Plan 1 Introduction 1.1 Qu'est-ce que la théorie des jeux ? La théorie du choix rationnel

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2 Plan 1 Introduction 1.1 Qu'est-ce que la théorie des jeux ?....................... 2 1.2 La théorie du choix rationnel.......................... 3 1.3 Champ d’application 1.4 Exemples de jeux 2 La modélisation des jeux 2.1 Jeux sous forme extensive........................... 6 2.1.1 Représentation et définition...................... 6 2.1.2 Jeux en information parfaite...................... 8 2.1.3 L'introduction du joueur Nature.................... 11 2.2 Jeux sous forme stratégique (ou normale)................... 16 3 Les concepts stratégiques 3.1 Stratégies prudentes : La notion de maximin................. 22 3.2 La notion de dominance............................ 24 3.3 Élimination successive des stratégies dominées................ 30 3.4 Équilibre de Nash 3.4 Équilibre de Nash en stratégie pure...................... 33 3.5 Équilibre de Nash en stratégie mixte..................... 36

3 Introduction

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9 1.3 Champ d’application Les champs d’application de la théorie des jeux sont très variés: Relations internationales Le professeur Thomas Schelling et le professeur Robert Aumann, qui ont reçu conjointement le « prix Nobel d'économie » 2005, se sont spécialisés dans l'explication des diverses stratégies utilisées) dans les conflits internationaux, tels la guerre froide et la guerre nucléaire.Thomas SchellingRobert Aumannprix Nobel d'économie Économie Les concepts de la théorie des jeux ont rapidement envahi l'analyse économique, notamment sous l'impulsion d'auteurs comme Thomas Schelling[32]. Depuis les années 1980, la théorie des jeux est devenue un outil standard de la science économique. Onze théoriciens des jeux ont obtenu le « prix Nobel d'économie »[33].[32]prix Nobel d'économie[33] La théorie des jeux est très utilisée dans le domaine de l'économie industrielle pour analyser la concurrence entre des entreprises en situation d'oligopole. Dès 1838, l'analyse de duopole de Cournot fait implicitement appel à des concepts de théorie des jeux bien avant que ceux-ci aient été formalisés par John Nash dans les années 1950[1]. Plus tard, le modèle de Harold Hotelling permet d'analyser la concurrence spatiale et les stratégies de différenciation des produits entre entreprises[34].économie industrielle[1][34] La théorie des jeux est également fondamentale dans la théorie des enchères depuis les travaux de William Vickrey.théorie des enchères Les économistes David Gale et Lloyd Shapley utilisent la théorie des jeux coopératifs pour étudier l'appariement des étudiants et des universités ainsi que l'appariement des hommes et des femmes sur le marché du mariage[36].David GaleLloyd Shapley[36] La théorie des jeux a également été appliquée en économie du sport, que ce soit à propos du football[37], du tennis[38] ou du cyclisme[39]économie du sport[37][38][39]

10 1.4 EXEMPLES DE JEUX Dilemme du prisonnier Le dilemme du prisonnier est un jeu simultané à deux joueurs. Chacun des deux joueurs a deux stratégies possibles, coopérer (C) ou ne pas coopérer (NC). Le jeu a un unique équilibre de Nash en stratégies pures (NC, NC)[57]. Ce jeu a notamment été développé par Luce et Raiffa 1957[32].[57]Luce et Raiffa 1957[32] Bataille des sexes Le jeu de la bataille des sexes modélise le problème de deux joueurs souhaitant sortir ensemble mais l'une des deux personnes préfère Bach tandis que l'autre préfère Stravinsky[58]. Ce jeu a été introduit dans la littérature sur la théorie des jeux par Luce et Raiffa 1957[12], [32].[58]Luce et Raiffa 1957[12] [32] Le jeu comporte deux équilibres de Nash en stratégies pures : (Bach, Bach) et (Stravinsky, Stravinsky)[58], [59]. Le jeu peut être représenté sous forme normale par la matrice des gains suivante[58] [59] Le jeu comporte deux équilibres de Nash en stratégies pures : (Bach, Bach) et (Stravinsky, Stravinsky)[58], [59].[58] [59] -CNC C(3,3)(0,4) NC(4,0)(1,1) -BachStravinsky Bach(2,1)(0,0) Stravinsky(0,0)(1,2) :

11 Jeu de coordination Le jeu de coordination comprend deux joueurs souhaitant se coordonner et ayant les mêmes préférences. Le jeu de coordination admet deux équilibres de Nash en stratégies pures (Bach, Bach) et (Stravinsky, Stravinsky)[60]. L'extension mixte de ce jeu admet trois équilibres de Nash[18].[60][18] Pierre feuille ciseaux Le jeu Pierre-feuille-ciseaux est un exemple simple de jeu à somme nulle. Le jeu comporte deux joueurs. Chaque joueur a trois stratégies pures possibles (pierre, feuille ou ciseau). Pour modéliser le problème, on considère que chaque joueur obtient une utilité de 1 en cas de victoire, 0 en cas d'égalité et -1 en cas de défaite. Dès lors, on peut le représenter sous forme normale grâce à la matrice des gainsPierre-feuille-ciseaux Il n'existe pas d'équilibre de Nash en stratégies pures, mais il existe un équilibre de Nash en stratégie mixte consistant pour chacun des joueurs à jouer chaque stratégie pure avec une probabilité 1/3 -BachStravinsky Bach(2,2)(0,0) Stravinsky(0,0)(1,1) -PierreFeuilleCiseau Pierre(0,0)(-1,1)(1,-1) Feuille(1,-1)(0,0)(-1,1) Ciseau(-1,1)(1,-1)(0,0)

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23 3.4 Équilibre de Nash En théorie des jeux, un équilibre de Nash est une situation où :théorie des jeux Chaque joueur prévoit correctement le choix des autres Chaque joueur maximise son gain, compte tenu de cette prévision. L'équilibre de Nash est donc tel qu'aucun joueur ne regrette son choix (il n'aurait pas pu faire mieux) au vu du choix des autres, les choix étant, comme toujours en théorie des jeux, simultanés 1. 1 Souvent l'équilibre de Nash est présenté comme une situation où chacun adopte la meilleure réponse « compte tenu » du choix des autres, ce qui peut laisser croire que ce choix est connu — alors qu'il n'en est rien, pour des raisons évidentes (A déciderait en « voyant » le choix de B qui lui-même déciderait « en voyant » le choix de A). Les prévisions des joueurs sur ce que vont faire les autres sont donc un élément essentiel de l'équilibre de Nash. Elles en sont aussi le principal point faible, ces prévisions — élément essentiellement subjectif — n'ayant généralement pas de raison d'être correctes, comme c'est le cas dans les modèles du duopole de Cournot et de Bertrand.CournotBertrand L'équilibre de Nash peut donc être considéré comme une « solution » d'un jeu, au sens mathématique (résolution d'un système d'équations), mais pas forcément si on entend par « solution » une prédiction de ce que feront effectivement les joueurs placés dans la situation décrite par le jeu — même en supposant qu'ils sont rationnels.

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