Notion d'hydrodynamique Adrien Wanko & Sylvain Payraudeau

Notion d'hydrodynamique Adrien Wanko & Sylvain Payraudeau
Chapitre II : Notion d'hydrodynamique des eaux souterraines 1ère année ( ) Strasbourg – Février 2008 Adrien Wanko & Sylvain Payraudeau

Objectifs de ce cours Utilisation sur le terrain de la loi de Darcy et des solutions de la loi de diffusivité  en première approximation : prédire la distribution de la charge hydraulique sur toute une nappe à partir de points isolés (conditions stationnaires et transitoires) ; prédire les directions de propagation de l’eau (direction d’écoulement) principales analyser des données concernant le pompage dans un aquifère et estimer les réserves et la conductivité hydraulique d’un aquifère. Compétences d’un hydrogéologue.

Plan du chapitre Chapitre II : Notion d'hydrodynamique des eaux souterraines A - Relations échelle - lois et équations B - Loi de Darcy C - Équation de diffusivité générale D - Solutions en régime permanent E - Solutions transitoires (essais de pompage) F - Cartographie de l'aquifère

A - Notion d'échelle en hydrogéologie
KL KT P. Ackerer

Échelle moléculaire Q1 10 -7 Échelle des pores 10 -5 KT Échelle du VER 10 -3 KL Echelle (m) 10 -1 Échelle des structures 10 1 Échelle des modèles 10 3 Échelle des réservoirs P. Ackerer

Échelle moléculaire Physique moléculaire 10 -7 Navier Stokes viscosité, diffusion moléculaire Échelle des pores 10 -5 Loi de Darcy, Loi de Fick Porosité, conductivité hydraulique Échelle du VER 10 -3 Echelle (m) 10 -1 Échelle des structures Loi de Darcy (?), Loi de Fick (?) Paramètres équivalents à l’échelle des mailles 10 1 Échelle des réservoirs Échelle des modèles 10 3 P. Ackerer

Loi de Navier-Stockes : applicable à l'échelle microscopique connaissance parfaite de la géométrie des pores Loi macroscopique : loi empirique (ou expérimentale) de Darcy

Plan B - Loi de Darcy 1- Expérience de Darcy (1856) 2- Équations 3- Généralisation de la loi en 3D 4- Limites de la loi 5- Détermination de la conductivité hydraulique 6- Application de la loi de Darcy sur le terrain

1- Q est proportionnel à la surface A du filtre,
Soit le flux d’eau Q (m3/s) mesuré à travers le filtre à sable ci-contre, hA hB= hA hC h 1- Q est proportionnel à la surface A du filtre, 2- Q est proportionnel à (hA-hC), 3- Q est inversement proportionnel à la longueur L du filtre, 4- La constante de proportionnalité (K) dépend du matériau poreux. Henry Darcy (1803 – 1858), ingénieur des Ponts et Chaussée, était en 1854 chargé de l’alimentation en eau potable de la ville de Dijon. Dans ses recherches pour améliorer la qualité de l’eau distribuée aux fontaines de la ville, il a conçu un dispositif de filtration qui devait permettre de perfectionner les procédés que l’on utilisait à l’époque pour clarifier les eaux de rivière souvent chargées d’impuretés. C’est au cours de ces expérimentations rigoureuses, relatées dans un ouvrage intitulé « Les fontaines publiques de la ville de Dijon » (1856), qu’il émettra la loi qui portera son nom. Le document est encore en consultation à la mairie de cette ville et à la bibliothèque Nationale. Q = ?

i : gradient hydraulique (adim)
Q = K . A . (hA-hC) L hA hB= hA hC h Q : débit sortant (m3s-1) K : conductivité hydraulique (ms-1) A : section (m²) h = (hA-hC) : perte de charge de l’eau entre le sommet et la base du massif sableux (m) L : longueur du massif sableux (m) i = = (hA-hC) L h i : gradient hydraulique (adim)

: gradient hydraulique (adim)
Q = K . A . h L Q = K . A . i soit i = h L : gradient hydraulique (adim) En divisant les deux membres par A, on fait apparaître … Q A VD = = K . i Vitesse du fluide à la sortie du massif sableux (ms-1) q : débit unitaire [L3T-1 L-2] ou [LT-1] vitesse de filtration ou vitesse apparente de Darcy (VD) VD : vitesse fictive d'un flux d'eau en écoulement uniforme à travers un milieu aquifère saturé (égal au débit unitaire) q = Q A = VD Débit unitaire (m3s-1m-2 = m/s)

1- Expérience de Darcy (1856)
En régime permanent hamont haval Niveau de référence Montage de Darcy Débit de l'eau traversant une colonne (L : 3.5 m et ø : 0.35 m)

1- Expérience de Darcy (1856)
Autre configuration h = P/g + z ou h = P/rg + z P : pression à la colonne d’eau [ML-1T-2] Pascal (N.m-2) g : [ML-2T-2] en N.m-3 : masse volumique de l’eau [ML-3] g : constante de pesanteur [LT-2]

2- Équations h Q = K . S . L Introduction de i : Q = K . i . S
Q : débit sortant [L3T-1] K : conductivité hydraulique [LT-1] S : section [L²] h : différence de charge amont et aval du massif sableux [L] L : longueur [L] h L Q = K . S . Eq 2.1 Q = K . i . S Eq 2.2 i : (h / L) gradient hydraulique [adim.] (perte d'énergie résultant du frottement contre le matériau) Introduction de i : Débit unitaire q : q : débit unitaire [L3T-1 L-2] ou [LT-1] vitesse de filtration ou vitesse apparente de Darcy (VD) q = Q S Eq 2.3 = K . i = VD VD : vitesse fictive d'un flux d'eau en écoulement uniforme à travers un milieu aquifère saturé (égal au débit unitaire)

2- Équations : vitesse de filtration (VD)
Q [L3T-1] S [L2] L VD = Q S [LT-1] Vitesse fictive ! Vmoy L Q [L3T-1] Stotale [L2] Spore < Stotale d'où Vitesse réelle moyenne > VD Spore [L2] VD ne Vmoy = Eq 2.4 ne : porosité efficace [adim.]

