La méthode dEuler (1707-1783) Ou comment connaître (à peu près) le futur avec - y t y t des conditions initiales connues, Une équa diff du premier degré.

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1 La méthode dEuler (1707-1783) Ou comment connaître (à peu près) le futur avec - y t y t des conditions initiales connues, Une équa diff du premier degré que lon ne sait pas résoudre

2 Les contenus (p.85 B.O.) Chute verticale avec frottement (Placée avant la chute libre) Application 2ème loi de N. à un mouvement de chute verticale : forces appliquées au solide (poids, poussée dArchimède, force de frottement fluide) Équa diff du mouvement ;

3 Les contenus (Suite) Résolution de léqua diff par une méthode numérique itérative Régime initial et asymptotique (dit « permanent ») Vitesse limite ; notion de temps caractéristique

4 Connaissances et savoir-faire exigibles - Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir léquation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée. - Connaître le principe de la méthode dEuler pour la résolution approchée dune équa diff. - Savoir exploiter des reproductions décrans dordinateur (lors de lutilisation dun tableur-grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux

5 Connaissances et savoir-faire exigibles (suite) - Savoir exploiter des courbes V G = f(t) pour : - Dans le cas de la résolution par la méthode itérative de léqua diff, discuter la pertinence des courbes obtenues/ aux résultats expérimentaux -Reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique -Évaluer le temps caractéristique -Déterminer la vitesse limite

6 Principe mathématique de la méthode Y(t) = f (t, x(t)) y t dt

7 À un instant quelconque, on peut écrire : y(t+dt) = y(t) + v(t).dt + O(t 2 ) Ordre en t 2 négligé De même, v(t+dt) = v(t) + a(t).dt + O(t 2 ) Ordre en t 2 négligé

8 Cas de la chute libre avec frottement Ecoulement à nombre de Reynolds supérieur à 1000 (turbulent) Frottementf(t) = k.V 2 (t) (avec k = ½.C x. S. Balle de Ping-pong ou balle de tennis)

9 Solutions : Balle de tennis, boule de pétanque : Si on lâche à hauteur dhomme, écart à larrivée 2 cm (!) BUP 815

10 Date titi t i+1 Position yiyi y i+1 Vitesse vivi v i+1 Accélération aiai a i+1 Méthode itérative Y i+1 = Y i + V i.dt V i+1 = V i + A i.dt k = Donc

11 Exploitation avec un tableur type Excel Y 2 = A3 + 0,05.B3 0 D39,81 C3 a 1 0 B3 V 1 0 A3 Y 1 5,80,05 (ex) D2a C2V B2Y A2 V lim(m/s) Pas ditération V/V li m Accélér ation VitesseAltitude

12 Une seule ligne définie, toutes les autres calculées par un simple « copier/coller » Conditions initiales Définitions des cellules par des « formules » Rien à faire. Le logiciel calcule grâce à un copier/coller