ACT2025 - Cours 4 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours.

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1 ACT2025 - Cours 4 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours

2 ACT2025 - Cours 4 Rappel: •Escompte composé

3 ACT2025 - Cours 4 Rappel: •Escompte composé •Escompte simple

4 ACT2025 - Cours 4 Rappel: •Escompte composé •Escompte simple •Taux nominal d’intérêt

5 ACT2025 - Cours 4 Rappel: •Escompte composé •Escompte simple •Taux nominal d’intérêt •Taux nominal d’escompte

6 ACT2025 - Cours 4 Rappel: •Escompte composé •Escompte simple •Taux nominal d’intérêt •Taux nominal d’escompte •Équivalence de taux

7 ACT2025 - Cours 4 Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i (m). Rappel:

8 ACT2025 - Cours 4 Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d (m). Rappel:

9 ACT2025 - Cours 4 L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes en calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an ou encore Rappel:

10 ACT2025 - Cours 4 en calculant la valeur accumulée par 1 dollar après un an. Rappel:

11 ACT2025 - Cours 4 Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

12 ACT2025 - Cours 4 Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? (b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?

13 ACT2025 - Cours 4 Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i (2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois.

14 ACT2025 - Cours 4 Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i (2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois. Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est d (4) = 9%, c’est-à-dire (9/4)% = 2.25% par trois mois.

15 ACT2025 - Cours 4 Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. Solution: (a)

16 ACT2025 - Cours 4 Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois. Solution: (a)

17 ACT2025 - Cours 4 Le montant accumulé après les deux premières années est 12000(1 + 0.03) 4 = 13506.11 $ Solution: (a)

18 ACT2025 - Cours 4 Le montant accumulé après les deux premières années est 12000(1 + 0.03) 4 = 13506.11 $ Le montant accumulé après les trois dernières années est 13506.11 (1 - 0.0225) -12 = 17747.17 $ Solution: (a)

19 ACT2025 - Cours 4 Le montant accumulé après les deux premières années est 12000(1 + 0.03) 4 = 13506.11 $ Le montant accumulé après les trois dernières années est 13506.11 (1 - 0.0225) -12 = 17747.17 $ Solution: (a) Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.

20 ACT2025 - Cours 4 Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et deux ans et les soustraire l’un de l’autre. Nous aurons ainsi le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année. Solution: (b)

21 ACT2025 - Cours 4 Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est 12000 (1.03) 4 (0.9775) -4 = 14945.54 $ Solution: (b)

22 ACT2025 - Cours 4 Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est 12000 (1.03) 4 (0.9775) -4 = 14945.54 $ Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est 12000(1.03) 4 = 13506.11 $ Solution: (b)

23 ACT2025 - Cours 4 Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est 12000 (1.03) 4 (0.9775) -4 = 14945.54 $ Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est 12000(1.03) 4 = 13506.11 $ Solution: (b) Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est 14945.54 - 13506.11 = 1439.43 $

24 ACT2025 - Cours 4 Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt): Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel.

25 ACT2025 - Cours 4 Notons la fonction d’accumulation par A(t). Alors le taux instantané de l’intérêt est défini Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt): (suite)

26 ACT2025 - Cours 4 Exemple 2: Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à- dire a(t) = (1 + it) Alors la force de l’intérêt sera

27 ACT2025 - Cours 4 Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à- dire a(t) = (1 + i) t Alors la force de l’intérêt sera Exemple 3:

28 ACT2025 - Cours 4 Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante. Remarque 1:

29 ACT2025 - Cours 4 Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. Remarque 2:

30 ACT2025 - Cours 4 Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet, nous pouvons montrer que Remarque 2:

31 ACT2025 - Cours 4 De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale: Remarque 2: (suite)

32 ACT2025 - Cours 4 Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire  x =  pour tout x, nous obtenons que Remarque 3:

33 ACT2025 - Cours 4 Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire  x =  pour tout x, nous obtenons que Remarque 3: Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé!

34 ACT2025 - Cours 4 En fait, nous obtenons que e  = (1 + i) où i est le taux d’intérêt composé équivalent au taux instantané d’intérêt . Remarque 3: (suite)

35 ACT2025 - Cours 4 Exemple 4: Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané d’intérêt de 5% par année. Quel montant doit-il investir aujourd’hui?

36 ACT2025 - Cours 4 Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt  = 5%. Solution:

37 ACT2025 - Cours 4 Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt  = 5%. Solution: Nous avons vu que la fonction de capitalisation est a(t) = e  t.

38 ACT2025 - Cours 4 Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt  = 5%. Solution: Conséquemment la fonction d’actualisation est a -1 (t) = e -  t. Nous avons vu que la fonction de capitalisation est a(t) = e  t.