2- Équations : vitesse de filtration (VD)
Vitesse de filtration (VD) : permet d'évaluation du débit traversant un milieu poreux Vitesse moyenne (Vmoy) : permet de calculer le temps moyen (tmoy) pour parcourir L L Vmoy tmoy = Eq 2.5

2- Équations : Relation entre K et k (perméabilité intrinsèque)
La conductivité hydraulique K est fonction 1- de la géométrie des pores (k) 2- de la densité et de la viscosité du fluide Rappel (cours 1) : k : perméabilité intrinsèque du matériau [L3L-1] volume par unité de charge hydraulique K et k liés par la relation suivante K : conductivité hydraulique [LT-1] ki : perméabilité intrinsèque [L3L-1]  : masse volumique [ML-3] g : constante de pesanteur [LT-²]  : viscosité [ML-1T-1] ki .  . g  K = Eq 2.6

3 : Généralisation de la loi en 3 dimensions
hamont haval Expérience de Darcy : Ecoulement mono directionnel La charge décroît dans le sens des écoulements q grad h i = (hamont-haval)/L grad h = (haval-hamont)/L D'où i = - grad h q : débit unitaire [L3T-1 L-2] vitesse de filtration (VD) K : conductivité hydraulique [LT-1] grad h : [adim.] q = VD = - K . grad h Eq 2.7 avec Eq. 2.4 q = VD = grad h Eq 2.8 Ki .  . g 

3 : Généralisation de la loi en 3 dimensions
z q x y h x y z qx qy qz q = et grad h =

3 : Généralisation de la loi en 3 D : Tenseur de perméabilité
Forte anisotropie de la perméabilité (k) de certains matériaux (couches sédimentaires, argiles) hamont haval Perméabilité >> h q i Marnes calcaires feuilletées de l'Aalénien (Fressac – Robbez-Masson) Si k anisotrope alors K également (Eq 1.3; 2.6)

Mathématique : Perméabilité = propriété tensorielle = k Conductivité hydraulique = propriété tensorielle = K = = = Où K : tenseur du 2ième ordre et symétrique / diagonale z Kxx Kxy Kxz Kyx Kyy Kyz Kzx Kzy Kzz Kxy = Kyx Kxz = Kzx Kyz = Kzy = K = avec x y

q : débit unitaire [L3T-1 L-2] vitesse de filtration (VD) K : conductivité hydraulique [LT-1] grad h : [adim.] q = VD = - K . grad h Eq 2.7 = Calcul de q (ou VD) avec K : qx = - Kxx Kxy Kxz . h x y z qy = - Kyx Kyy Kyz . qz = - Kzx Kzy Kzz . q : débit unitaire [L3T-1 L-2] vitesse de filtration (ou VD) Kyy : conductivité hydraulique dans le plan yy [LT-1] h/x : Variation du gradient hydraulique en x [adim.] Eq 2.9

Kxx Kxy Kxz Kyx Kyy Kyz Kzx Kzy Kzz K = = avec x y z x z y (x, y et z) : Directions principales d'anisotropie du matériau (physique) Directions des vecteurs propres de la matrice K (mathématique) Kxx 0 Kyy 0 Kzz K = =

q : débit unitaire [L3T-1 L-2] vitesse de filtration (ou VD) K : conductivité hydraulique [LT-1] qx = - Kxx Kxy Kxz . h x y z qy = - Kyx Kyy Kyz . qz = - Kzx Kzy Kzz . Eq 2.9 qx = - Kxx . h x qy = - Kyy . y qz = - Kzz . z Eq 2.10 En pratique : milieux sédimentaires avec stratification  horizontale Conductivité hydraulique horizontale : Kxx = Kyy Conductivité hydraulique verticale : Kzz Rapport d'anisotropie : Kxx / Kzz [entre 1 et 100]

4- Limites de la loi de Darcy
Loi établie à partir d'expériences de laboratoire : conditions strictes 1- Continuité du milieu 2- Isotropie 3- Homogénéité du réservoir 4- Écoulement laminaire 5- Écoulement permanent En pratique : situations où la loi est inapplicable limitées à : Karst Voisinage des ouvrages de captages car : vitesse d'écoulement élevée

VD varie linéairement en fonction de i (Eq 2.3) VD (ou q) [LT-1] i [adim.] loi de Darcy f(K) 1 – Faibles valeurs du gradient hydraulique (i) Ex : petits pores (argiles compactes) i1 io i2 loi réelle f(K) Darcy si i > i2 i0, i1, i2 variables (type et structure de l'argile) i1 peut atteindre valeurs de plusieurs dizaines [adim.]

2 – Fortes valeurs du gradient hydraulique (i) Darcy si i < ilim Eq 2.3 Si i > ilim i = a . VD + b . VD² Eq 2.11 Formule empirique de Sichardt : ilim = 1 15 .  K Eq 2.12 i [adim.] K exprimé en m/s VD (ou q) [LT-1] i [adim.] loi de Darcy f(K) Domaine de validité de la loi de Darcy ilim Dissipation d'énergie cinétique importante !

2 – Fortes valeurs du gradient hydraulique (i) suite… Le gradient-limite (ilim) dépend du milieu considéré Définition d'un "nombre de Reynolds en milieu poreux" limite Vc . d  Re = = Eq 2.13 Re : nombre de Reynolds [adim.] Vc : vitesse critique [LT-1] d : diamètre du tube [L]  : masse volumique [ML-3]  : viscosité cinématique [L2T-1]  : viscosité dynamique [ML-1T-1] Vc . d .   Rappel : conduite cylindrique VD . d .   Re = Eq 2.14 Re : nombre de Reynolds [adim.] VD : vitesse de filtration [LT-1] d : diamètre moyen des grains ou diamètre efficace d10 [L]  : viscosité dynamique [ML-1T-1] Milieu poreux

Re Limite inférieure = échelle moléculaire Ecoulement laminaire  loi de Darcy 10 Ecoulement transitoire (pertes de charge dues à l'inertie du fluide plus négligeable) loi de Darcy 100 Ecoulement turbulent (perte de charge encore plus importante) loi de Darcy

5- Détermination de la conductivité hydraulique
Détermination de K Formule de Hazen : K f(granulométrie : D10) Log du diamètre du tamis (mm) Pourcentage d'éléments qui traverse le tamis 1 10 100 100% 50% 10% d10 d10 : paramètre caractéristique d'un matériau Cf. cours n°1 K = C . d²10 Eq 2.15 K : conductivité hydraulique [LT-1] (m/s) C : constante (m.mm-2.s-1) d10 : diamètre pour lequel 10% des grains sont plus petits [L] (mm) C = 0,0116 [0,0081 : 0,0117] (Hazen) C = [0,0041 : 0,0150] (autres auteurs)

Détermination de K Formule de Schlichter : K f(granulométrie et porosité) d²10 c K = 0,0071 . Eq 2.16 K : conductivité hydraulique [LT-1] (m/s) c : constante fonction de la porosité d10 : diamètre pour lequel 10% des grains sont plus petits [L] (mm) C c = f(porosité) Porosité [adim.] 0,25 ~100 0,30 53 0,35 32 0,40 20

Détermination de K Formule de Kozeny-Carman : K f(granulométrie et porosité) ne3 (1-ne)² K = 7, c . d²10 . Eq 2.17 K : conductivité hydraulique [LT-1] (m/s) c : constante (entre 0,1 et 0,8) d10 : diamètre pour lequel 10% des grains sont plus petits [L] (mm) ne : porosité efficace [adim.]

