ACT2025 - Cours 18 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-huitième cours.

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1 ACT2025 - Cours 18 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-huitième cours

2 ACT2025 - Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement

3 ACT2025 - Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement

4 ACT2025 - Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps

5 ACT2025 - Cours 18 Rappel: Seconde situation de réinvestissement Taux de rendement dun fonds de placement Taux de rendement pondéré par le temps Règles de base pour lamortissement

6 ACT2025 - Cours 18 Dans celle-ci, linvestisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux dintérêt i par période de paiement de lannuité. Les versements dintérêt sont réinvestis au taux dintérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de lannuité. Rappel: Réinvestissement (2 e situation)

7 ACT2025 - Cours 18 La valeur accumulée à la fin de la n e période de paiement par lannuité et les versements dintérêt est Rappel: Réinvestissement (2 e situation)

8 ACT2025 - Cours 18 Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons léquation Rappel: Réinvestissement (2 e situation)

9 ACT2025 - Cours 18 Notons par A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période; I: le montant dintérêt gagné pendant la période; C t : le montant net versé ou retiré du fonds au temps t (Nous supposons que la durée dune période est 1. De plus C t > 0 sil sagit dun dépôt et C t < 0 sil sagit dun retrait); i: le taux de rendement du fonds. Rappel: Taux de rendement dun fonds

10 ACT2025 - Cours 18 Nous avons B = A + C + I où C = t C t est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus. Rappel: Taux de rendement dun fonds

11 ACT2025 - Cours 18 Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant léquation iA + [ t C t (1 + i) (1 - t) ] - C - I = 0 Rappel: Taux de rendement dun fonds

12 ACT2025 - Cours 18 Hypothèse: (Intérêt composé) Nous pouvons déterminer i en considérant léquation iA + [ t C t (1 + i) (1 - t) ] - C - I = 0 Hypothèse: (Intérêt simple) Rappel: Taux de rendement dun fonds

13 ACT2025 - Cours 18 Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée) Rappel: Taux de rendement dun fonds

14 ACT2025 - Cours 18 Rappel: Taux de rendement pondéré par le temps et C 1, C 2,..., C m sont les m contributions nettes dans le fonds, B k est le solde dans le fonds avant la contribution C k, B 0 est le solde initial et B m le solde final. (1 + i) = (1 + j 1 )(1 + j 2 ) · · · (1 + j m ) où Ce taux de rendement i pondéré par le temps est défini par

15 ACT2025 - Cours 18 Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Rappel: Règles pour lamortissement

16 ACT2025 - Cours 18 Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté Rappel: Règles pour lamortissement

17 ACT2025 - Cours 18 Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté Si le paiement est inférieur à ce montant dintérêt, alors lintérêt qui naura pas été versé sajoutera au capital à rembourser Rappel: Règles pour lamortissement

18 ACT2025 - Cours 18 Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n paiements: P 1, P 2,..., P n faits respectivement aux temps t 1, t 2,..., t n, alors le solde restant du prêt immédiatement après le k e paiement est noté B k. Notons aussi L par B 0. Nous pouvons calculer B k soit rétrospectivement, soit prospectivement. Solde restant dun prêt:

19 ACT2025 - Cours 18 Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Solde restant dun prêt:

20 ACT2025 - Cours 18 Rétrospectivement B k est la valeur accumulée par L au temps t k moins la somme des valeurs accumulées au temps t k des k premiers paiements: P 1, P 2,..., P k Prospectivement B k est la somme des valeurs actuelles au temps t k des (n - k) derniers paiements: P k+1, P k+2,..., P n Solde restant dun prêt:

21 ACT2025 - Cours 18 La portion de principal remboursé dans le k e paiement P k est B k-1 - B k. En effet, nous devions avant le k e paiement: B k-1 et, une fois le k e paiement fait, nous ne devons plus que B k. Portion de principal remboursé:

22 ACT2025 - Cours 18 La portion dintérêt du k e paiement est P k - (B k-1 - B k ). En effet, la portion de principal remboursé dans le k e paiement est (B k-1 - B k ) et ce qui reste du paiement, à savoir P k - (B k-1 - B k ) doit être le montant dintérêt payé. Portion dintérêt:

