II Fonctions polynômes degré 2

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1 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ...

2 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 car sinon …

3 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 car sinon f(x) = bx + c et f serait alors une fonction affine. Remarques : « polynôme » signifie « …

4 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 car sinon f(x) = bx + c et f serait alors une fonction affine. Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif.

5 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 car sinon f(x) = bx + c et f serait alors une fonction affine. Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré …

6 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 car sinon f(x) = bx + c et f serait alors une fonction affine. Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré …

7 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 car sinon f(x) = bx + c et f serait alors une fonction affine. Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré …

8 II Fonctions polynômes degré 2
1°) Définition : Elles sont définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, a, b et c étant des réels, et a ≠ 0 car sinon f(x) = bx + c et f serait alors une fonction affine. Remarques : « polynôme » signifie « plusieurs monômes ». « Monôme » signifie une expression de la forme d xn avec d un réel appelé « coefficient » et n un entier positif. 8 x7 + 5 x² + 3 est un polynôme de degré 7 ( c’est l’exposant le plus fort qui influence le plus ), une fonction affine correspond à un polynôme de degré mx + p = m x1 + p une fonction constante correspond à un polynôme de degré f(x) = p = p×1 = p x0

9 Recherche avec la calculatrice graphique :
Tracez les courbes des fonctions suivantes : 4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ? 2°) Les courbes des fonctions polynômes degré 2 semblent se ranger en combien de catégories ? selon quel critère ?

10 Pour un écran de – 5 à 5 en X et de – 20 à 20 en Y
4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3

11 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
1°) Les 6 courbes …

12 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
1°) Les 6 courbes sont des paraboles.

13 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
1°) Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie,

14 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
1°) Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie, ni les mêmes sommets,

15 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
1°) Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie, ni les mêmes sommets, ni la même ouverture :

16 1°) Quels sont leurs caractéristiques communes ?
1°) Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie, ni les mêmes sommets. 3°) Elles sont orientées vers le haut ou le bas : 4x² - 4x + 1 x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3 selon …

17 1°) Quelles sont leurs caractéristiques communes ?
1°) Les 6 courbes sont des paraboles. 2°) Elles n’ont pas le même axe de symétrie, ni les mêmes sommets. 3°) Elles sont orientées vers le haut ou le bas : 4x² - 4x + 1 1x² + 5x – 9 - 2x² + 16x – x² - 6x – 1 2x² + 4x x² + 9x + 3 selon le signe de a

18 Elles croisent l’axe des x en
combien de points ?

19 Elles croisent l’axe des x en :
0 point

20 Elles croisent l’axe des x en :
0 point 1 point

21 Elles croisent l’axe des x en :
0 point 1 point 2 points

22 Ce sont des paraboles, comme pour la fonction carré, car :
la transformation qui permet de passer de la fonction carré y = x² à une fonction polynôme degré 2 y = ax² + bx + c est une transformation qui a …

23 Ce sont des paraboles, comme pour la fonction carré, car :
la transformation qui permet de passer de la fonction carré y = x² à une fonction polynôme degré 2 y = ax² + bx + c est une transformation qui a conservé la forme de la parabole de la fonction carré ( elle l’a ouverte ou refermée, lui a fait changé son orientation ou pas, mais n’a pas changé sa forme de parabole ).

24 Démonstration : y = ax² + bx + c
= a ( x² + … x ) + c

25 Démonstration : y = ax² + bx + c
b = a ( x² + x ) + c a

26 Démonstration : y = ax² + bx + c
b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 … x ) + c a

27 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a

28 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b ² ² = a ( x² + 2 x + … - … ) + c 2a

29 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b b ² b ² = a ( x² + 2 x + - ) + c 2a 2a 2a

30 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b b ² b ² = a ( x² + 2 x + - ) + c 2a 2a 2a

31 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b b ² b ² = a ( x² + 2 x + - ) + c 2a 2a 2a identité remarquable

32 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b b ² b ² = a ( x² + 2 x + - ) + c 2a 2a 2a ² b ² = a ( … - ) + c 2a

33 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b b ² b ² = a ( x² + 2 x + - ) + c 2a 2a 2a b ² b ² = a ( x + - ) + c 2a 2a

34 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b b ² b ² = a ( x² + 2 x + - ) + c 2a 2a 2a b ² b ² b ² = a ( x + - ) + c = a x + - … + c 2a 2a 2a