Détermination de K Perméamètre : h L Q = K . S . Eq 2.1 Q(h) h Q m m = K . S / L Q h' Q' h L S Q

1ère étape : détermination de K Pompage ou injection (régime permanent) : Méthode de type Lefranc Pompage ou Scheebeli (1978) Injection h : différence de charge par rapport à l'état initial [L] D : diamètre de la poche [L] L : longueur de la poche [L] Q : débit imposé [L3T-1] a : coefficient de forme [adim.] a D K = . Q h Eq 2.18 a f(D, L) Poche sphérique : Poche ellipsoïde : Packers (joints en caoutchouc gonflables) ( ( ) )  Ln L D L D L 1 D 4 2p a =  1 Eq 2.19 a = 2p. L D Eq 2.20

6- Application de la loi de Darcy sur le terrain : in situ
Détermination de i (gradient hydraulique) : 2 puits d'observation z1 z2 h L h1 h2 Niveau de base géographique h1 – h2 L 112.9 – 111.1 1200 i = = = [adim.] D'après Castany

6- Application de la loi de Darcy sur le terrain : carte
Détermination du gradient hydraulique (i) : carte piézométrique h1 105 104 103 L 102 h2 101 D'après Castany h1 – h2 L 105 – 101 3250 i = = = [adim.]

6- Application de la loi de Darcy sur le terrain : in situ
Calcul du débit d'une nappe : ici avec 2 puits L z1 z2 h K … h1 e1 e2 h2 Niveau de base géographique Q = K Larg . e1 + e2 2 D'après Castany Eq 2.21 Q : débit sortant (m3s-1] K : conductivité hydraulique (ms-1) e1 et e2 : épaisseurs de la nappe (m) Larg : largeur de la nappe (m) i : gradient hydraulique [adim.] L : longueur [L] Q = K . S . i Eq 2.2 e1 – e2 L

Plan C - Équation de diffusivité générale 1- Loi de diffusivité générale 2- Conditions aux limites et conditions initiales

1- Loi de diffusivité générale
Equation de base décrivant l'écoulement tri-dimensionnel dans un milieu poreux saturé en eau Loi de Darcy : écoulement permanent Ecoulement non-permanent : (variation) - grandeur (Q) et direction des flux ( q ) - gradient hydraulique (i) Loi de diffusivité (ou loi de Laplace) : combinaison 1- loi de conservation de la masse (ou loi de continuité) et 2- loi de Darcy Introduction de la loi de conservation de la masse

Loi de conservation de la masse : Petit élément de volume (cube) 4 Volume élémentaire : dx.dy.dz Hypothèse : milieu poreux entièrement saturé en eau z 6 dz 3 y 1 2 dy 5 dx x

Variation du débit unitaire q (ou VD) (entrée – sortie) : expression en x 4 z 6 dz 3 M M' y 1 2 dy 5 dx x Hypothèse : VD en x dépend de la position VDx' : vitesse de filtration en M' VDx : vitesse de filtration en M dVDx = variation de la vitesse entre M et M' VDx x VDx' = VDx + dVDx = VDx dx Eq 2.22 Forme différentielle

Variation de la masse (entrée – sortie) durant dt : expression en x : Avec  : masse volumique [ML-3] 4 Flux massique entrant par unité de temps : Flux massique sortant par unité de temps : 6 dz 3  (VDx) x VDx .dy.dz (VDx dx).dy.dz [ML-3.LT-1.L.L] = [MT-1] 1 2 dy 5 dx Différence des masses fluides (entrant – sortant) par intervalle de temps : dt [VDx] .dy.dz - [VDx dx].dy.dz = dx.dy.dz.dt  (VDx) x

Variation de la masse (entrée – sortie) : expression en x, y et z 4 6  (VDx) x 3 dx.dy.dz.dt 1 2 5 4 6 3  (VDy) y dx.dy.dz.dt 1 2 5 4 6 3  (VDz) z dx.dy.dz.dt 1 2 5

Variation de la masse (entrée – sortie) : expression en x, y et z Différence des masses fluides (Entrant – Sortant) par intervalle de temps : - [ ].dx.dy.dz.dt  (VDx) x  (VDy) y  (VDz) z Eq 2.23 Entrant – Sortant > 0 : emmagasinement Entrant – Sortant < 0 : déstockage

Variation de la masse de l'eau dans l'élément durant dt : Masse d'eau de l'élément à t n .dx.dy.dz Avec n : porosité de l'élément [adim.] [ML-3.L.L.L] = [M] (n dt).dx.dy.dz Masse d'eau de l'élément à t + dt (n) t D'où variation de la masse durant dt: (n) t . dt.dx.dy.dz Eq 2.24

(VDy) y (VDx) x dx.dy.dz.dt = (VDz) z (n) t . dt.dx.dy.dz Loi de conservation de la masse : expression en x, y et z Eq. 20 et Eq. 19 (VDy) y (VDx) x = (VDz) z (n) t Eq 2.25 (n) t -(VD) = Eq 2.25 bis En développant les dérivés  x Eq 2.26 VDx y VDy+  z VDz+  VDy VDz t = n  . n VDx+    x .VDx  VDx >>  variable dans le temps (compression) mais peu variable dans l'espace

 t n t = n  . Eq 2.27 1 - Introduction de la pression p (responsable de la variation de  et n dans le temps Eq 2.27  t = n  = ( n  ) n (n) p 2 – Compressibilité de la porosité (variation de n dans le temps) Coefficient de compressibilité spécifique du milieu poreux : bm n p bm = Argiles : bm = 10-6 à 10-8 (m²N-1) Sables : bm = 10-7 à 10-9 (m²N-1) Graviers : bm = 10-8 à (m²N-1) 3 – Compressibilité du fluide (variation de  dans le temps) Coefficient de compressibilité du fluide : bf  p bf = Eau (15.5°C) : bf = (m²N-1)

p  n p t = (n .  . bf +  . bm) 4 – Introduction de la charge h en fonction de la pression p p =  . g . h Si substratum = origine des z h z p t =  . g g . h . h  h t p =  . g g . h .  . bf . p t   . g . h (n) t =  . g (n .  . bf +  . bm) h h t = ² . g . (n . bf + bm) . 5 – Introduction du coefficient d'emmagasinement spécifique Ss [L-1] avec Ss =  . g . (n . bf + bm) (n) t =  . Ss . h Eq 2.28

Combinaison des lois de conservation de masse et de Darcy Hypothèse : axes x, y et z orientés vers les directions principales du tenseur de conductivité VDx = - Kxx . h x VDy = - Kyy . y VDz = - Kzz . z Eq 2.10 -  Eq VDx -  VDy VDz =  . Ss . t Kxx . h x  + Kyy . y Kzz . z = Ss . t Eq 2.29 EQUATION DE DIFFUSIVITE

Introduction de Q terme puits/source par unité de volume [L3T-1 L-3]  x h x  y h y  z h z h t Kxx . + Kyy . + Kzz . = Ss . Eq 2.29 dz dx dy Terme source ou puits : débit q qui débite la masse de fluide M .q.dx.dy.dz.dt Masse de l'élément pendant l'intervalle de temps dt [ML-3. L3T-1L-3 L.L.L.T] = [M]  : masse volumique [ML-3] q : débit / unité de volume [L3T-1L-3] q > 0 si source et < 0 si puits Kxx . h x  + Kyy . y Kzz . z + q = Ss . t Eq 2.30 EQUATION DE DIFFUSIVITE avec terme puits/source

