Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n°4 Les oscillations harmoniques

Introduction Je vous souhaite la bienvenue à cette quatrième leçon du cours de vibration et ondes mécaniques. Cette leçon s’intitule « les Oscillations harmoniques » et est divisée en deux parties : le mouvement harmonique et l’analyse harmonique. Cette leçon commence donc par donner des définitions sur le mouvement harmonique qui est le mouvement périodique le plus simple avec des solutions en sinus et cosinus, où la trajectoire x(t) est égale à (-²) fois l’accélération. Nous donnerons bien sur cette partie toutes les définitions concernant ce genre de mouvement telles que la période, la fréquence; la phase. Nous décrirons ce mouvement sous sa forme vectorielle et sa forme complexe. Nous utiliserons ces deux représentations (vectorielles et complexes) pour additionner deux fonctions harmoniques. Cette première partie de la leçon d’aujourd’hui sur les mouvements harmoniques est plutôt une révision de concepts que vous avez déjà vu. Ce qui peut être différent pour la seconde partie que nous avons intitulé « Analyse harmonique » et qui concerne les développements en série de Fourier de fonctions périodiques.

Introduction Ces fonctions concernent soit le mouvement oscillatoire d’un système, soit la force extérieure appliquée au mouvement. Les développements en série de Fourier concerneront le cas général de fonctions périodiques et les cas particuliers de ces fonctions tels que les fonctions paires et impaires ou les extensions de demi-fonctions. Nous apprendrons à calculer numériquement les coefficients des séries de Fourier, et des exemples utilisant Mathlab, auquel vous serez initié, vous seront donnés. Nous traiterons bien sûr des exemples qui vous aideront à la compréhension de ce cours.

Le mouvement harmonique
Type le plus simple de mouvement harmonique Un mouvement oscillatoire peut se répéter régulièrement comme dans le cas d’un pendule simple, ou il peut montrer de considérables irrégularités, comme dans le cas de mouvements du sol durant un tremblement de terre. Si le mouvement est répété après des intervalles de temps égaux, on appelle ça un mouvement périodique. Le plus simple des mouvements périodiques est le mouvement harmonique. La figure montre un simple mouvement harmonique. Nous avons une baguette de rayon A, qui tourne autour d’un point O. L’autre bout de la manivelle P glisse à l’intérieur d’une baguette solidaire d’un axe vertical R. Quand la manivelle tourne à la vitesse angulaire , l’extrémité S et donc la masse se déplace suivant : Ce mouvement est monté par la courbe sinusoïdale de la figure. La vitesse de la masse m au temps t est donnée par et son accélération est donnée par : On voit donc que pour un mouvement harmonique l’accélération est directement proportionnelle au déplacement et dirigée en sens inverse. Fig.1 : Exemple d’un Oscillateur Harmonique

Représentation vectorielle du mouvement harmonique
Fig.2 : Montrant le mouvement harmonique résultant de la projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation Le mouvement donné par x = A cos t est autre exemple de mouvement harmonique simple. La figure montre clairement la similarité entre un mouvement cyclique et un mouvement sinusoïdale à travers la projection sur les deux axes du vecteur en rotation. Donc un mouvement harmonique représente par un vecteur de longueur A en rotation à une vitesse angulaire constante . La projection de l’extrémité du vecteur sur l’axe vertical est donnée par et sa projection sur l’axe horizontal est donnée par

Représentation complexe d’un mouvement harmonique
Un vecteur dans le plan xoy peut être représentée par un nombre complexe Si A est le module de et  son angle avec l’axe ox : Représentations vectorielles et complexes : Les mouvements harmoniques peuvent être représentés par un vecteur de module A tournant a une vitesse angulaire constante w. Les projections sur les axes Ox et Oy de l'extrémité de ce vecteur étant, respectivement : Tout vecteur dans le plan xOy peut aussi être représenté par un nombre complexe avec Les composantes a et b sont aussi appelées les parties réelles et imaginaires du vecteur, A est son module, et  l'angle entre le vecteur et l'axe des x. Fig. 3 : Représentation vectorielle par un nombre complexe

Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite)
Un vecteur en rotation peut être exprimé par un nombre complexe: Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite) la dérivé de ce vecteur par rapport au temps donne Un vecteur en rotation peut être exprimé par un nombre complexe: la dérivé de ce vecteur par rapport au temps donne Ces quantités sont montrées comme des vecteurs en rotation sur la figure 4. On peut voir que le vecteur vitesse de 90° qui devance le vecteur déplacement de 90°. Fig.4. : La rotation des vecteurs déplacement, vitesse et accélération.

Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite)
On peut écrire : Si le déplacement harmonique est données par x(t)=A sin t ; nous aurons : Si à l'origine, le déplacement est donné par Acost, nous prenons les parties réelles des expressions complexes ci dessus: Si à l’origine, le déplacement est x(t)=Asin t, nous prenons les parties imaginaires des expressions complexes.

Addition de Fonctions Harmoniques
Soient Le vecteur résultant a pour magnitude et pour phase : La projection réelle du vecteur somme s’écrit : Les fonctions harmoniques peuvent être additionnées. Si par exemple le module du vecteur résultant et son angle a seront donnés par (fig.4) : et comme les fonctions originales sont données comme les composantes réelles, leur somme est donnée par

Addition de Fonctions Harmoniques (Suite)
En utilisant des nombres complexes Cette somme peut être aussi trouvée en utilisant les nombres complexes où les constantes A et  sont données par les équations : Fig.5 : Addition Vectorielle de deux Fonctions Harmoniques

Exemple 1: Mouvement Harmonique
Un mouvement harmonique a une amplitude de 0,05 m et une fréquence de 10Hz. Trouver la période, la vitesse maximale et l’accélération maximale. Solution : Cette somme peut être aussi trouvée en utilisant les nombres complexes où les constantes A et  sont données par les équations :

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques
Énoncé :Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants : Exemple 10 : Addition de deux mouvements harmoniques Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants : Nous utiliserons trois méthodes différentes. Fig.6 : Addition de deux vecteurs

Exemple 2 : addition de deux mouvements harmoniques (suite)
En utilisant des relations trigonométriques, on exprime la somme par : qui nous donne : d’où : en égalant les coefficients correspondant de cos t et sin t des deux membres, on obtient d’où :

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)
Deuxième méthode : en utilisant des vecteurs et une représentation graphique pour une valeur arbitraire de t, la somme graphique des deux vecteurs peut être trouvée comme étant : En utilisant les vecteurs: Pour une valeur arbitraire de t, les mouvements harmoniques x1(t) et x2(t) peuvent être représentés graphiquement comme le montre la figure. Le vecteur résultant est égal à:

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)
Troisième méthode : en utilisant les nombres complexes : La somme peut s’écrire : où A et  sont données par En utilisant les nombres complexes, on écrit : la somme des parties réelles de x1(t) et de x2(t) peut être exprimée par:

Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite)
Cycle de vibration : Il décrit le mouvement suivant : Position d’équilibre  position extrême dans une direction  position d’équilibre  position extrême dans l’autre direction  position d’équilibre Exemples : pendule simple, un déplacement de 2  radians de l(extrémité d’un vecteur sur un cercle. Amplitude : Déplacement maximum d’un corps vibrant à partir de sa position d’équilibre. L’amplitude de vibration est égale à A dans les figures (1) et (2). Période des Oscillations : Temps mis pour compléter un cycle du mouvement, dénoté par  ou par T. C’est le temps mis par le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation de 2 .  est la vitesse angulaire. Fréquence des Oscillations : C’est le nombre de cycles par unité de temps Les définitions qui suivent sont utiles dans la description des mouvement harmonique : CYCLE : Le mouvement vibratoire d'un corps à partir de sa position d'équilibre jusqu'à sa position extrême dans une direction, puis jusqu'à, sa position d'équilibre, puis jusqu'à sa position extrême dans l'autre direction et de nouveau à sa position d'équilibre est appelé un cycle de vibration. Une révolution complète, c'est à dire un déplacement de 2 radians ou une révolution complète du vecteur en rotation sur un cercle constitue un cycle. AMPLITUDE: Le déplacement maximum d'un corps vibrant à partir de sa position d'équilibre est appelé l'amplitude de la vibration. PERIODE DES OSCILLATIONS: Le temps mis pour compléter un cycle du mouvement est appelé la période d'oscillation et est dénoté par T ou . Elle est égale au temps mis par le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation d'un angle de 2. Nous avons alors : où  est appelée la pulsation, fréquence circulaire ou vitesse angulaire. FREQUENCE DES OSCILLATIONS : Le nombre de cycles par unité de temps est appelé la fréquence des oscillations ou tout simplement la fréquence. On la dénote par la lettre f: f est mesurée en cycles par seconde (hertz) alors que w est mesurée en radians par seconde.

ANGLE DE PHASE : Considérons deux mouvements vibrations dénotés par Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite) Les deux mouvements vibrations sont dit synchrones parce qu'ils ont la même fréquence ou vitesse angulaire w. Ces deux mouvements sont représentés dans la figure (1.21). Dans cette figure le second vecteur op2 est en avance sur le premier vecteur op1 par un angle F qu'on appelle l'angle de phase. Cela veut dire que le maximum du second vecteur sera atteint F radius plus tôt que celui du premier vecteur. Les deux vecteurs ont une différence de phase égale à F. Angle de phase : Les deux mouvements vibratoires Sont dit synchrones car ils ont la même vitesse angulaire . Le second mouvement est en avance sur le premier d’un angle  qu’on appelle l’angle de phase. ANGLE DE PHASE : Considérons deux mouvements vibrations dénotés par Les deux mouvements vibrations sont dit synchrones parce qu'ils ont la même fréquence ou vitesse angulaire . Ces deux mouvements sont représentés dans la figure. Dans cette figure le second vecteur op2 est en avance sur le premier vecteur op1 par un angle  qu'on appelle l'angle de phase. Cela veut dire que le maximum du second vecteur sera atteint  radius plus tôt que celui du premier vecteur. Les deux vecteurs ont une différence de phase égale à . Fig.7 : Différence de phase entre deux vecteurs

Fréquence naturelle : Si après une perturbation initiale, on laisse vibrer un système librement. La fréquence avec laquelle il oscille est appelée la fréquence naturelle du système. Un système ayant n degrés de liberté a n fréquences naturelles distinctes. FREQUENCE NATURELLE: Si après une perturbation initiale, on laisse un système vibrer librement, la fréquence avec laquelle il oscille est appelée la fréquence naturelle du système. Un système ayant n degré de liberté aura n fréquences naturelles distinctes. Battements : Quand deux mouvements harmoniques avec des fréquences proches l’un de l’autre sont additionnés, le mouvement résultant exhibe un phénomène connu comme des battements. Par exemple si, quantité, l’addition de ces deux mouvements donne Cette équation est montrée dans le graphique. On voit que le mouvement résultant représente une onde en cosinus avec la fréquence +/2 qui est à peu près égale à , et avec une amplitude qui varies de 2Xcost/2. quand l’amplitude atteint un maximum . On appelle ça un battement. La fréquence  à laquelle l’amplitude croît et meurt entre 0 et 2X est appelé la fréquence des battements est souvent observé dans les machines et les structures quand l’amplitude de la force extérieure est proche de la fréquence naturelle du système. Figure 8 : Phénomène des battements