35 Démonstration : y = ax² + bx + c
b b = a ( x² + x ) + c = a ( x² + 2 x ) + c a 2a b b ² b ² = a ( x² + 2 x + - ) + c 2a 2a 2a b ² b ² b ² b ² = a ( x + - ) + c = a x + - a + c 2a 2a 2a 2a

36 Démonstration : y = ax² + bx + c = …
b ² b ² b ² b ² = a ( x + - ) + c = a x + - a + c 2a 2a 2a 2a b ² b² = a x + - a + c 2a …

37 Démonstration : y = ax² + bx + c = …
b ² b ² b ² b ² = a [ x + - ] + c = a x + - a + c 2a 2a 2a 2a b ² b² = a x + - a + c 2a 4a²

38 Démonstration : y = ax² + bx + c = …
b ² b ² b ² b ² = a [ x + - ] + c = a x + - a + c 2a 2a 2a 2a b ² b² b ² b² = a x + - a + c = a x c 2a 4a² 2a …

39 Démonstration : y = ax² + bx + c = …
b ² b ² b ² b ² = a [ x + - ] + c = a x + - a + c 2a 2a 2a 2a b ² b² b ² b² = a x + - a + c = a x c 2a 4a² 2a 4a

40 Démonstration : y = ax² + bx + c = …
b ² b ² b ² b ² = a [ x + - ] + c = a x + - a + c 2a 2a 2a 2a b ² b² b ² … = a x c = a x + - 2a 4a 2a 4a

41 Démonstration : y = ax² + bx + c = …
b ² b ² b ² b ² = a [ x + - ] + c = a x + - a + c 2a 2a 2a 2a b ² b² b ² b² - 4ac = a x + - a + c = a x + - 2a 4a² 2a 4a

42 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac y = a x + - 2a 4a

43 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac b ² y = a x + - y + … = a x + 2a 4a 2a

44 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac b² - 4ac b ² y = a x + - y + = a x + 2a 4a 4a 2a

45 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac b² - 4ac b ² y = a x + - y + = a x + 2a 4a 4a 2a b b² - 4ac Changement de variables : X = x + et Y = y + 2a 4a On obtient : …

46 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac b² - 4ac b ² y = a x + - y + = a x + 2a 4a 4a 2a b b² - 4ac Changement de variables : X = x + et Y = y + 2a 4a On obtient : Y = aX²

47 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac b² - 4ac b ² y = a x + - y + = a x + 2a 4a 4a 2a b b² - 4ac Changement de variables : X = x + et Y = y + 2a 4a On obtient : Y = aX² X et Y sont …

48 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac b² - 4ac b ² y = a x + - y + = a x + 2a 4a 4a 2a b b² - 4ac Changement de variables : X = x + et Y = y + 2a 4a On obtient : Y = aX² X et Y sont les nouveaux axes de la parabole à la place des axes x et y .

49 y = ax² + bx + c a donc donné
b ² b² - 4ac b² - 4ac b ² y = a x + - y + = a x + 2a 4a 4a 2a b b² - 4ac Changement de variables : X = x + et Y = y + 2a 4a On obtient : Y = aX² X et Y sont les nouveaux axes. La parabole d’équation Y = X² est déformée par a

50 y = ax² + bx + c a donné après changement d’axes Y = aX²
La parabole d’équation Y = X² est déformée par a y Y a = 1 X x

51 y = ax² + bx + c a donné après changement d’axes Y = aX²
La parabole d’équation Y = X² est déformée par a y Y a = 1 a = 0,5 X x

52 y = ax² + bx + c a donné après changement d’axes Y = aX²
La parabole d’équation Y = X² est déformée par a y Y a = 1,5 a = 1 a = 0,5 X x

53 y = ax² + bx + c a donné après changement d’axes Y = aX²
La parabole d’équation Y = X² est déformée par a y Y a = 1,5 a = 1 a = 0,5 X x a = - 1

54 y = ax² + bx + c a donné après changement d’axes Y = aX²
La parabole d’équation Y = X² est déformée par a y Y a = 1,5 a = 1 a = 0,5 X x a = - 0,5 a = - 1

55 2°) Analyse de la fonction :
La fonction a … possibilités de tableau de variation, car …

56 2°) Analyse de la fonction :
La fonction a 2 possibilités de tableau de variation, car la parabole est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0

57 2°) Analyse de la fonction :
La fonction a 2 possibilités de tableau de variation, car la parabole est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 si a > 0 si a < 0 x -∞ ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x)