Si milieu poreux est ISOTROPE et HOMOGENE sans puits/source Perméabilité (et donc conductivité hydraulique) identique dans toutes les directions et constant dans l'espace Kxx = Kxx = Kxx = K  x h x  y h y  z h z h t Kxx . Kyy . + Kzz . + q = Ss . + Eq 2.30 ²h x² + = h t Eq 2.31 y² z² Ss K . Simplification de l'équation de diffusivité ²h x² + = 0 Eq 2.32 y² z² Simplification de l'équation de diffusivité Si en plus régime permanent (pas de variation de h au cours du temps)

! 2- Conditions aux limites et conditions initiales
Equation de diffusivité aux dérivées partielles Intégration nécessite de définition des conditions aux limites ? Cinit à t Clim Conditions aux limites : 3 types (mathématique) 1 - Conditions de Dirichlet : charge (h) imposée : h lim = f(t) 2 - Conditions de Neumann : première dérivée de la charge imposée donc flux imposé 3 - Conditions de Cauchy : h et h n lim = f(t) a . h + b lim = f(t) ! Notation : n  porosité n : direction normale d'entrée à travers la limite

Drainage de la nappe par la rivière
2- Conditions aux limites et conditions initiales 1 - Conditions de Dirichlet (ou conditions de potentiel : ) Charge (h) imposée : h lim = f(t) On impose des conditions de Dirichlet sur une limite si : "Charge hydraulique (h) à la limite, indépendante des conditions de circulation du fluide dans le milieu poreux" C Rivière Surface du sol Surface libre de la nappe Cote hr Le long du contact (C) : charge hydraulique (h) constante et imposée par la cote de l'eau dans la rivière h lim = hr Drainage de la nappe par la rivière En pratique : contact entre plan d'eau libre (mer, lac, rivière) et nappe

2- Conditions aux limites et conditions initiales
2 - Conditions de Neumann (ou conditions de flux) : dérivée première de la charge imposée donc flux imposé h n = f(t) lim Gradient de charge normal à la limite imposé D'où selon loi de Darcy : flux imposé - K . 2.1 Limites à flux imposé nul 2.2 Limites à flux imposé non nul

2 - Conditions de Neumann : 2.1 Limites à flux imposé nul h n - K = 0 Surface du sol Surface libre de la nappe Roche imperméable

2 - Conditions de Neumann : 2.2 Limites à flux imposé h n - K = f(t) lim Surface du sol Surface libre de la nappe Ex. 1 : recharge de la nappe par la pluie : taux d'infiltration a a n h n - K = a avec a = f(t) (durant une averse…) n : normale à la surface de contact orientée vers le milieu poreux

2 - Conditions de Neumann : 2.2 Limites à flux imposé h n - K = f(t) lim Ex. 2 : prélèvement à débit imposé (puits, tranchée) Q Puits Limite = surface S du tube perforé VD VD Milieu poreux n h n Q =  - K dS h n Q 

3 - Conditions de Cauchy (ou conditions mixtes de potentiel et de flux): h n a . h + b lim = f(t) A B Rivière, cote hr Charge h de la nappe n e : épaisseur de la couche de vase peu perméable Kv : conductivité hydraulique de la vase Milieu poreux (K) q h = (hr – h) perte de charge (écoulement à travers la vase) Selon loi de Darcy : hr – h e q = VD = Kv . VD = - K . h n Conservation du flux à la traversée de l'interface AB : . hr h = - K Kv e h n Eq 2.33 . h - K = hr h n Kv e Eq 2.34 f(t)

 x h x  y h y  z h z h t Kxx . + Kyy . + Kzz . = Ss . Eq 2.29 EQUATION DE DIFFUSIVITE (ou équation de Laplace) h t Pour tout problème transitoire :  0 Conditions initiales du problème : h (t = 0) sur le domaine

1- Ecoulement selon plans horizontaux
D - Solutions en régime permanent de l'équation de diffusivité générale (ou loi de Laplace) 1- Ecoulement selon plans horizontaux 1.1- Hypothèse de Dupuit-Forchheimer 1.2- Solution pour les nappes captives 1.3- Solution pour les nappes libres 1.4- Exemple d'application en nappe captive 1.5- Exemple d'application en nappe libre 2- Ecoulement radial 2.1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) 2.2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique) 2.3 Solution pour les nappes libres 2.4 Superposition et images

1.1- Hypothèse de Dupuit-Forchheimer
Surface de suintement Ligne de crête Ligne de crête Exutoire Courbes piézométriques : égales charges Courbes de courant de l'écoulement Courbes piézométriques  surface (sauf proximité des exutoires et lignes de crêtes) Si milieu isotrope : courbes de courant orthogonales aux courbes piézométriques

VD 1.1- Hypothèse de Dupuit-Forchheimer VDz << VDx y
VDz << Vdy y z x VD Charge piézométrique varie peu sur la verticale h  f(z) Eq 2.35 HYPOTHESE de Dupuis-Forchheimer Problème tridimensionnel  Problème bidimensionnel (plan) Limites d'application : proximité des exutoires et lignes de crêtes) Caractéristique en un point (perméabilité k) = moyenne sur la verticale

1.2- Application aux nappes captives
Equation de diffusivité en nappe captive : h (à t) h (à t + dt) z y e e x dy dx Hypothèse de Dupuit : Vitesses horizontales Selon Darcy (Eq 2.10) : si VDz  0  gradient de charge en z  0 Inconnu du problème : h(x, y) (problème bidimensionnel) Direction d'anisotropie (z, x et y)

Simplification de l'équation de diffusivité  x h x  y h y  z h z h t Kxx . Kyy . + + Kzz . + q = Ss . Eq 2.30 Txx =  Kxxdz Sub. Toit Tyy =  Kyydz Q =  q.dz = q . e S =  Ss.dz Cf Eq. 1.5 S : Coefficient d’emmagasinement [adim.] Cf Eq. 1.4 T : transmissivité de la nappe [L²T-1] (m².s-1) Q : débit prélevé / infiltré par unité de surface de la nappe [L3T-1L-2] (m².s-1)

Cas particulier : si Kxx, Kyy et Ss = constante sur e : Txx =  Kxxdz Sub. Toit Tyy =  Kyydz S =  Ss.dz Txx = Kxx . e Tyy = Kyy . e S = Ss . e Kxx . h x  + Kyy . y + q = Ss . t Eq 2.30 h x  + y = t Txx e Tyy S Q . Txx . h x  + Tyy . y + Q = S . t Eq 2.36 Equation de diffusivité dans le plan horizontal

Cas particulier : si transmissivité ISOTROPE et CONSTANTE (x, y) Txx = Tyy = Constante = T h x  y h y h t  x Txx . + Tyy . + Q = S . Eq 2.36 ²h x² + y² = h t Eq 2.37 Q T S . Cas particulier : si en plus pas de terme puits/source (Q = 0) ²h x² + y² = h t Eq 2.38 S T . Cas particulier : si en plus régime permanent ²h x² + y² = 0 Eq 2.39

