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TP10: Fonctions de deux variables
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Rappels Gradient Matrice hessienne
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Rappels Calcul des minima, maxima et points de selle
Annulation du gradient Détermination des coordonnées Calcul de la matrice hessienne en ces coordonnées maximum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x < 0, minimum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x > 0. Point de selle si dét< 0
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Exercices du syllabus 107. 1) 2) 5)
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Exercices du syllabus 108 111 f(x,y)=xlny+ylnx 1) 2)
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Exercices du syllabus 116 Volume = 64m³: dimension pour aire totale minimum?
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Exercices du syllabus 118. 1)
Droite parallèle Oy, à 3cm de O et tournant autour de Oy = cylindre Intersection avec un plan parallèle à xOz = cercle C Intersection avec un plan passant par Oy = deux droites parallèles M et N z y x
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Exercices du syllabus Plan parallèle à xOy, passant par p
Deux droites parallèles Q et R Plan par Ox et la première bissectrice du plan yOz Une ellipse Plan perpendiculaire à D et passant par p
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Exercices du syllabus 123 Hyperboloide à 1nappe Plan //Oxy:
Cercle Plan // xOz: hyperbole
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Exercices du syllabus 124 tore Si a=origine O?
Plan // xOy pas b(0,0,1) 2 cercles concentriques c1 etc2 Plan // xOz par a(0,3,0) Courbe en forme de 8 Si a=origine O? Réduit à 1 point
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Questions supplémentaires
1 Calculer les limites
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Questions supplémentaires
n’existe pas car différent selon la direction qu’on prend f continue en (1,1)? Non car la limite n’existe pas
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Questions supplémentaires
2. Représenter dans l’espace R3 les domaines suivants Intérieur du cercle de rayon 1centré en (1,2) Intérieur d’un triangle
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Questions supplémentaires
intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon 2, dont on ne prend que la « tranche » dont les y sont compris entre 0 et 1
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Questions supplémentaires
3. Représenter dans l’espace R3 les surfaces d’équation (cf cours) a) z² = x² + y² cone b) x = 3 plan c) z = x² + y² Paraboloïde elliptique d) x² + y² + z² = 1 sphère e) x² + y² = 1. cylindre
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Questions supplémentaires
4.Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes a) xy + y²
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Questions supplémentaires
e) xy
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Questions supplémentaires
5.dérivée de f au point p=(1,2) dans la direction
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Questions supplémentaires
6.Calculer les maxima et minima locaux ainsi que les points de selle des fonctions suivantes a) x²y + y² - 4xy - 6y + 7
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Questions supplémentaires
Annulation du gradient Coordonnées (2,5) Matrice hessienne Déterminant=20 >0et dérivées secondes positives minimum
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Questions supplémentaires
Matrice hessienne Déterminant <0 point de selle matrice hessienne Déterminant<0 point de selle
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Questions supplémentaires
c) x²-y²-2xy +2
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Questions supplémentaires
Annulation du gradient Coordonnées (0,0) Matrice hessienne Déterminant=0 pas de min, max, point de selle
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C. Test 1.B 2. 750 personnes pour 5 isoloirs
Diagonales, puis un des deux est coupé en 2 aire du grand = 4*4/2=8 personnes pour 5 isoloirs 150 personnes pour 1 isoloir 150 personnes pour 5h = 5*60*60s=18.000s 1 personne pour 18000/150= 120s
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C. Test 3.D 4. 𝑥+ 1 𝑥 ³=𝑥³+3𝑥² 1 𝑥 +3𝑥 1 𝑥² + 1 𝑥³
4. 𝑥+ 1 𝑥 ³=𝑥³+3𝑥² 1 𝑥 +3𝑥 1 𝑥² + 1 𝑥³ = 𝑥 𝑥 𝑥+ 1 𝑥 𝑥 𝑥 3 = 2014³-3*2014 Dernier chiffre = 4³-3*4 = 64-122
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C. Test 5. 𝑢 + 𝑣 =1 ↔ 𝑢 + 𝑣 ²=1 ↔( 𝑢 + 𝑣 )( 𝑢 + 𝑣 )=1
5. 𝑢 + 𝑣 =1 ↔ 𝑢 + 𝑣 ²=1 ↔( 𝑢 + 𝑣 )( 𝑢 + 𝑣 )=1 ↔ 𝑢 𝑢 +2 𝑢 𝑣 + 𝑣 𝑣 =1 ↔ 𝑢 +2 𝑢 𝑣 + 𝑣 =1 ↔1+2 𝑢 𝑣 +1=1 ↔ 𝑢 𝑣 =−0,5
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