58 2°) Analyse de la fonction :
La fonction a 2 possibilités de tableau de variation, car la parabole est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 si a > 0 si a < 0 x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x)

59 2°) Analyse de la fonction :
La fonction a 2 possibilités de tableau de variation, car la parabole est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 si a > 0 si a < 0 La fonction a … possibilités de tableau de signe, car … x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x)

60 2°) Analyse de la fonction :
La fonction a 2 possibilités de tableau de variation, car la parabole est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 si a > 0 si a < 0 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x)

61 2°) Analyse de la fonction :
La fonction a 2 possibilités de tableau de variation, car la parabole est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 si a > 0 si a < 0 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x)

62 La fonction a 2 possibilités de tableau de variation, car la parabole est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 si a > 0 si a < 0 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. On nommera x1 ; x2 ; etc… les abscisses des points sur l’axe x ( que vous ne pourrez déterminer qu’en 1ère ). x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x)

63 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ x ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ x ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

64 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Dans certains cas on connait les abscisses des points sur l’axe x : ce sont … x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ x ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ x ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

65 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Dans certains cas on connait les abscisses des points sur l’axe x : ce sont celles du sommet xsommet = - b/(2a) x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

66 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Lorsque les points sur l’axe des abscisses ne sont pas le sommet d’abscisse -b/(2a), on ne déterminera ( en 2nde ) que le signe des x1 et x2 . Pour l’un des deux, il dépend de … x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

67 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Lorsque les points sur l’axe des abscisses ne sont pas le sommet d’abscisse -b/(2a), on ne déterminera ( en 2nde ) que le signe des x1 et x2 . Pour l’un des deux, il dépend de f(0) x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

68 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Lorsque les points sur l’axe des abscisses ne sont pas le sommet d’abscisse -b/(2a), on ne déterminera ( en 2nde ) que le signe des x1 et x2 . Pour l’un des deux, il dépend de f(0) x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

69 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Lorsque les points sur l’axe des abscisses ne sont pas le sommet d’abscisse -b/(2a), on ne déterminera ( en 2nde ) que le signe des x1 et x2 . Pour l’un des deux, il dépend de f(0) x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

70 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Lorsque les points sur l’axe des abscisses ne sont pas le sommet d’abscisse -b/(2a), on ne déterminera ( en 2nde ) que le signe des x1 et x2 . Pour l’un des deux, il dépend de f(0) x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

71 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Lorsque les points sur l’axe des abscisses ne sont pas le sommet d’abscisse -b/(2a), on ne déterminera ( en 2nde ) que le signe des x1 et x2 . Pour l’un des deux, il dépend de f(0) x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

72 La fonction a 6 possibilités de tableau de signe, car elle a 2 orientations possibles, et 3 possibilités d’intersection avec l’axe des x. Lorsque les points sur l’axe des abscisses ne sont pas le sommet d’abscisse -b/(2a), on ne déterminera ( en 2nde ) que le signe des x1 et x2 . Pour l’un des deux, il dépend de f(0). x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) + x -∞ x x ∞ f(x) x -∞ b/(2a) ∞ f(x) x -∞ ∞ f(x) -

73 Résumé : On détermine la courbe par :
1) f(x) est de la forme ax² + bx + c donc c’est une fonction polynôme degré 2, donc sa courbe est une parabole. 2) Elle est orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. 3) Elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = - b/(2a) 4) Son sommet est au point ( - b/(2a) ; f( - b/(2a) ) ). 5) On recherche le nombre de points sur l’axe des abscisses, avec le signe de leurs abscisses, et f(0) est utile.

74 Exemple : Déterminez et tracez la forme de la courbe de la fonction définie sur R par f(x) = - 5x² + 20x - 15, et déduisez-en le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0, et leurs signes.

75 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole.

76 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas.

77 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 2a (-5)

78 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 2a (-5) 2

79 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 2a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2

80 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2

81 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2 f(0) = - 15

82 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2 f(0) = - 15 - 15

83 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2 f(0) = - 15 - 15

84 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2 f(0) = - 15 - 15

85 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2 f(0) = - 15 Il y a 2 solutions à l’équation f(x) = 0

86 - 5x² + 20x - 15 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc la courbe est une parabole. a = - 5 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 2 a (-5) f(2) = -5(2²) + 20(2) – 15 = 5 Elle a un sommet de coordonnées ( 2 ; 5 ). 2 f(0) = - 15 Il y a 2 solutions à l’équation f(x) = 0 d’abscisses positives.