Remarque : Eq 2.36 et 2.37 linéaire en h Txx . h x  + Tyy . y + Q = S . t Eq 2.36 ²h x² y² = Eq 2.37 Q T S . D’où si (h1, Q1) et (h2,Q2) des solutions particulières de l’Eq. 2.36 Alors a . H1 + b . H2 est également solution de l’Eq avec les débits (a . Q1 + b . Q2) (Idem pour Eq 2.37) Propriété de superposition : fondamentale pour analyser puits de pompage/injection multiples

1.3- Application aux nappes libres
Equation de diffusivité en nappe libre : h h (à t) z y h (à t + dt) e x dy Substratum dx On néglige : Compressibilité de l’eau ( = constante) Compressibilité du milieu poreux (n = constante) Toute variation de charge  mouvement de la surface libre

h Volume élémentaire : Surface libre variable Substratum = plan de référence pour la charge d’où e = hauteur piézométrique e = h = h(x, y) h représente la charge sur la verticale (h  f(z)) h représente en particulier la cote de la surface libre de la nappe x, y dans les directions principales d’anisotropie e dy dx

En nappe libre, équation de diffusivité  nappe captive : 2 modifications or e = h d’où T = Ks. e Eq 1.4 Txx = Kxx . h Tyy = Kyy . h et Eq 2.40 1 – la transmissivité = f(hauteur piézométrique) 2 – coefficient d'emmagasinement  porosité efficace ne (porosité de drainage) Mécanismes de l'emmagasinement : Nappe libre : mouvement de la surface  stockage/déstockage de l'eau Nappe captive : compressibilité de l'eau (), du matériaux (n) S = ne

En nappe libre, équation de diffusivité  nappe captive : 2 modifications  x h x  y h y h t Txx . + Tyy . + Q = S . Eq 2.36 Equation de diffusivité dans le plan horizontal (nappe captive)  x h x  y h y h t h . Kxx . + h . Kyy . + Q = ne . Eq 2.41 Equation de diffusivité dans le plan horizontal (nappe libre)

Cas particulier : si conductivité hydraulique ISOTROPE et CONSTANTE (x, y) Kxx = Kyy = Constante = K  x h x  y h y h t h . Kxx . + h . Kyy . + Q = ne . Eq 2.41 ²h² x² + y² = h t Eq 2.42 Q k ne . 2 . Rappel : h = x  1 2 Cas particulier : si en plus pas de terme puits/source (Q = 0) ²h² x² + y² = h t Eq 2.43 ne k . 2 . Cas particulier : si en plus régime permanent ²h² x² + y² = 0 Eq 2.44

1.4- Exemple d'application en nappe captive
Exemple 1 : nappe captive Dessus Q 1 : Niveau piézométrique nappe ? Q 2 : VD ? x y A A' VD = constante Rivière 1 Rivière 2 Niveau piézométrique Surface du sol z h1 e h2 K x En coupe L

h t = 0 ²h x² h y = 0 z (Hyp. de Dupuit) Q = 0 ²h y² Q T S T h t + = . Eq 2.37 Equation de diffusivité en nappe captive Cas donné : Régime permanent : Terme source ou puits inexistant : Écoulement uniforme en direction de x : ²h x² = 0 Eq 2.45 Equation de diffusivité à résoudre

Résolution : Double intégration sur x : h(x) = Camont + Caval . x Eq 2.46 VDx = - Kxx . h x VDx = - K . h x  Camont ? Caval ? Première condition aux limites est (amont) : Pour x = 0 ; h(x = 0) = h1 Charge imposée : condition de Dirichlet Camont = h1 Deuxième condition aux limites est (aval) : Pour x = L ; h(x = L) = h2 Charge imposée : condition de Dirichlet

VDx = - K . h x h(x) = Camont + Caval . x Eq 2.46 VDx = - K . h2 - h1 L Eq 2.48 Réponse Q2 : Vitesse de filtration h(L) = h2 = h1 + Caval + L Pour x = L D'où Caval = h2 - h1 L q = - K e h2 - h1 L Eq 2.49 Débit par mètre de largeur q = - T . Eq 2.50 h(x) = h x Eq 2.47 h2 - h1 L Réponse Q1 : Niveau piézométrique nappe h(x)

Lignes de courant S : module d'espacement Courbe piézométrique Ou lignes équipotentielles de l'écoulement Rivière 1 Rivière 2 Niveau piézométrique Surface du sol z h1 e h2 K x L

Variante : Conductivité hydraulique K est variable en x Ex : K2 < K1 Q : Niveau piézométrique ? Surface du sol z h1 e h2 K1 K2 x L1 L2 Domaine 1 Domaine 2

Équation de continuité : conservation de la masse à la limite (Domaine 1/domaine2) q1 (ou VDx1 ) = q2 (ou VDx2 ) q : débit unitaire [L3T-1 L-2] ou [LT-1] vitesse de filtration ou vitesse apparente de Darcy (VD) K1 K2 i2 i1 = = (h1- hlim) L1 (hlim- h2) L2 Eq 2.51 alors i1 < i2 si K2 < K1 q = VD = Q S Eq 2.3 = K . i Conditions géométriques L1 K2 K1 L2 h1 h2 hlim i1 i2 ? + de pertes de charge si faible conductivité i1 . L1 + i2 . L2 = (h1-h2) Eq 2.52

K1 K2 K1 K2 (h1-h2) (L1 + . L2 ) K1 K2 (h1-h2) (L1 + . L2 )
1.4- Exemple d'application en nappe captive K1 K2 i2 i1 K1 K2 = Eq 2.51  i2 = i1 Combinaison avec l'Eq. 2.52 K1 K2 i1 = i1 . L1 + i2 . L2 = (h1-h2) Eq 2.52  (h1-h2) (L L2 ) Vitesse de filtration (VD) : VDx2 = K2 . i2 = VDx1 = K1 . i1 = K1 . Eq 2.53 K1 K2 (h1-h2) (L L2 )

Lignes de courant S S1 S2 module d'espacement Courbe piézométrique Ou lignes équipotentielles de l'écoulement i1 < i2 Rivière 1 hlim Rivière 2 h1 h2 K1 K2 L1 L2

1.5- Exemple d'application en nappe libre
Exemple 2 : nappe libre Régime permanent dans massif homogène et isotrope Limite rectiligne à charge imposé Surface du sol h1 Q1 : h(x) ? Q2 = VD(x) ? h2 z K x Substratum L

h y = 0 z (Hyp. de Dupuit) Q = 0 ²h² x² Q k h t = 0  équation linéaire en h² ²h² y² ne k h t + = 2 . . Eq 2.42 Equation de diffusivité en nappe libre Cas donné : Régime permanent : Terme source ou puits inexistant : Écoulement uniforme en direction de x : ²h² x² = 0 Eq 2.54 Equation de diffusivité à résoudre

