Simplification de fractions rationnelles

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1 Simplification de fractions rationnelles
Remarque : Tu devrais visionner toutes les présentations sur la factorisation avant de visionner celle-ci.

2 x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 x + 2 x + 7 x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 x + 2
Simplifier une fraction rationnelle, c’est la rendre irréductible. Il faut donc simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Exemple : x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 (x + 4) (x + 2) (x + 4) (x + 7) si x ≠ - 7 et - 4 Dans cette fraction, on retrouve un même facteur au numérateur et au dénominateur soit (x + 4). (x + 2) (x + 7) ( x + 4 ) X 1 x + 2 x + 7 On peut donc les simplifier : = x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 x + 2 x + 7 = si x ≠ - 7 et - 4

3 Pour simplifier une fraction rationnelle :
- on factorise les polynômes composant la fraction; - on détermine les restrictions; - on simplifie les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 (x + 4) (x + 2) (x + 4) (x + 7) x ≠ - 7 et - 4 1 (x + 2) (x + 7) ( x + 4 ) X = x + 2 x + 7 x ≠ - 7 Remarque : On doit déterminer les restrictions immédiatement après la factorisation, car si on attend après la simplification, certains facteurs auront disparu et leur restriction aussi.

4 x2 + 10x + 25 x2 - 25 x + 5 x - 5 x2 + 5x + 6 x2 + 4x + 4 x + 3 x + 2
Simplifie les fractions rationnelles suivantes : x2 + 10x + 25 x2 - 25 (x + 5) ( x + 5 ) 1 x + 5 x - 5 = (x - 5) ( x + 5 ) si x ≠ - 5 et 5 x2 + 5x + 6 x2 + 4x + 4 (x + 3) ( x + 2 ) 1 x + 3 x + 2 = (x + 2) ( x + 2 ) si x ≠ - 2 x2 + 7x + 10 x2 + 8x + 12 ( x + 2 ) (x + 5) 1 x + 5 x + 6 = ( x + 2 ) (x + 6) si x ≠ - 2 et - 6

5 x2 + 7x + 10 x2 + 8x + 12 x + 5 x + 6 x + 5 x + 6 x + 5 x + 6 x + 5 x
Attention x2 + 7x + 10 x2 + 8x + 12 (x + 2) (x + 5) (x + 6) x + 5 x + 6 = X Ici, (x + 2) est un facteur, car il est associé aux autres binômes par multiplication. On peut donc les simplifier. x + 5 x + 6 + x + 5 x + 6 = Ici, on ne peut pas simplifier les x, car ils sont les termes de deux binômes différents. Ils sont unis au nombre par addition. est un terme du binôme; il est uni au nombre par addition. x + 5 x est un facteur. Ici, on ne peut pas simplifier les x.

6 x + 5 x + 6 x Vérifions numériquement Pour x = 2 Pour x = 2 Pour x = 2
(2 + 5) (2 + 2) (2 + 6) (2 + 2) = 2 + 5 2 + 6 (2 + 5) (2 + 6) = 2 + 5 2 + 6 2 (2 + 5) = (2 + 5) (2 + 6) = 7 8 2 (2 + 5) = 7 X 4 X 4 = 7 8 5 ≠ 7 2 5 6 ≠ 7 8 = 7 8 Avant de simplifier, il faut s’assurer que les expressions soient des facteurs.

7 2x2 + 4x x + 2 2x2 - 2 2 (x2 - 1) 2 (x – 1) (x + 1) x2 + 6x + 9 x + 3
Simplifie les fractions rationnelles suivantes : 2x2 + 4x 2x 2x (x + 2) = x + 2 = si x ≠ 0 2x2 - 2 4x - 4 2 (x2 - 1) 4 (x – 1) 2 (x – 1) (x + 1) 2 X 2 (x – 1) x + 1 2 = = = si x ≠ 1 x2 + 6x + 9 x + 3 (x + 3) = = x + 3 si x ≠ - 3 x + 9 x2 + 9 ne se factorise pas et ne se simplifie pas.

8 x4 - 9 x2 + 3 (x2 – 3) (x2 + 3) x2 x2 – xy x2 x (x – y) x x – y
Simplifie les fractions rationnelles suivantes. 4x2 + 12x + 9 4x2 - 9 (2x + 3) (2x - 3) (2x + 3) (2x - 3) = = x ≠ 3 2 - et si x x2 + 3 (x2 – 3) (x2 + 3) (x2 + 3) x2 - 3 = = Ici, les restrictions sont inutiles, car peu importe les valeurs données à x, le binôme ne sera jamais égale à 0. x2 x2 – xy = x2 x (x – y) = x x – y si x ≠ 0 et x ≠ y x ≠ 0 et x – y ≠ 0, donc x ≠ y

9 La simplification est souvent le point de départ lorsqu’on additionne, soustrait, multiplie ou divise des fractions rationnelles.