Géométrie analytique Distance d’un point à une droite.

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1 Géométrie analytique Distance d’un point à une droite

2 segment perpendiculaire à la droite,
La méthode calculant la distance d’un point à une droite nous permet de déterminer la longueur du segment qui relie ce point à la droite. 1 2 3 4 5 6 7 y x Cette distance doit être la plus courte possible. C’est donc le segment perpendiculaire à la droite, qui est le plus court chemin. La démarche calculant la distance d’un point à une droite tient donc compte de ce principe.

3 Distance d’un point à une droite oblique
Soit la droite d1 ayant comme équation y1 = - 2x + 6; on cherche la distance entre le point (6 , 4) et cette droite. 1 2 3 4 5 6 7 d1 d2 (6 , 4) y x 1) Déterminons la pente de la droite d2 : donc, m d2 = 1 2 m d1 = - 2 d d2 2) Déterminons l’équation de la droite d2 : y = mx + b 1 2 y = x + b avec (6 , 4) 4 = X b 1 2 4 = b 1 = b Équation d2 : y = 0,5 x + 1

4 En utilisant la méthode de comparaison :
y 1 2 3 4 5 6 7 d1 d2 (6 , 4) 3) Déterminons les coordonnées du point d’intersection des droites d1 et d2. En utilisant la méthode de comparaison : y = - 2x + 6 y = 0,5 x + 1 -2 x + 6 = 0,5x + 1 5 = 2,5x x 2 = x y = 0,5 x + 1 y = 0,5 X = 2 Coordonnées du point d’intersection (2 , 2).

5 Distance du point P2 à la droite d1 ≈ 4,472
3 4 5 6 7 d1 d2 (6 , 4) y x 4) Calculons la distance entre le point d’intersection des deux droites et le point (6 , 4) : P1 (2 , 2) P2 (6 , 4) P2 ( x1 x2 - ) 2 y1 y2 + d (P1 , P2) = P1 ( 2 6 - ) 4 + d (P1 , P2) = d (P1 , P2) = 4 2 + d (P1 , P2) = 20 ≈ 4,472 Distance du point P2 à la droite d1 ≈ 4,472

6 | x2 – x1 | Cas particuliers
Distance d’un point à une droite parallèle à l’axe des ordonnées Une droite parallèle à l’axe des ordonnées possède toujours la même abscisse. On calcule simplement la différence des abscisses entre le point et la droite en valeur absolue. x y 1 2 3 4 5 6 7 P (6 , 3) d1 d ( P , d1 ) : | x2 – x1 | | 6 – 2 | = 4

7 Distance d’un point à une droite parallèle à l’axe des abscisses
Une droite parallèle à l’axe des abscisses possède toujours la même ordonnée. On calcule simplement la différence des ordonnées entre le point et la droite en valeur absolue. x y 1 2 3 4 5 6 7 P1 (2 , 6) d1 d ( P , d1 ) : | y2 – y1 | | 6 – 1 | = 5