Résolution : Double intégration sur x : h²(x) = Camont + Caval . x Eq 2.55 Camont ? Caval ? Première condition aux limites est (amont) : Pour x = 0 ; h(x = 0) = h1 Charge imposée : condition de Dirichlet Camont = h1² Eq 2.56 Deuxième condition aux limites est (aval) : Pour x = L ; h(x = L) = h2 Charge imposée : condition de Dirichlet h2² = Caval . L + Camont et Eq. 2.56 Eq 2.57 (h2²- h1²) L Caval = = (h1²- h2²)

h²(x) = Camont + Caval . x Eq 2.55 et Eq 2.62 ; 2.63 x L h²(x) = h1² - (h1²-h2²) . Eq 2.58 Forme parabolique ou : h(x) = h1² - (h1²-h2²) . x L Réponse Q1 x z h1 h2

(2 . h1² - (h1²-h2²) . . L ) (2 . h1² - (h1²-h2²) . . L )
1.5- Exemple d'application en nappe libre VDx (x) = - K . h x Réponse Q2 : Vitesse de filtration (Darcy) VDx (x) = K . Eq 2.59 x L (2 . h1² - (h1²-h2²) L ) h1²- h2² Rappel : = (ax +b) x a 2.(ax +b) Débit par mètre de largeur Q = VDx (x) . h(x) Q = K x L (2 . h1² - (h1²-h2²) L ) h1²- h2² h1² - (h1²-h2²) . h1²- h2² 2.L Q = K . Eq 2.60

2.1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique)
Lignes de courant Dessus A’ A Courbe piézométrique cône de dépression niveau piézo. au repos niveau piézo. avec pompage h(r) h0 h(p) VDR(rT) z e VDR(rT) En coupe

²h r² 1 r r²  En coordonnées polaires (r, ) ²h r² 1 r
2.1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) 2.1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique) ²h r²  ² = 0 1 r . h r r² +  ²h x² + y² = 0 x y Ecoulement symétrique : ²h  ² = 0  En coordonnées polaires (r, ) x = r . cos  y = r . sin  r = (x² + y²)  = arctan (y/x) = 0 Eq 2.61 ²h r² 1 r . h r + Intégration + condition aux limites  résolution

Autre approche pour résoudre le même problème : niveau piézo. au repos h0 e z cône de dépression Q VDR(r) rP : rayon du puits de pompage r : points situés à distance r du puits de pompage S : surface du cylindre situé à r du puits de pompage S = (2.p.r) . e Darcy : Q = VDR(r) . S VDR (r) = - K . dh dr En pratique changement de signe Contrairement aux conventions VDR(rT) Q = K (2.p.r) . e Eq 2.62 dh dr

 dh = 2.1 Solution pour les nappes captives (écoulement symétrique)
dr Q 2.p.e. K dr r Q = K (2.p.r) . e dh = . Eq 2.62 Eq 2.63 rP h(r) hP r  dh = Q 2.p.e.K dr .  Eq 2.64 h(r) – hP = ln( ) Q 2.p.e.K r rP Caractéristiques de la charge : h(r) augmente de façon logarithmique avec r (! Limite : h0)

Limite de l'équation : niveau piézo. au repos e z VDR(r) h0 h(r) hP h(r) <= h0 R  conditions aux limites Q Eq 2.64 h(r) – hP = ln( ) 2.p.e.K r rP K Eq 2.65 h0 – hP = ln( ) Q 2.p.e.K R rP R : rayon d'action fictif

Calcul du rabattement s(r) en tout point à r du puits (avec r <= R) niveau piézo. au repos h0 s(r) h0 Q h0 h(r) hP K z e VDR(r) VDR(r) R R h0 – hP = ln( ) Q 2.p.e.K R rP T (cf Eq 1.4) Eq 2.65 Eq 2.66 h0 – h(r) = ln( ) = s(r) Q 2.p.T R r Formule de Dupuit-Thiem (régime permanent)

Formule de Dupuit (régime permanent) h0 – h(r) = ln( ) = s(r) Q 2.p.T R r Eq 2.66 Solution exacte du Puits dans l'île circulaire R R h = h0 Q mer ou lac r h(r) z K

Dans la pratique : valeur de R ?  approche expérimentale niveau piézo. au repos h0 Q h0 h(r) hP K z e R ? P3 P2 P1 PP h(r) s(r) ln(r) PP P1 P2 P3 ln(R) P3 h0 P1 P2 PP ln(r) ln(R)

Dans la pratique : valeur de R ?  approche empirique Weber (1924) R = 2,45 . (ho . K . t / ne) Kusakin (1949) R = Sp. (K . ho)1/2 Sichardt (1949) R = Sp. K1/2 avec : R : rayon d'action fictif (m) K : (m.s-1) t : durée du pompage ne : porosité efficace (ou de drainage) Sp : rabattement dans le puits de pompage (m)

2.2 Solution pour les nappes captives (écoulement dissymétrique)
sans pompage e z VDx x y K h(x) = a . X + b Eq 2.67 (cf intégration Eq 2. 46) a = Caval et b = Camont

avec pompage e z VDx x y Q Cône de dépression dissymétrique h(r) s(r) r A : point d'arrêt Front d'appel b Ligne de partage K

Rabattement s(r) en régime permanent selon formule de Dupuit h0 – h(r) = ln( ) = s(r) Formule de Dupuit Q 2.p.T R r Eq 2.66 Avec r =  (x² + y²) En utilisant les propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 64) : Eq 2.68 h(x, y) = (a . X + b) ln( ) Q 2.p.T R  (x² + y²) h(x, y) = (a . X + b) ln( )

Calcul de la vitesse de filtration VD en tout point (x, y) x (x² + y²) VDx = u Q 2.p.e Eq 2.69 VDx = - K . dh dx Darcy Eq 2.68 h(x, y) = (a . x + b) ln( ) Q 2.p.T  (x² + y²) R VDx = - K . a [ (x² + y²)-1/2 . 2x ] Q . K 2.p.T 1  (x² + y²) 2 VDy = Q 2.p.e y (x² + y²) Eq 2.70 VDy = - K . dh dy

Points particuliers : A (point d'arrêt) y Ligne de partage Front d'appel b A : point d'arrêt x En A : composantes de la vitesse nulle VDx = 0 = u Q 2.p.e x (x² + y²) VDy = 0 = y Eq 2.70 Eq 2.69 yA = 0 XA = 2.p.e . u0

Points particuliers : front d'appel (b) y Ligne de partage Front d'appel b A : point d'arrêt x À grande distance du puits, x  -  B, le front d'appel capte tout le débit de pompage Q Q = - K . a . b . e = u0 . b . e Darcy : Q = - K . i . S Eq 2.2 Avec S = b . e h(x) = a . X + b Eq 2.73  b = Q U0 . e Eq 2.71 a = Caval et b = Camont

2.3 Solution pour les nappes libres
Ecoulement radial en régime permanent : nappe libre Q h0 h(r) h(r) hP K hP z x r rP Darcy Rappel : nappe captive dh dr dh dr Q = K (2.p.r) . h(r) Q = K (2.p.r) . e Eq 2.72 Eq 2.62

Limite de l'équation : h(r) <= h0  conditions aux limites Q s(r) h0 h(r) hP K z x r R R Rappel : nappe captive h0 – hP = ln( ) Q 2.p.e.K R rP Eq 2.65 h0² – hP² = . ln( ) Q p.K R rP Eq 2.73

