1 SYSTEMES D’EQUATIONS Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX Type d ’activité : leçon illustrée.

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2 1 SYSTEMES D’EQUATIONS Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX Type d ’activité : leçon illustrée

3 2 Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une ou plusieurs questions : A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Touches retour page Sommaire précédente

4 3 Sommaire Enoncé d ’un exercice Traduction du problème Méthode de résolution par substitution Méthode de résolution par combinaisons linéaires Méthode de résolution graphique

5 4 Position du problème : certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues. Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le système. Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

6 5 Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. Exemple de rédaction : J ’appelle x le nombre d ’adultes qui ont et y le nombre d ’enfants qui ont assisté au spectacle. Je traduis l ’énoncé : 550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550 Les enfants paient demi tarif : donc 8€ par enfant, l ’ensemble des y enfants a payé 8y € l ’ensemble des x adultes a payé 16x € 16x + 8y = 6960€

7 6 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 Ces équations traduisent ce problème, pour indiquer qu’elles forment un système on place une accolade. Il existe trois méthodes de résolution : - par substitution,par substitution, - par combinaison linéairespar combinaison linéaires - en utilisant un graphique.en utilisant un graphique

8 7 Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle. x + y =550 16x + 8y = 6960 Méthode par substitution principe : on exprime l ’une des inconnues en fonction de l’autre. x = 550 - y Puis on remplace l ’inconnue ainsi exprimée dans l ’autre équation. 16x + 8y = 6960 16(550 - y) + 8y = 6960 D ’où y = 230 x = 550 -230 =320 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. Finalement

9 8 x + y =550 16x + 8y = 6960 x = 550 - y 2x + y = 870 2(550 - y) + y = 870 D ’où y = 230 Astuce de calcul... On divise tous les termes de cette équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 x = 550 -230 =320 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. x + y =550 2x + y = 870 Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

10 9 x + y =550 16x + 8y = 6960 Méthode par combinaisons linéaires principe : on construit deux combinaisons linéaires qui permettent d ’éliminer alternativement chaque inconnue. Il est conseillé de regrouper tous les termes de chaque équation dans un seul membre. x + y -550 = 0 16x + 8y - 6960 = 0 Pour éliminer x je calcule 16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0 ( 16 x 0 - 0 = 0 ) 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

11 10 Pour éliminer x je calcule 16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0 x + y =550 16x + 8y = 6960 Pour éliminer y je calcule 8( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0 16x + 16 y - 8800 - 16x - 8y + 6960 = 0 8y - 1840 = 0 y = 1840 / 8 y = 230 8x + 8 y - 4400 - 16x - 8y + 6960 = 0 -8x + 2560 = 0 x = -2560 / (-8) x = 320 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

12 11 Pour éliminer x je calcule 2( x + y - 550) - (2 x + y -870) = 0 x + y =550 2x + y = 870 Pour éliminer y je calcule ( x + y - 550) - (2 x + y - 870) = 0 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. Astuce de calcul... On divise tous les termes de la deuxième équation par 8. Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870 x + y =550 16x + 8y = 6960 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

13 12 x + y =550 16x + 8y = 6960 16 x + 8y =6960 est une équation dont on peut diviser tous les termes par 8 ! Elle s ’écrit alors2x + y = 870 ou encore y = 870 - 2x Par ailleurs x + y = 550 peut s’écrire y = 550 - x Nous allons donc rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations : y = 870 - 2x et y = 550 - x Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

14 13 Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations y = 870 - 2x et y = 550 - x Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir ! Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ? Dans cet exercice x et y désignent un nombre d ’entrées. Ce sont donc des nombres positifs et les axes seront disposés en bas à gauche d ’une feuille de papier ( millimétré de préférence. ) Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550. Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435. ( 870 / 2 = 435 )

15 14 Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 25 entrées. y = 870 - 2x et y = 550 - x sont les équations de deux droites Conseils : aucune méthode n ’est imposée, MAIS à titre de révision vous pouvez tracer la première droite à l ’aide de la méthode des trois points. Et la seconde en utilisant la méthode de la pente et de l ’ordonnée à l ’origine.

16 15 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 650 600 550 500 450 350 300 250 200 150 100 50 400 La droite d ’équation y = 550 - x a pour pente -1 et pour ordonnée à l ’origine 550 donc y nombre d ’entrées enfant x nombre d ’entrées adulte La droite d ’équation y = 870 - 2x passe par les points : si x =200 alors y =470 Si le graphique est bien fait on retrouve : 320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle. si x =300 alors y =270 si x =100 alors y =670 donc