MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Quatorzième cours ACT Cours 14

2 Rappel: Détermination de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt ACT Cours 14

3 Rappel: Détermination de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt Détermination la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt ACT Cours 14

4 Rappel: Détermination de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt Détermination la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt Détermination la valeur accumulée d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt ACT Cours 14

5 La valeur actuelle d’une annuité de début de période est
Rappel: La valeur actuelle d’une annuité de début de période est ACT Cours 14

6 La valeur accumulée d’une annuité de début de période est
Rappel: La valeur accumulée d’une annuité de début de période est ACT Cours 14

7 La valeur actuelle d’une rente perpétuelle de fin de période est
Rappel: La valeur actuelle d’une rente perpétuelle de fin de période est ACT Cours 14

8 La valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période est
Rappel: La valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période est ACT Cours 14

9 Rappel: Considérons une annuité de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de l’annuité en période de capitalisation, par i le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m) le taux nominal d’intérêt équivalent à i ACT Cours 14

10 La valeur actuelle de cette annuité de fin de période est
Rappel: La valeur actuelle de cette annuité de fin de période est ACT Cours 14

11 Rappel: La valeur accumulée de cette annuité de fin de période au dernier paiement (après n périodes de capitalisation) est ACT Cours 14

12 Considérons une annuité de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par n: la durée de l’annuité en période de capitalisation, par i le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m) le taux nominal d’intérêt équivalent à i. ACT Cours 14

13 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par
ACT Cours 14

14 Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule. ACT Cours 14

15 Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par
ACT Cours 14

16 Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule. ACT Cours 14

17 Considérons une rente perpétuelle de fin de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à i. ACT Cours 14

18 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette rente perpétuelle par
ACT Cours 14

19 Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où i(m) est le taux nominal d’intérêt équivalent à i. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule. ACT Cours 14

20 Si nous considérons une rente perpétuelle de début de période consistant en des paiements de (1/m) dollars, où m est le nombre de périodes de paiement dans chacune des périodes de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt par période de capitalisation et par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à i. ACT Cours 14

21 Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où d est le taux d’escompte équivalent à i, d(m) est le taux nominal d’escompte équivalent à d. Il est possible aussi de donner une explication en terme d’annuité de cette formule. ACT Cours 14

22 Exemple 1: La loterie nationale veut créer un nouveau jeu de hasard dans lequel le gros lot est de verser 1000$ par semaine à tout jamais. Si le taux d’intérêt est le taux effectif i = 5% par année, déterminons la valeur actuelle de ce gros lot. Le premier versement est fait lors de l’encaissement du billet gagnant. ACT Cours 14

23 Exemple 1: (suite) Nous voulons ainsi déterminer la valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période pour lequel le paiement est 1000$, les paiements sont à toutes les semaines et la période de capitalisation est une année. m = 52 i = 5% i(52) = % Total des paiements pendant une période de capitalisation = 52 x 1000 = 52000 ACT Cours 14

24 La valeur actuelle recherchée est
Exemple 1: (suite) La valeur actuelle recherchée est ACT Cours 14

25 La valeur actuelle recherchée est
Exemple 1: (suite) La valeur actuelle recherchée est c’est-à-dire ACT Cours 14

26 Pour conclure sur ce type d’annuités, celles pour lesquelles la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation de l’intérêt. Nous allons considérer une situation continue. ACT Cours 14

27 Considérons une annuité pour laquelle un paiement de dt dollars est fait au temps t. Ces paiements sont faits continûment pendant n périodes de capitalisation. Le total des paiements faits pendant une période de capitalisation est 1. Le taux d’intérêt par période de capitalisation est le taux effectif d’intérêt i ACT Cours 14

28 Nous noterons la valeur actuelle (au début de la première période) de cette annuité par
ACT Cours 14

29 Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où  est le taux instantané d’intérêt équivalent à i. ACT Cours 14

30 Nous noterons la valeur accumulée (à la fin de la dernière période) de cette annuité par
ACT Cours 14

31 Nous obtenons algébriquement la formule suivante:
où  est le taux instantané d’intérêt équivalent à i. ACT Cours 14

32 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants; soit les paiements forment une suite arithmétique de la forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q) ACT Cours 14

33 Nous allons maintenant considérer des annuités pour lesquelles les paiements ne seront pas constants; soit les paiements forment une suite arithmétique de la forme: P, (P + Q), (P + 2Q), …, (P + (n - 1)Q) soit les paiements forment une suite géométrique: P, (1 +k)P, (1 + k)2P, …, (1 + k)(n - 1)P ACT Cours 14

