ACT2025 - Cours 7 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Septième cours.

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1 ACT2025 - Cours 7 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Septième cours

2 ACT2025 - Cours 7 Rappel: Méthode de bissection

3 ACT2025 - Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 »

4 ACT2025 - Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » Annuités simples

5 ACT2025 - Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » Annuités simples Période de paiement

6 ACT2025 - Cours 7 Rappel: Méthode de bissection Convention pour le calcul du temps: Méthode « actuel/actuel », Méthode « 30/360 », Méthode « actuel/360 » Annuités simples Période de paiement Annuité simple constante de fin de période (« annuities- immediate »)

7 ACT2025 - Cours 7 Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Rappel:

8 ACT2025 - Cours 7 Nous avons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. La valeur actuelle de cette annuité (c’est-à-dire au début de la première période) est notée Rappel:

9 ACT2025 - Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel:

10 ACT2025 - Cours 7 Rappel: Nous avons montré que où  = (1 + i) -1

11 ACT2025 - Cours 7 Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. Exemple 1:

12 ACT2025 - Cours 7 Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? Exemple 1:

13 ACT2025 - Cours 7 Yorick a hérité de 80000$ qu’il a placé au taux nominal d’intérêt i (2) = 6% par année capitalisé semestriellement (c’est-à-dire à tous les six mois). Il retirera R dollars à la fin de chaque semestre en débutant avec le premier semestre et il fera ces retraits pendant 15 ans. À la fin de ces 15 ans, il aura complètement utilisé son capital. (a) Quel sera le montant semestriel R retiré? (b) Quel sera le montant d’intérêt gagné dans ce placement? Exemple 1:

14 ACT2025 - Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est où le retrait semestriel est noté par R Exemple 1: (suite)

15 ACT2025 - Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Exemple 1: (suite)

16 ACT2025 - Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en semestres. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Le taux d’intérêt par semestre est Exemple 1: (suite)

17 ACT2025 - Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est Exemple 1: (suite)

18 ACT2025 - Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est Exemple 1: (suite) c’est-à-dire

19 ACT2025 - Cours 7 Le montant d’intérêt gagné par Yorick est 30R - 80 000 = 30(4081.54) - 80 000 = 42 446.20$ Exemple 1: (suite)

20 ACT2025 - Cours 7 Interprétation de la formule: ou plutôt

21 ACT2025 - Cours 7 Ceci correspond à l’équation de valeur à t = 0 de 1 dollar investi pour n périodes de capitalisation pendant lesquelles ce 1 dollar rapporte de i dollars d’intérêt à la fin de chaque période et qu’à la fin de la n e période 1 dollar est remboursé. Interprétation (suite):

22 ACT2025 - Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant: Interprétation (suite):

23 ACT2025 - Cours 7 Revenons à notre annuité, à savoir celle pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.

24 ACT2025 - Cours 7 La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la n e période (c’est-à-dire au temps t = n) est notée Notation:

25 ACT2025 - Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

26 ACT2025 - Cours 7 Alors

27 ACT2025 - Cours 7 Alors En utilisant la formule connue:

28 ACT2025 - Cours 7 Alors En utilisant la formule connue: nous obtenons

29 ACT2025 - Cours 7 Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i (12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. Exemple 2:

30 ACT2025 - Cours 7 Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i (12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? Exemple 2:

31 ACT2025 - Cours 7 Alex veut accumuler un capital de 20000$ en faisant des versements mensuels de R dollars pour obtenir ce 20000$ après 5 ans. Le taux d’intérêt est le taux nominal i (12) = 4% par année capitalisé mensuellement. Les versements sont faits à la fin de chaque mois. (a) Quel sera le montant mensuel R déposé? (b) Quel sera le montant total d’intérêt gagné dans ce placement? Exemple 2:

32 ACT2025 - Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est où le dépôt mensuel est noté par R Exemple 2: (suite)

33 ACT2025 - Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. Exemple 2: (suite)

34 ACT2025 - Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en mois. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 5 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 60 périodes de paiement. Exemple 2: (suite) Le taux d’intérêt par mois est

35 ACT2025 - Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est Exemple 2: (suite)

36 ACT2025 - Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 60 mois est Exemple 2: (suite) c’est-à-dire

37 ACT2025 - Cours 7 Le montant total d’intérêt gagné par Alex est 20 000 - 60 R = 20 000 - 60(301.66) = 1900.40 $ Exemple 2: (suite)

38 ACT2025 - Cours 7 Bobby a déposé à la fin de chaque trimestre 1000$ dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt i (4) = 6% par année capitalisé à tous les trois mois. Quel sera le montant accumulé dans ce compte après 7 ans? Exemple 3:

39 ACT2025 - Cours 7 Le diagramme d’entrées et sorties est où X est le montant accumulé à la fin de la 7 e année Exemple 3: (suite)

40 ACT2025 - Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. Exemple 3: (suite)

41 ACT2025 - Cours 7 Dans le diagramme, le temps est mesuré en trimestre. Ceci est la période de paiement de l’annuité. Les 7 années pendant lesquelles il y a des dépôts correspondent à 28 périodes de paiement. Exemple 3: (suite) Le taux d’intérêt par trimestre est

42 ACT2025 - Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est Exemple 3: (suite)

43 ACT2025 - Cours 7 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 28 trimestres est Exemple 3: (suite) c’est-à-dire

44 ACT2025 - Cours 7 Nous allons maintenant relier les valeurs actuelles et accumulées d’une même annuité.

45 ACT2025 - Cours 7 Formule 1:

46 ACT2025 - Cours 7 Formule 1: Formule 2:

47 ACT2025 - Cours 7 Formule 1: Cette dernière formule a une interprétation avec les concepts d’amortissement et de fonds d’amortissement. Formule 2:

48 ACT2025 - Cours 7 Considérons maintenant une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits au début de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes. Nous dirons que c’est une annuité simple constante de début de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities-due ». Définition:

49 ACT2025 - Cours 7 La valeur actuelle de cette annuité au début de la première période (c’est-à-dire au temps t = 0 ou encore au moment du premier paiement) est notée Notation:

50 ACT2025 - Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Notation: (suite)

51 ACT2025 - Cours 7 Alors

52 ACT2025 - Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante:

53 ACT2025 - Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante: nous obtenons

54 ACT2025 - Cours 7 Revenons à notre annuité, à savoir celle pour laquelle des paiements de 1dollar sont faits au début de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de l’intérêt) pendant n périodes.

55 ACT2025 - Cours 7 La valeur accumulée de cette annuité à la fin de la n e période (c’est-à-dire au temps t = n) est notée Notation:

56 ACT2025 - Cours 7 Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: Notation: (suite)

57 ACT2025 - Cours 7 Alors

58 ACT2025 - Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante:

59 ACT2025 - Cours 7 Alors En utilisant la formule connue suivante: nous obtenons

60 ACT2025 - Cours 7 Nous pouvons maintenant résumer ces différentes valeurs. Le diagramme suivant indique chacune de ces valeurs relativement au flux financier

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