Eq 2.73 h0² – hP² = . ln( ) Q p.K R rP (h0 – hP) . (h0 + hP) = ln( ) h0 – hP = ln( ) Q p.(h0 + hP).K R rP h0 – hP = ln( ) 2.p K (h0 + hP) 2 Q 2.p K Analogie avec formule de Dupuit (cf 2.66) h0 – hr = ln( ) R r Eq 2.74 (h0 + hr) 2 Rappel : Formule de Dupuit-Thiem en nappe captive (régime permanent) s(r) = h0 – h(r) = ln( ) Q 2.p.T R r Eq 2.66

Profil piézométrique : Q s(r) h0 h(r) hP K z x r R R h0² – hP² = . ln( ) h0² – h(r)² = ln( ) Q p.K R rP Q p.K R r Eq 2.73 h(r)² = h0² ln( ) h(r)² = h0² ln( ) Q p.K r R Q p.K R r Eq 2.75 Formule de Dupuit en nappe libre (régime permanent)

Q Dans la pratique : hauteur de suintement Décalage entre le niveau d'eau au contact du puits et hp dû à la crépine du puits 3,75.Q 2.p.K. h0 hp hs hs – hP = (h0 – hP ) - Eq 2.76 où hs : charge dans la nappe à une distance r = rw hP : charge dans le puits K : conductivité hydraulique du matériau aquifère Q : débit de pompage h0 : charge au delà du rayon d'action du rabattement rw

Limites d'utilisation de l'équation de Dupuit (rP < r < R ) Q s(r) h0 h(r) hP K z x r R R h0 s(r) h0 Q h0 h(r) hP z e K x r R R

2.4 Superposition et images
Principe de superposition : Repose sur les propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 67) : Q2 s(r) =  ln( ) Qi 2.p.T Ri ri i = 1 n En nappe captive : (cf. 2.66) Eq 2.77 P2 Q1 r2 r1 P P1 P3 r3 r4 P4 Eq 2.78 h0² - h(r)² =  ln( ) Qi p.K En nappe libre : (cf. 2.75) i = 1 n Ri ri Q3 Q4

Intérêt des images (ou puits fictifs) : Précédemment : hypothèse milieu poreux "infini" Comment gérer les conditions aux limites à proximité de P ? P Vue de dessus sM(r) ? Vue en coupe Q h = h0 h0 Charge imposée hlim = h0

Vue de dessus y M(x, y) Q’ r’ r Q x P’(-x0, 0) P(x0, 0) Propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 64) : Hypothèse : Rayon d'action fictif R sM(x, y) = h0 – hM(x, y) = ln( ) ln( ) Q 2.p.T R r Q' 2.p.T R r' Eq 2.79

1er cas particulier : limite à charge imposée Vue de dessus y M(x, y) r’ r -Q Q P’(-x0, 0) x P(x0, 0) sM(x, y) = h0 – hM(x, y) = ln( ) ln( ) Q 2.p.T R r - Q r' sM(x, y) = ln( ) Q 2.p.T r' r Eq 2.80 hM(x, y) = ln( ) + h0 Q 2.p.T r r' Eq 2.81 sM(x, y) = ln( ) = ln( ) Q 2.p.T ((x + x0)² + y²) ((x - x0)² + y²) 4.p.T (x + x0)² + y²) (x - x0)² + y²) ou en coordonnées cartésiennes (r² = x² + y²)

Soit M avec (r = r') médiatrice à PP' Vue de dessus y M(0, y) -Q r’ r Q P’(-x0, 0) P(x0, 0) x sM(x, y) = h0 – hM(x, y) = ln( ) Q 2.p.T r' r Eq 2.80 Sur médiatrice : charge constante et imposée si x = 0 (médiatrice) alors r = r' hM(0, y) = h0

Soit M avec (r = r') médiatrice à PP' x y M(0, y) P’(-x0, 0) P(x0, 0) Q r’ r Vue de dessus x0 z S(0, y) = 0 hM(0, y) = h0 Sur médiatrice : charge constante et imposée Vue en coupe

Solution exacte au problème : Vue de dessus P' P r r' sM(x, y) Vue en coupe sM(x, y) Q h = h0 h0 Charge imposée hlim = h0 x0 Avec r = distance à P r' = distance à P' hM(x, y) = ln( ) + h0 Q 2.p.T r r' Eq 2.81

2ième cas particulier : limite à flux imposé nul (limite étanche) Vue de dessus P r sM(x, y) Q Vue en coupe ? sM(x, y) x0

y Vue de dessus M(x, y) Q r’ r Q x P’(-x0, 0) P(x0, 0) sM(x, y) = h0 – hM(x, y) = ln( ) ln( ) Q 2.p.T R r r' sM(x, y) = ln( ) Q 2.p.T R² r . r' Eq 2.82

y Vue de dessus M(0, y) Q r’ r Q x P’(-x0, 0) P(x0, 0) sM(x, y) = ln( ) Q 2.p.T R² r . r' Eq 2.82 si x = 0 (médiatrice) alors r = r' = (x0², y²) hM(0, y) = ln ( ) + h0 = constante Q 2.p.T r . r' R² h x d'où = 0 x = 0 Analogie ligne de crête – altitude – pente nulle Sur médiatrice : flux nul

h x = 0 x = 0 Q Q z x0 x0

h x = 0 x = 0 Q x0

Plan E - Solutions transitoires (essais de pompage) de l'équation de diffusivité générale (ou loi de Laplace) 1- Équation de Theis 2- Hypothèses et limites de l'équation de Theis 3- Approximation de Jacob 4- Superposition et images 5- Interprétation d'un pompage (S et T)

Q T S T ²h r² 1 r ²h r² 1 r S T
1- Équation de Theis Ecoulement radial en régime transitoire : Puits unique nappe captive Q h0 h(r) hP z K e x r Équation de diffusivité Cf équation (2.61) permanent ²h x² ²h y² Q T S T h t ²h r² 1 r h r + = . Eq 2.37 + . = 0 Eq 2.61 ²h r² 1 r h r S T h t + . = Eq 2.83 Conditions initiales : h(r, 0) = h0 h r lim(2pT ) = Q Conditions aux limites : h(, t) = h0 et rrp

Solution de l'équation de diffusivité (écoulement radial transitoire)
1- Équation de Theis Equation de Theis : Eq 2.84 h(r, t) = h W(u) Q 4.p.T s(r, t) = h0 - h(r, t) = W(u) Solution de l'équation de diffusivité (écoulement radial transitoire) Avec W(u) = fonction de Theis W(u) =  dx 1/u  e-x x et u = 4.T.t r².S avec : u : variable de la fonction de Theis [adim.] r : distance radiale à partir du centre du puits [L] S : coefficient d'emmagasinement [adim.] T : transmissivité [L²T-1] t : temps depuis le début du pompage [T] x : variable muette  (-1)n.1/un n.(n!) W(u) = - constante d'Euler + ln(u) -  n = 1 (1/u)² 4 (1/u)3 18 (1/u)4 96 W(u) = ln(u) + 1/u …

