IUT de Toulon GEII 2ème année

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1 IUT de Toulon GEII 2ème année
Cours de Mathématiques Bruno ROSSETTO tél site: IUT de Toulon B. Rossetto

2 Cours de Mathématiques
Sommaire du module MA 31 Analyse de Fourier, Mathématiques pour le signal discret Rappel – Transformée de Laplace Chap. 1 – Transformation de Fourier Chap. 2 – Transformée en z Chap. 3 – Suites numériques Chap. 4 – Séries numériques, séries entières IUT de Toulon B. Rossetto

3 Cours de Mathématiques
Module MA 32 Séries de Fourier, Fonctions à plusieurs variables Module MC M2 (semestre 4) Algèbre linéaire et applications Module MC M3 (semestre 4) Probabilités et statistiques inférentielles IUT de Toulon B. Rossetto

4 Transformée de Laplace
Définition IUT de Toulon B. Rossetto

5 Transformée de Laplace
Exemples U(t) 1 t Echelon unité U(t)e-at, a> 0 1 t Note: la TL n’est pas définie pour tout p: la partie réelle de p doit être plus grande qu’une valeur, l’abscisse de convergence. Exponentielle décroissante IUT de Toulon B. Rossetto

6 Transformée de Laplace
Propriété de linéarité IUT de Toulon B. Rossetto

7 Transformée de Laplace
Propriété de linéarité Exercice. Retrouver les expressions des TL suivantes: IUT de Toulon B. Rossetto

8 Transformée de Laplace
Propriétés 1 t T Impulsion R(t) t Rampe IUT de Toulon B. Rossetto

9 Transformée de Laplace
Propriétés IUT de Toulon B. Rossetto

10 Transformée de Laplace
Convolution U(t) 1 U(t-t) t U(t) 1 U(t-t) t IUT de Toulon B. Rossetto

11 Transformée de Laplace
Opérateurs Exercice. Un signal à support temporel borné [O, T] est périodisé avec une période T. Retrouver l’expression de sa TF (cf. le tableau) IUT de Toulon B. Rossetto

12 Transformée de Laplace
Systèmes linéaires stationnaires E(t) e(p) H(t) h(p) S(t) s(p) IUT de Toulon B. Rossetto

13 Transformée de Laplace
Systèmes linéaires stationnaires H(t) h(p) E(t) e(p) S(t)=(E(t)*H(t))t = s(p)=e(p).h(p) Dans l’espace temps Au niveau des TL Entrée E(t) e(p) SLS H(t) h(p) (rép. percussionnelle) (fonction de transfert) Sortie S(t)=E(t)*H(t) s(p)=e(p).h(p) IUT de Toulon B. Rossetto

14 Transformée de Laplace
Déconvolution 1. Décomposition en éléments simples de première espèce Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (p-a)2 (resp. p - b) et on fait p = a (resp. p = b). On trouve : Pour calculer B, on multiplie l’équation par (p-a) et on fait tendre p vers l’infini. On trouve: B = - C. Les originaux des éléments simples peuvent alors être trouvés directement à partir des tables de TL usuelles. IUT de Toulon B. Rossetto

15 Transformée de Laplace
Déconvolution 2. Décomposition en éléments simples de deuxième espèce C’est le cas où le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce : IUT de Toulon B. Rossetto

16 Transformée de Laplace
Déconvolution Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire H(t)= ? h(p)= ? E(t)=U(t) S(t) On applique un échelon unité à l’entrée d’un système linéaire stationnaire inconnu. On mesure S(t) en sortie. Déterminer la réponse percussionnelle et la fonction de transfert du système. Exercices. Calculer les fonctions du temps qui ont pour TL les expressions suivantes: IUT de Toulon B. Rossetto

17 Transformée de Laplace
Calcul opérationnel Exercice. d(t) 1 t Distribution de Dirac d(t) H(t)= ? h(p)= ? IUT de Toulon B. Rossetto

18 Transformée de Laplace
Réponses Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire Réponse: H(t) est la dérivée de S(t) Exercices. Eléments de réponse: IUT de Toulon B. Rossetto