞ f(x)

8 f(x) = (2x+1)/(3-x) 1°) Déterminez son ensemble de définition.
On ne peut diviser par 0, donc 3 – x ≠ 0, donc x ≠ 3 Df = ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ 2°) Déterminez la forme de sa courbe. f(x) est de la forme (ax+b)/(cx+d) avec c ≠ 0 et ad-bc ≠ 0 donc f est une fonction homographique, donc sa courbe est une hyperbole. Son axe vertical est d’équation x = - d/c = - (3)/(-1) = 3 Son axe horizontal a pour équation y = a/c = 2/(-1) = - 2 f(0) = ⅓ f(x) = x + 1 = 0 x = - ½ -2 x - ∞ ∞ f(x) x - ∞ ½ ∞ f(x)

9 Il faut résoudre f(x) = - 4 f(x) = (2x+1)/(3-x)
4°) Soit la droite d d’équation y = - 4. Déterminez les points d’intersection de la courbe de f avec d. Il faut résoudre f(x) = - 4

10 Il n’y a qu’un seul point d’intersection de coordonnées ( 6,5 ; - 4 ).
f(x) = (2x+1)/(3-x) 4°) Soit la droite d d’équation y = - 4. Déterminez les points d’intersection de la courbe de f avec d. 2x + 1 f(x) = = x + 1 = - 4 ( 3 – x ) 3 - x 2x + 1 = x x – 4x = - 12 – 1 - 2x = x = 13/2 = 6,5 Il n’y a qu’un seul point d’intersection de coordonnées ( 6,5 ; - 4 ).

11 f(x) = (2x+1)/(3-x) 5°) Soit la droite d’ d’équation y = 3x - 1. Démontrez que ( 3x – 2 )×( x – 2 ) = 3x² - 8x + 4 ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) = 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 ) = 3x² - 6x – 2x + 4 = 3x² - 8x + 4 et déterminez les points d’intersection de la courbe de f avec d’.

12 f(x) = (2x+1)/(3-x) 5°) Soit la droite d’ d’équation y = 3x - 1. Démontrez que ( 3x – 2 )×( x – 2 ) = 3x² - 8x + 4 ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) = 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 ) = 3x² - 6x – 2x + 4 = 3x² - 8x + 4 et déterminez les points d’intersection de la courbe de f avec d’. 2x + 1 f(x) = 3x – = 3x – x + 1 = ( 3x – 1 ) ( 3 – x ) 3 – x 2x + 1 = 9x – 3 – 3x² + x 2x x x² - x = 0 3x² - 8x + 4 = 0 que l’on ne sait pas résoudre avant la classe de 1ère.

13 f(x) = (2x+1)/(3-x) 5°) Soit la droite d’ d’équation y = 3x - 1. Démontrez que ( 3x – 2 )×( x – 2 ) = 3x² - 8x + 4 ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) = 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 ) = 3x² - 6x – 2x + 4 = 3x² - 8x + 4 et déterminez les points d’intersection de la courbe de f avec d’. 2x + 1 f(x) = 3x – = 3x – x + 1 = ( 3x – 1 ) ( 3 – x ) 3 – x 2x + 1 = 9x – 3 – 3x² + x 2x x x² - x = 0 3x² - 8x + 4 = 0 ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) = d’après la question précédente 3x – 2 = 0 ou x – 2 = x = ⅔ ou x = 2

14 f(x) = (2x+1)/(3-x) déterminez les points d’intersection avec d’
2x + 1 f(x) = 3x – 1 = 3x – 1 2x + 1 = ( 3x – 1 ) ( 3 – x ) 3 – x 2x + 1 = 9x – 3 – 3x² + x 2x x x² - x = 0 3x² - 8x + 4 = 0 ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) = 0 3x – 2 = 0 ou x – 2 = 0 x = ⅔ ou x = 2

15 f(x) = (2x+1)/(3-x) déterminez les points d’intersection avec d’
f(x) = 3x – = 3x – x + 1 = ( 3x – 1 ) ( 3 – x ) 3 – x 2x + 1 = 9x – 3 – 3x² + x x x x² - x = 0 3x² - 8x + 4 = ( 3x – 2 ) ( x – 2 ) = 0 3x – 2 = 0 ou x – 2 = x = ⅔ ou x = 2 Il y a deux points d’intersections : 3(⅔) – 1 = 2 – 1 = 1 = f(⅔) donc le point ( ⅔ ; 1 ) 3(2) – 1 = 5 = f(2) et le point ( 2 ; 5 ).

16 6°) Résumez dans un seul graphe toutes les réponses.
On recopie l’écran de sa calculatrice graphique pour être sûr que les courbes se croiseront bien, et on ajoute les coordonnées déterminées précédemment : 5 graphe non à l’échelle 1 ⅓ -½ ⅔ ,5 -2 - 4

17 7°) Quel est l’ensemble S1 des solutions de l’inéquation f(x) > 3x – 1 ?
5 S1 = ] - ∞ ; ⅔ [ U ] 2 ; 3 [ d 1 ⅓ -½ ⅔ ,5 -2 - 4

18 L’ensemble S1 a-t-il été démontré ?
…

19 L’ensemble S1 a-t-il été démontré ?
Oui, car on ne se base pas sur une courbe obtenue par la calculatrice graphique, mais sur une courbe démontrée, avec des points d’intersections aux coordonnées exactes car obtenues algébriquement.

20 7°) Quel est l’ensemble S2 des solutions de l’inéquation f(x) ≤ – 4 ?
5 S2 = ] 3 ; 6,5 ] d 1 ⅓ -½ ⅔ ,5 -2 - 4

21 7°) Quel est l’ensemble S3 des solutions de l’inéquation f(x) ≥ 0 ?
5 S3 = [ - 0,5 ; 3 [ d 1 ⅓ -½ ⅔ ,5 -2 - 4

22 7°) Quel est l’ensemble S4 des solutions de l’inéquation f(x) ≤ 1 ?
5 S4 = ] - ∞ ; ⅔ ] U ] 3 ; + ∞ [ d 1 ⅓ -½ ⅔ ,5 -2 - 4

23 7°) Quel est l’ensemble S5 des solutions de l’inéquation f(x) ≥ ⅓ ?
1 ⅓ -½ ⅔ ,5 -2 - 4