Morphologie mathématique (cas fonctionnel)

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1 Morphologie mathématique (cas fonctionnel)
Erosion, dilatation, ouverture et fermeture fonctionnelles, Filtres alternés séquentiels, Ligne de partage des eaux.

2 Définition: 1 treillis est 1 ensemble ordonné (E,) tel que toute partie de E admette 1 borne supérieure et 1 borne inférieure  : réflexive (xE, xx), antisymétrique ((x,y)E2, xy et yx  x=y), transitive ((x,y,z)E3, xy et yz  xz ) plus petit des majorants plus grand des minorants Exemples de treillis: ensembliste des fonctions éléments parties de S f: S→R, ou f: S→Z relation d’ordre inclusion fg  x, f(x)g(x) borne supérieure union {fi}  x, ({fi})(x)= {fi(x)} borne inférieure intersection {fi}  x, ({fi})(x)= {fi(x)} involution complémentaire -f(x) (ou N-f(x) si f: S→[0,N]) opération qui est son propre inverse

3 Opérateurs de MM : fondements mathématiques
principes fondamentaux Compatibilité avec les translations Compatibilité avec les homothéties Localité propriétés Croissance Extensivité / anti-extensivité Idempotence Dualité Indépendance par rapport à l’origine de l’espace: t, y(f+t)=y(f)+t Indépendance par rapport au paramètre d’échelle: l, y(lf)=ly(f)  E’ borné,  E borné / y(f)E’=y(fE)E’  f,g fg  y(f) y(g) Extensivité:  f, f y(f) y(y(.))=y(.) y et f duales :

4 Dilatation / érosion de fonctions
Cas général (1D) g élément structurant Exemples : g([-2,-1,0,1,2])=[90,40,0,40,90] g([-2,-1,0,1,2])=[-40,-20,0,30,60]

5 Dilatation / érosion de fonctions
Cas particulier g(x)=0 xRnD Exemple : Lien avec la MM binaire : rq : cas général : à partir des sous-graphes de f et de g Test d’ non    ysupport de g en x / f(y)=1  supsupport g en x{f}=1 Test d’   ysupport de g en x / f(y)=0  infsupport g en x{f}=1 -SG(f)={(x,y), y≥f(x)} complémentaire

6 Dilatation / érosion numériques : propriétés
Identiques au cas binaire en remplaçant  par ,  par  et  par . Croissance par rapport à f (Anti-)Extensivité si 0support de g (Dé)Croissance / à g Adjonction Commutations

7 Dilatation / érosion de fct : exemples
g / g(x)=0 xsupport de g dg(X) dg(dg(f)) eg(X) eg(eg(f)) dg(f) dg(dg(f)) eg(f) eg(eg(f))

8 Rehaussement de contraste
g=boule 33, a = b = 0.45 g=boule 55, a = b = 0.45 g=boule 77, a = b = 0.45 g=boule 33, a = b = 0.5 g=boule 55, a = b = 0.5 g=boule 77, a = b = 0.5

9 Gradient et laplacien morphologiques
Opérateurs différence d’opérateurs Gradient intérieur, grad. extérieur Gradient morphologique Laplacien morphologique Converg. vers gradient et laplacien euclidiens si élt struct = boule de rayon  0 g1(f) Dg1(f) g1 X g2(f) Dg2(f) g2

10 Ouverture / fermeture numériques
Cas d’un élément structurant plan : Ouverture / fermeture = filtres morphologiques : comble ‘vallées’ écrête ‘pics’ g par boule 33 g par boule 55 g par boule 77

11 Ouverture / fermeture : propriétés
Idempotence et analogue pour ouverture (démonstration similaire au cas binaire) Min-max : L’ouverture de f est le plus petit f’ de même érodé que f La fermeture de f est le plus grand f’ de même dilaté que f

12 Top hat / Top hat conjugué
Opérateurs par différence : Top hat f-gg(f) - = Top hat conjugué jg(f)-f

13 Filtres alternés séquentiels : définition
Filtre morphologique  Ouverture / fermeture sont des filtres morphologiques (gl)l≥0 une ‘granulométrie’ et (jl)l≥0 l’anti-granulométrie associée Filtres alternés : Propriétés : croissance, idempotence absorption

14 FAS Fl : propriétés Croissance : trivial car g et f sont croissantes
Idempotence Absorption

15 FAS Gl : propriétés Croissance : trivial car g et f sont croissantes
Idempotence Absorption

16 FAS : exemples F1 G1 F1,2 G1,2 F1,2,3 G1,2,3 Bruit gaussien s=20
Bruit impulsion 10%

17 Bruit gaussien s=20 + bruit impuls 5%
FAS : exemples 2 Bruit gaussien s=20 F1,2 G1,2 Filtre gaussien s=3 Filtre médian 77 Bruit impulsion 10% Bruit gaussien s=20 + bruit impuls 5%