34 Considérons une annuité ayant n paiements dont le premier est de P dollars et les paiements suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin de période et nous supposerons que la période de paiement coïncide avec la période de capitalisation de l’intérêt. ACT Cours 14

35 Ainsi le premier paiement est de P dollars, le deuxième est de (P + Q) dollars, le troisième est de (P + 2Q) dollars, ainsi de suite jusqu’au dernier au montant de (P + (n - 1)Q) dollars. Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous supposerons est que (P + (n - 1)Q) > 0. Nous noterons par L : la valeur actuelle de cette annuité. ACT Cours 14

36 Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
ACT Cours 14

37 La valeur actuelle est alors
ACT Cours 14

38 Exemple 2: Anne a emprunté 100 000$ qu’elle remboursera en faisant
48 paiements. Ces paiements sont faits à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Le premier paiement est de 1000$ et avec chaque paiement nous augmentons le paiement de X dollars jusqu’au 20e. Ensuite ceux-ci sont constants et égaux à ( X). Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(12) = 6% par année capitalisé à tous les mois. Déterminons X. ACT Cours 14

39 Exemple 2: (suite) Nous avons ainsi deux annuités, les 20 premiers paiements, qui forment une suite arithmétique, et les 28 derniers paiements, qui sont constants. Pour la seconde annuité, elle est différée. Il faudra ainsi escompter pour obtenir sa valeur actuelle. Le taux d’intérêt par mois est (6%/12) = 0.5% ACT Cours 14

40 Exemple 2: (suite) La valeur actuelle de la première annuité est alors
ACT Cours 14

41 Exemple 2: (suite) La valeur actuelle de la seconde annuité est
ACT Cours 14

42 Exemple 2: (suite) L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est ACT Cours 14

43 Exemple 2: (suite) L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons que X = 91.80$ ACT Cours 14

44 Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
ACT Cours 14

45 Calculons maintenant la valeur accumulée à la fin de la ne période de cette annuité formant une suite arithmétique. Cette valeur est ACT Cours 14

46 Exemple 3: Bernard veut accumuler 200 000$ en faisant 20 dépôts à
la fin de chaque semestre pendant 10 ans. Il dépose initialement P dollars et avec chaque semestre, il diminue le dépôt de (P/40) dollars. Déterminer P si le taux d’intérêt est i(2) = 8%. Le taux d’intérêt par semestre est (8%/2) = 4%. ACT Cours 14

47 Exemple 3: (suite) L’équation de valeur à la fin de la dixième année est ACT Cours 14

48 Exemple 3: (suite) L’équation de valeur à la fin de la dixième année est Nous obtenons que P = $ ACT Cours 14

49 Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
ACT Cours 14

50 Exemple 4: Cléo fait des dépôts à la fin de chaque mois pendant 15 ans dans un placement rémunéré au taux nominal d’intérêt i(12) = 9%. La première année, les dépôts mensuels sont de 300$. Avec chaque année, les dépôts mensuels augmentent de 20$. Déterminons le montant accumulé X à la fin de la quinzième année. ACT Cours 14

51 Exemple 4: (suite) Il y a ainsi 15 x 12 = 180 dépôts. Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: ACT Cours 14

52 Exemple 4: (suite) Ceci n’est pas exactement une annuité pour laquelle
les paiements forment une suite arithmétique. Cependant si nous considérons les valeurs accumulées à la fin de chaque année, nous aurons une annuité dont les paiements formeront une suite arithmétique et de plus celle-ci sera équivalente à notre annuité avec dépôts mensuels. ACT Cours 14

53 Exemple 4: (suite) Le taux d’intérêt par mois est i(12)/12 = 9%/12 = 0.75%. Pour la ke année, les paiements mensuels sont au montant de (k - 1). Il y a ainsi 12 dépôts de (k -1) dollars dont la valeur accumulée à la fin de l’année est ACT Cours 14

54 Exemple 4: (suite) Nous aurons ainsi une annuité ayant 15 dépôts annuels, un à la fin de chacun des 15 années, au montant au lieu des 180 dépôts mensuels de notre première annuité. Cette seconde annuité est équivalente à la première. ACT Cours 14

55 Exemple 4: (suite) Cette seconde annuité a des paiements qui forment une suite arithmétique. En effet, nous aurons et ACT Cours 14

56 Exemple 4: (suite) La période de paiement est une année et le taux effectif d’intérêt par année équivalent au taux nominal d’intérêt i(12) = 9% est %. Nous obtenons alors que la valeur accumulée est c’est-à-dire $. ACT Cours 14