Thalès dans le triangle

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1 Thalès dans le triangle
(niveau 4ème) R. Dégut Collège Fontaine des Ducs Châtillon sur Seine (21)

2 A I milieu de [AB] J milieu de [AC] I J IJ = BC B C AI = AB ; AJ = AC

3 A M milieu de [AI] (MN) // (BC) M N I J AM = AB ; AN = AC B C MN = BC

4 A M est un point quelconque du côté [AB] ; (MN) // (BC) M N B C Démontrons que :

5 A B C M N A B C M N h MNB et MNC ont la même aire :

6 ANB et AMC ont la même aire
Par conséquent ANB et AMC ont la même aire

7 A B C M N A B C M N K H a0 : aire de AMN a0 =

8 a1 : aire de ANB ; a2 : aire de AMC
K H a1 : aire de ANB ; a2 : aire de AMC a1 = ; a2 =

9 A B C M N A B C M N K H a1 = a2 donc ou

10 A B C M N A B C M N K H =

11 A B C M N Démontrons que :

12 A B C M N S (NR) // (AB) (RS) // (CA) R (RS) // (CA) donc

13 A B C M N BR = MN S MB = NR = AS BS = AB - AS = AB - MB R BS = AM

14 proportionnelles à celles du triangle initial.
En coupant un triangle par une parallèle à l’un de ses côtés, on obtient un deuxième triangle dont les dimensions sont proportionnelles à celles du triangle initial. A B C M N Dans ABC : (MN) // (BC)