Développement en série de Fourrier
Si x(t) est une fonction de période , sa représentation en série de Fourrier est donnée par : où les coefficients a0, an et bn sont donnés par : On peut aussi écrire : Le mouvement de la plupart des systèmes vibratoires n'est pas harmonique et donc pas simple a analyser. Cependant, dans plusieurs cas, le mouvement est périodique, et peut être représenté par une série de fourrier, comme une somme infinie de fonctions sinus et cosinus. Si x(t) est une fonction de période , sa représentation en série de fourrier est donnée par : où =2/t est la fréquence fondamentale, et a0, a1, a2, . . ., b0, b1, b2, . . sont des coefficients constants. Pour déterminer les coefficients an et bn, on multiplie l'équation ci-dessus par cos n t et sin nt, respectivement, et on intègre sur une période =2p/. On trouve que tous les termes du membre de droite sauf un seul s'annulent, et on obtient Les séries de Fourrier peuvent aussi être représentées par une somme de termes seulement en cosinus ou seulement en sinus, par exemple, avec des termes en cosinus, nous avons :

Développement en série de Fourrier
Fig. 9 : Une fonction périodique L’interprétation physique est que n’importe quelle fonction périodique peut être représentée par une somme de fonctions harmoniques. Bien que nous ayons une somme infinie de termes, on peut approximer la plupart des fonctions périodiques par seulement quelques fonctions harmoniques. Par exemple, l’onde triangulaire de la figure peut être représentée convenablement en additionnant seulement trois fonctions harmoniques comme le montre la figure d’à côté. Dans certains cas cependant, quand une fonction périodique est représentée par une série de fourrier, un comportement anormal peut être observé près de points de discontinuité. Par exemple, l’onde triangulaire montrée dans la troisième figure, on voit que l’approximation s’améliore de partout, sauf au point P. La déviation reste à peut près 9% de la valeur réelle même quand le nombre de termes est infini. Ce comportement est connu sous le nom de phénomène de Gibbs d’après son inventeur. Fig. 9 : Le phénomène de Gibbs

Série de Fourriers Complexes
Les séries de Fourier peuvent être représentées en termes de nombres complexes, on note que Où les cosinus et sinus peuvent être exprimés par L’équation du développement en série de Fourier prend la forme On défini les coefficients de Fourier complexes Cn et C-n par Ce qui nous donne pou x(t) et les coefficient Cn :

Fig.11 Spectre de fréquence d’une fonction périodique typique
Les fonctions harmoniques ancosnt et bnsint sont appelées des harmoniques d’ordre n de la fonction x(t). L’harmonique d’ordre n a une période /n. Ces harmoniques peuvent être illustrées comme des lignes verticales sur un diagramme d’amplitude (an et bn ou dn et n) en fonction de la fréquence n, appelé le spectre de fréquence ou le diagramme spectral. La première figure montre un spectre de fréquence typique. On peut donc représenter une fonction périodique dans le domaine temporel où dans le domaine des fréquences. Par exemple, la fonction x(t)=sin(t) dans le domaine temporel que nous voyons dans la deuxième figure peut être représenter par l’amplitude et la fréquence  dans le domaine des fréquences. De la même manière, on peut utiliser les amplitudes an et bn et représenter dans le domaine des fréquences la fonction triangulaire de la dernière figure Fig.12 Représentation d’une fonction dans les domaines temporels et de fréquence

Fonctions paires et fonctions impaires
Fonction paire Fonction impaire Une fonction paire satisfaite la relation x(-t)=x(t) dans ce cas, le développement en série de Fourier de x(t) contient seulement des termes en cosinus : où a0 et an vous ont déjà été donnés. Une fonction impaire satisfait la relation : x(t)=-x(t). Dans ce cas, le développement en séries de Fourier contient uniquement des termes en sinus Dans certains cas, une fonction peut être considérée comme paire ou impaire dépendant de la location de l’axe des ordonnées. Par exemple, une translation de l’axe vertical de (a) vers (b) ou (c) de la figure rendra la fonction impaire ou paire. Ce qui veut dire que nous devons seulement calculer les coefficients bn et an. De la même manière, un changement de l’axe temporel de (d) à (e) revient à additionner une constante égal à la quantité du changement (shift). Fig.13 : Fonction paire et fonction impaire

Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)
Trouver les développements en série de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii). Trouver aussi leur développement en série de Fourier quand l’axe temporel est déplacé vers le bas d’une distance A. Montrer qu’il existe une relation directe entre les développements en séries de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii) Pour illustrer les développements en séries de Fourier de fonctions paires et impaires, on suppose la fonction de la figure qui a la particularité d’être rendue impaire ou paire juste par un déplacement de l’axe x(t). Si on déplace le point b, on aura une fonction impaire. Si on le déplace sur le point (c), on aura une fonction paire. On nous demande de trouver les développements en séries de Fourier des fonctions paires et impaires, on nous demande aussi de trouver le développement, on nous demande aussi de trouver le développement en séries de Fourier quand on déplace l’axe temporel d’une distance A vers le bas. Et troisièmement, on nous demande de trouver une relation directe entre les développements en séries de Fourier des fonctions paires et impaires.

Fonction impaire donc

Fonction paire donc bn=0

3) Relation en la fonction paire et la fonction impaire

Extension de demi-fonction
Dans certaines applications pratiques, la fonction x(t) est définie seulement dans un intervalle de 0 à , comme le montre la figure. Dans ce cas, nous n’avons pas de périodicité. Cependant, on peut faire une extension de la fonction en incluant l’intervalle de - à 0 pour en faire, comme on veut, une fonction paire ou une fonction impaire. On peut après cela développer la fonction en séries de Fourier. On appelle ça une extension de demi-fonction. Ceci est très utile pour résoudre les équations différentielles des vibrations dans le cas d’une force extérieure qui est un choc ou une impulsion.

Calcul numérique des coefficients
Dans certaines applications pratiques, comme sans le cas de la détermination expérimentale des vibrations, la fonction x(t) est inconnue, et on ne la connait qu’aux points t1, t2, …., tn. Dans ce cas, les coefficients an et bn peuvent être évalués en utilisant une procédure d’intégration numérique comme la règle trapézoïdale ou la règle de Simpson. Supposons que t1, t2, …., tn sont un nombre paire de points équidistants sur la période (N pair), avec les valeurs correspondantes de x(t) données par x1=x0(t), x2=x(t2),…xN=x(tN), l’application de la règle trapézoïdale donne les coefficients an et bn, (en notant que =Nt): Fig.17 : Valeurs de la fonction périodique x(t) aux points t1,t2,…..tN

Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction
Enoncé : trouver le développement en série de Fourier de la valve du système arbre à came de la figure. On notera que La fonction x(t) peut être représentée pendant le premier cycle par : où la période est donnée par =2/ pour calculer les coefficients du développement de Fourier an et bn, nous utilisons les équations du cours. Fig 18 : Système d’arbre à came

Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction (suite)

Tableau 1 : Mesure des fluctuations de pression dans un pipe
Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier Les fluctuations de la pression de l’eau dans une pipe mesurées à 0,01secondes d’intervalles sont données par le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les trois premières harmoniques du développement en séries de Fourier. i Temps (s), ti Pression (kN/m²), Pi 1 0,01 20 2 0,02 34 3 0,03 42 4 0,04 49 5 0,05 53 6 0,06 70 7 0,07 60 8 0,08 36 9 0,09 22 10 0,10 16 11 0,11 12 0,12 Tableau 1 : Mesure des fluctuations de pression dans un pipe Ici nous avons à traiter un problème om nous n’avons pas de fonction, mais des mesures prises à différents moments. Ce problème concerne les fluctuations de la pression de l’eau dans un pipe. Celles-ci sont mesurées à 0,01 secondes d’intervalle. Elles sont données dans le tableau. On nous dit que ces fluctuations sont de nature répétitives. On nous demande de faire une analyse harmonique du problème et de déterminer les trois premières harmoniques du développement en séries de Fourier.

Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier (suite)
Puisque les fluctuations de pression qu’on nous donne se répètent toutes les 0,12 secondes, on a Le nombre de valeurs observées est 12, on a : Les coefficients an et bn sont déterminées par les équations du cours: Les calculs ont été réunis dans un tableau, nous obtenons pour p(t) :

Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier (suite)
ti pi 0,01 20000 17320 10000 0,02 34000 17000 29444 -17000 -34000 0,03 42000 -42000 0,04 49000 -24500 42434 -42434 0,05 53000 -45898 26500 0,06 70000 -70000 0,07 60000 -51960 -30000 30000 51960 -60000 0,08 36000 -18000 -31176 31176 0,09 22000 -22000 0,10 16000 8000 -13856 -8000 -16000 0,11 7000 6062 -3500 3500 -6062 -7000 0,12 409000 49846 8500 21650 -35000 -14000 68166,7 -26996,0 8307,7 1416,7 3608,3 -5833,3 -2333,3 Le tableau nous montre que les calculs sont fastidieux. Heureusement qu’il y a les ordinateurs. Cette exemple va de nouveau être traité en utilisant Mathlab.

Introduction à MathLab

Introduction à MathLab (2)

Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier
Donnez le graphe de la fonction et ses représentations en séries de Fourier avec quatre termes :

Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier (suite)

Exemple 5 : Représentation des battements
Une masse est soumise à deux mouvements harmoniques donnés par x1(t) = X cos t et x1(t)=Xcos(+)t avec X=1cm, =20rad et =1rad/sec. Faire un graphe du mouvement résultant en utilisant Mathlab identifier la fréquence des battements.

Exemple 5 : Représentation des battements (suite)
Solution : Le mouvement résultant de la masse x(t) est donnée par : Le mouvement résulte en des battements avec la fréquence : b=(+)-==1rad/s

Exemple 5 : Représentation des battements (suite)

Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab
Les fluctuations de la pression de l’eau dans un pipe (tuyau), mesurées à 0,01 secondes d’intervalle sont données dans le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les cinq premières harmoniques de l’expansion en séries de Fourier.

Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite)
Temps (s), ti Pression (kN/m²), Pi 1 0,01 20 2 0,02 34 3 0,03 42 4 0,04 49 5 0,05 53 6 0,06 70 7 0,07 60 8 0,08 36 9 0,09 22 10 0,10 16 11 0,11 12 0,12

Pour trouver les cinq premières harmoniques des fluctuations de pression données dans le tableau (a0, a1,…,a5, b1, b2,…., b5), un programme MathLab a été développé en utilisant les équations vu en cours :

Le programme a utilisé en général pour les analyses en séries de Fourier a besoin des données suivants : N=nombre des points équidistants où les valeurs de x(t) sont connus M= nombre de coefficients de Fourier à calculer Time = période de la fonction x(t) X= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues de x(i)=x(ti) T= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues Le programme génère les résultats suivants : a zéro =a0, i, a(i), b(i); i=1, 2, …,m où a0, a(i) et bi sont les valeurs calculées de a0, ai et bi données par les équations du cours.

Conclusion Dans cette quatrième leçon intitulée « les oscillations harmoniques », cours de vibrations et ondes mécaniques, nous avons défini ce qu’est un mouvement harmoniques, et l’avons représentée sous sa forme vectorielle, et sa forme complexe. Nous avons aussi appris à développer en séries de Fourier toute sorte de fonctions périodiques. Un mouvement périodiques que l’on peut certainement décomposer en série de Fourier. La force extérieure appliquée au mouvement peut aussi être développée en séries de Fourier, ce qui nous permet dans certains cas de résoudre l’équation différentielle du mouvement. Nous avons aussi dans cette leçon à calculer numériquement les coefficients de Fourier et avons été introduit à l’utilisation de Mathlab pour résoudre des problèmes pratiques sur les séries de Fourier. Cette leçon sur les oscillations harmoniques clos le premier chapitre de ce cours qui donne des généralités sur les vibrations. Ce premier chapitre nous a fourni toutes les bases nécessaires pour aborder les mouvements à un degré de liberté qui font l’objet du deuxième chapitre de ce cours.

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