18 Dilatation / Erosion géodésiques numériques
Dilatation : le sous-graphe de d/gl(f) est formé des points du sous- graphe de g reliés au sous-graphe de f par un chemin (i) non ‘descendant’, et (ii) de longueur  l. es unitaire  d/g (f)=inf(f+es, g) et d/gn(f) = d/g… d/g (f) Erosion : par dualité e/g (f)=N-d/g (N-f) n fois g f g f Dilatation géodésique de f / g Erosion géodésique de f / g

19 Reconstruction géodésique numérique
r/g(f) = sup. des dilatations géodésiques de f dans g Swamping  la plus grande fonction  g possédant des maxima aux points marqués Reconstruction de g à partir de f g f Reconstruction par marqueurs (swamping) g

20 (a) Field n°7: WorldView1 data
Application de r/g(f) Opérateur sharpness Variante de l’opérateur top-hat (a) (b) (c) Field n°105 (a) (b) (c) Field n°117 (a) Field n°7: WorldView1 data (b) Fg (d) Fb / pF=0.1 (e) Fb / pF=0.5 (c) Fb / pF=0.25

21 Ligne de partage des eaux : définition
Postulat : image = une surface topographique / niveau de gris = altitude 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 Cas ‘facile’ Cas ‘difficile’

22 Ligne de partage des eaux : définition
Ligne de partage des eaux (LPE) par immersion  à partir des minima régionaux mi, faire croître niveau des eaux progressivement de sorte que : (i) A chaque fois que la hauteur de l’eau atteint l’altitude d’un minimum régional, un nouveau bassin versant est créé (ii) A chaque fois que deux bassins se rencontrent, on empêche leur fusion en construisant une “digue”.  LPE = ensemble des digues.

23 LPE par immersion : algorithme
On note B(i) l’image binaire des valeurs f ≤ i Initialisation : W-1= Pour i variant de 0 à imax {mi} = {x : x B(i), x CC{mi-1}} = W(i) = IZB(i)(W(i-1))  {mi} LPE = Les mj sont les nouveaux minima apparus à l’itération i Zones d’influence géodésiques des bassins versants obtenus à l’it. précédente dans l’image bin. courante des valeurs  i

24 LPE par immersion : algorithme (suite)
Calcul de IZ géodésique : IZX(b) Initialiser IZX(b) à b Initialiser la liste L à X-b Tant que L non vide et |L| varie : Pour tout pixel de L : calculer s’il peut se rattacher à IZX(b) par épaississement si oui, mettre sa valeur à 1 dans IZX(f) et le retirer de L Ex. d’élément structurant pour l’amincissement Lskel Ebardage

25 LPE : exemple (© Course on Math. Morphology, J. Serra)
Image initiale : 4 niveaux de gris minima pour i=0, B(0)=W(0) ; B(1)-B(0) W(1) : minima apparus à i=1  zones d’influence géodésiques de W(0) dans B(1) W(1) B(2)-W(1) W(2) : zones d’influence géod. de W(1) dans B(2) Ligne de partage des eaux superposée à l’image initiale

26 LPE : ex ‘Cas difficile’
2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8

27 Application LPE : détection des mottes
Surface S1 Surface S2 Surface S3 Surface S4 LPE sur image fonction de l’inverse des altitudes et de la norme du gradient LPE S1 LPE S2 LPE S3 LPE S4 LPE Hiérarchie de contours Vérité

28 LPE : segmentation d’objets circulaires
Image binaire initiale LPE sur image des distances inverses Image des distances (fausses couleurs) LPE sur image N-distances LPE sur opposé des distances reconstruites Image des distances reconstruite après diminution de 2 (fausses couleurs) sursegmentation  utiliser la reconstruction de l’image des distances diminuée d’une faible valeur sous l’image des distances attention: SKIZ sur image binaire positionne mal les frontières pour objets de taille différente

29 LPE : segment. d’1 image niv. de gris
Utiliser l’image des gradients mais risque de sur-segmentation  Mise à zéro des faibles valeurs Gradient Math. Morphologique Gradient optimal de Canny-Deriche FAS ordre 1 FAS ordre 1 + mise à 0 si val.<15 a=2 + mise à 0 si val.<15 a=1 + mise à 0 si val.<15 LPE

30 LPE sur gradient filtré
Exemple : Gradient morphologique, boule 33 8-connexité Fermeture sur gradient morphologique Reconstruction géodés. du gradient à partir du gradient abaissé de 90 #R = 18 #R = 10 #R = 18

31 LPE sur gradient  utiliser la technique du swamping pour imposer les minima locaux à considérer (et seulement ceux-là) Image égalisée filtrée FAS 33 8-connexité Gradient Morphologique Fermeture Swamping par seuillage sur gradient LPEs correspondante