23 ACT2025 - Cours 18 Autre approche pour déterminer les portions dintérêt et de principal

24 ACT2025 - Cours 18 Nous devons au début de la k e période, celle immédiatement après le (k - 1) e paiement, B k - 1 dollars. Le montant dintérêt à payer à la fin de la k e période est où i est le taux dintérêt pour une période. Ceci est donc la portion dintérêt du k e paiement P k, si ce paiement est supérieur à ce montant dintérêt. Portion dintérêt:

25 ACT2025 - Cours 18 Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois la portion dintérêt soustraite du k e paiement. Donc la portion de principal remboursé dans le k e paiement P k est où i est le taux dintérêt pour une période. Portion de principal remboursé:

26 ACT2025 - Cours 18 Un prêt au taux nominal dintérêt i (12) = 6% capitalisé mensuellement est remboursé par 48 paiements à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Les 20 premiers paiements sont au montant de 400$, les vingt suivants au montant de 500$ et les 8 derniers au montant de 600$. Donc le montant emprunté est Exemple 1:

27 ACT2025 - Cours 18 Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement

28 ACT2025 - Cours 18 Retrospectivement Exemple 1: (suite) Déterminons le solde restant immédiatement après le 23 e paiement. Prospectivement

29 ACT2025 - Cours 18 Déterminons la portion dintérêt du 24 e paiement Exemple 1: (suite)

30 ACT2025 - Cours 18 Déterminons la portion dintérêt du 24 e paiement Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement car le 24 e paiement est de 500$. Exemple 1: (suite)

31 ACT2025 - Cours 18 Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = 12441.52$. Dautre part nous avons prospectivement que Exemple 1: (suite) Autre approche

32 ACT2025 - Cours 18 Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement. Nous avons déjà calculé B 23 = 12441.52$. Dautre part nous avons prospectivement que Donc la portion de principal remboursé dans le 24 e paiement est B 23 - B 24 = 12441.52 - 12003.73 = 437.79$ et la portion dintérêt sera 500 - 437.79 = 62.21$. Notons que le 24 e paiement est de 500$. Exemple 1: (suite) Autre approche

33 ACT2025 - Cours 18 Nous aurions aussi pu déterminer B 24 rétrospectivement. Nous aurions alors que Exemple 1: (suite) Autre approche

34 ACT2025 - Cours 18 Considérons maintenant la situation dun prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Notons par i: le taux dintérêt du prêt par période de paiement. Le montant emprunté est alors La table damortissement est alors

35 ACT2025 - Cours 18

36 Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i). Conséquemment si nous connaissons la portion de principal dun paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas.

37 ACT2025 - Cours 18 Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux dintérêt du prêt est le taux nominal i (2) = 8% par année capitalisé à tous les semestres. Les paiements sont faits à la fin de chaque semestre, le premier étant fait six mois après le prêt. Si nous notons par R: les paiements de ce prêt, nous avons Exemple 2: La table damortissement est alors

38 ACT2025 - Cours 18 Période de paiement Paiement Portion dintérêt Portion de principal Solde restant du prêt 5000 11123.14200923.144076.86 21123.14163.07960.073116.79 31123.14124.67998.472118.32 41123.1484.731038.411079.91 51123.1443.201079.940

39 ACT2025 - Cours 18 Dans certaines situations, il est possible quil y ait de lamortissement négatif, cest-à-dire plutôt que le solde restant diminue avec un paiement, il augmente. Nous illustrons ceci dans lexemple suivant

40 ACT2025 - Cours 18 Un prêt de 1082.64$ est remboursé par 2 paiements: le premier au montant de 100$ un an après le prêt et un second au montant de 1200$ deux ans après le prêt. Le taux dintérêt du prêt est le taux effectif dintérêt i = 10% par année. Nous avons alors la table damortissement suivante Exemple 3:

41 ACT2025 - Cours 18 Période de paiement Paiement Portion dintérêt payé Portion dintérêt à payer Portion de principal payé Solde restant du prêt 1082.64 1100 108.26-8.261090.90 21200109.09 1090.910