39 ACT2025 - Cours 4 De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui 10000 e -(0.05)7 = 7046.88 $. Solution: (suite)

40 ACT2025 - Cours 4 Soit un taux instantané de l’intérêt constant  Pour chaque m > 0, désignons par i (m) : le taux nominal d’intérêt équivalent à , alors Proposition 1:

41 ACT2025 - Cours 4 Remarque 4: Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’intérêt i (m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’intérêt demeure i (m) /m par période de capitalisation. Nous allons illustrer ceci dans l’exemple suivant.

42 ACT2025 - Cours 4 Exemple 5: Si 5000 $ est placé au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé à tous les 4 ans, alors calculons le montant accumulé après 5 ans. Dans ce cas, une année correspond à (1/4) = 0.25 d’une période de capitalisation. Donc nous avons le taux nominal d’intérêt i (1/4) = 6%.

43 ACT2025 - Cours 4 Exemple 5: (suite) Le taux d’intérêt par période de capitalisation (i.e. par 4 ans) est 6/(0.25) % = 24%. Il faut noter aussi que 5 ans est 1.25 période de capitalisation. Donc le montant accumulé après 5 ans sera 5000(1.24) 1.25 = 6542.55 $

44 ACT2025 - Cours 4 Remarque 5: Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’escompte d (m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’escompte demeure d (m) /m par période de capitalisation.

45 ACT2025 - Cours 4 CHAPITRE II Principes de base

46 ACT2025 - Cours 4 La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé. Principe de base:

47 ACT2025 - Cours 4 Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison. Conséquence du principe de base:

48 ACT2025 - Cours 4 Définition: L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée l’équation de valeur.

49 ACT2025 - Cours 4 La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même date de comparaison Définition de l’équation de valeur:

50 ACT2025 - Cours 4 Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans. Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement. Exemple 6:

51 ACT2025 - Cours 4 Prenons au départ comme date de comparaison t = 0. Le taux d’intérêt par période de 6 mois est i (2) /2 = (10/2) % = 5% Solution:

52 ACT2025 - Cours 4 Solution: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est Alors l’équation de valeur est 7000 + 4000(1.05) -4 + 3000(1.05) -6 = X(1.05) -10

53 ACT2025 - Cours 4 Si nous avions pris comme date de comparaison: la fin de la cinquième année (i.e t = 10 semestres), alors le diagramme d’entrées et sorties serait Solution: (suite) et l’équation de valeur serait 7000(1.05) 10 + 4000(1.05) 6 + 3000(1.05) 4 = X

54 ACT2025 - Cours 4 Peu importe l’équation utilisée, nous obtenons que Béa remboursera le prêt en versant X = 20409.16 $ Solution: (suite)

55 ACT2025 - Cours 4 Nous pouvons comparer les équations de valeur pour ces deux dates, nous avons Solution: (suite) 7000 + 4000(1.05) -4 + 3000(1.05) -6 = X(1.05) -10 et 7000(1.05) 10 + 4000(1.05) 6 + 3000(1.05) 4 = X Celles-ci sont différentes que par la multiplication d’un même facteur, à savoir la première équation par (1.05) 10.

56 ACT2025 - Cours 4 Il est nécessaire de fixer une date de comparaison, mais ce choix n’aura pas d’incidence sur le résultat dans le cas de l’intérêt composé.

57 ACT2025 - Cours 4 Nous reprenons le même prêt que celui de l’exemple 5, sauf que Béa remboursera ce prêt par trois versements égaux au montant de Y dollars, le premier après 3 ans et demi, le second après 4 ans et demi et le dernier après 5 ans. Déterminer Y si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement. Exemple 7:

58 ACT2025 - Cours 4 Prenons comme date de comparaison: t = 7 périodes de capitalisation (i.e. après 3 ans et demi). Le taux d’intérêt par période de 6 mois est i (2) /2 = (10/2) % = 5% Solution:

59 ACT2025 - Cours 4 Solution: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est

60 ACT2025 - Cours 4 Alors l’équation de valeur est 7000(1.05) 7 + 4000(1.05) 3 + 3000(1.05) | Y + Y(1.05) -2 +Y(1.05) -3 Solution: (suite)

61 ACT2025 - Cours 4 De cette équation, nous obtenons que Y = 6362.70 $. Si nous comparons le total des versements effectués par Béa pour chacun des deux exemples précédents, nous obtenons Solution: (suite) 3Y = 19088.10 $ < 20409.16 $ = X

62 ACT2025 - Cours 4 Ceci ne devrait pas nous surprendre parce que le remboursement plus rapide de son prêt fait en sorte que Béa versera moins d’intérêt à Alex!