Ecoulement radial en régime transitoire : Puits unique sur nappe libre
En faisant l'hypothèse de Dupuit (pas d'écoulement vertical) Eq 2.85 s'(r, t) = h0 - h(r, t) = W(u') Q 4.p.T Solution de l'équation de diffusivité (écoulement radial transitoire) Avec et avec s² 2.h0 s' = s - u' = 4.T.t r².S' S' = S . h0 H0 - s Même forme que pour nappe captive mais changement de variables s' : rabattement corrigé S' : Coefficient d'emmagasinement apparent Application de la formule développée pour une nappe captive (Eq. 2.84) si rabattement faible par rapport à l'épaisseur mouillée (s<<0.02 h0) sinon correction (Eq. 2.85)

2- Hypothèses et limites de l'équation de Theis
Hypothèses et limites associées à l'équation de Theis (11) Aquifère : 1 – Nappe captive et compressible 2 – Nappe infiniment grande dans la direction de r 3 – Transmissivité (T) isotrope et constante dans le temps et l'espace 4 – Coefficient d'emmagasinement (S) constant dans le temps et l'espace, l'eau libérée est disponible automatiquement Pompage/injection : 5 – Puits a une pénétration totale dans la nappe 6 – Débit de pompage ou d'injection est constant dans le temps 7 – Diamètre du puits est infiniment petit (devant les dimensions de l'aquifère) 8 – aucune autre source ni perte (un seul puits) Écoulements : 9 – Écoulement selon loi de Darcy 10 – Écoulement transitoire (gradient hydraulique n'est pas constant) 11 – Fluide homogène

3- Approximation de Jacob
Formules approchées : Approximation de Jacob (11 cond. De Theis + 1) avec u = Condition : u > 100 4.T.t r².S (1/u)² 4 (1/u)3 18 (1/u)4 96 W(u) = ln(u) + 1/u … W(u)  ln( ) 2,25 T.t r².S s(r, t) = h0 - h(r, t) = ln( ) Q 4.p.T 2,25 T.t r².S Eq 2.86 s(r, t) = h0 - h(r, t) = Log( ) 0,183.Q T 2,25 T.t r².S Eq 2.86 bis Approximation logarithmique de la formule de Theis = formule de Jacob !!! Dans certains ouvrages u = r².S 4.T.t (1/u pour nous) Avec condition : u < 10-3

3- Approximation de Jacob
Estimation de R avec l'approximation de Jacob h0 h0 Q h0 h(r) hP z K e x r R R A une distance R, s(r) = 0 Eq 2.86 0 = ln( ) Q 4.p.T 2,25 T.t R².S 2,25 T.t R².S = 1 R =  t 2,25 T S Eq 2.87 Si régime permanent (tRP R= rayon fictif du puits)

4- Superposition et images
Principe de superposition : en transitoire (comme en permanent T : 112) Repose sur les propriétés d'additivité de l'équation de diffusivité en milieu isotrope (T 67) : Formule de Theis (Eq. 76) Q2 n s(r) =  Qi . W( ) 1 4.p.T 4.T.t ri².S P2 Q1 i = 1 r2 r1 Eq 2.88 P P1 Formule de Jacob (u > 100) P3 r3 r4 n s(r) =  Qi . ln( ) 1 4.p.T 2,25.T.t ri².S P4 Q3 i = 1 Q4 Eq 2.89

h x Flux nul (limite étanche) : Vue de dessus = 0 x = 0 P' P r r' sM(x, y) s(r) = [W( ) + W( )] Q 4.p.T Formule de Theis 4.T.t r².S r'².S Eq 2.90 s(r) = [ln( ) + ln( )] Q 4.p.T Formule de Jacob (u > 100) 2,25.T.t r².S r'².S Eq 2.91

Charge imposée H0 (Vue de dessus ) P' P r r' sM(x, y) s(r) = [W( ) - W( )] Q 4.p.T Formule de Theis 4.T.t r².S r'².S Eq 2.92 s(r) = [ln( ) - ln( )] = ln( ) Q 4.p.T Formule de Jacob (u > 100) 2,25.T.t r².S r'².S 2.p.T r' r Eq 2.93

5- Interprétation d'un pompage (S et T)
Interprétation des essais de pompage : objectif Puits d'observation Puits de pompage Q T : transmissivité ? S : coefficient d'emmagasinement? r Q T : transmissivité ? S : coefficient d'emmagasinement?

Interprétation des essais de pompage : méthode de Theis (pour toutes les valeurs de u et donc pour les t petits) s(r, t) = W(u) = W ( ) Q 4.p.T Q 4.p.T 4.T.t r².S Eq 2.84 Graphiques logarithmiques Abaque W(u) en fonction de u Points expérimentaux : s(t) s 10-1 + 10-2 t 10-2 10-3 10 102 103

10-1 10-2 t 10-3 10 102 103 10-2

En ordonnée : s(r, t) = W(u) = W ( ) Q 4.p.T Q 4.p.T 4.T.t r².S Eq 2.84 log s = log ( ) = log( ) + log (W) Q 4.p.T Q 4.p.T . W s se déduit de W par la translation : log ( ) Q 4.p.T 4.T.t r².S En abscisse : u = log u = log ( ) = log (t) + log( ) 4.T.t r².S 4.T r².S t se déduit de u par la translation : log ( ) 4.T r².S

s M M (um = 10, wm = 1.2) M (tm = 54 s, sm = 0.02 m) t 10-1 10-2 10-3
102 103 10-2

(nécessité d'un puits d'observation)
Par définition : Wm sm Q 4.p Q 4.p.T T = Eq 2.94 sm = Wm 4.T.tm r².S T tm um um = 4 r² S = Eq 2.95 Application : fonction de Q (pour calculer T) et de r (pour calculer S ) (nécessité d'un puits d'observation) Chiffes significatifs de cette méthode : 2 chiffres (T et S)

Interprétation des essais de pompage : méthode de Jacob (si u > 100) Protocole : État initial (régime permanent) Début pompage (Q constant) Prise de mesure s(t), minutes voire moins (au début) s(r, t) = h0 - h(r, t) = Log( ) 0,183.Q T 2,25 T.t r².S Eq 2.86 bis Dépouillement (graphique) : s = f(Log(temps)) Rabattement (en m) Temps (en seconde)

Si u > 100  approximation logarithmique  droite Droite de Jacob Charge initiale Charge ou rabattement (en m) Nappe illimitée Temps (en seconde)

Charge initiale Droite de Jacob Charge imposée Flux nul rabattement (en m) Nappe illimitée Temps (en seconde)

Sélection de 2 points A et B arbitrairement sur cette droite (bleu) Formule de Jacob (u > 100) Détermination de la transmissivité (T) : Q 4.p.T 2,25 T.tA r².S sA(r, tA) = ln( ) 2,25 T.tB sB(r, tB) = ln( ) Q 4.p.T 2,25 T.tB r².S sB - sA = (ln( ) – ln( )) 2,25 T.tA Q 4.p.T tB tA sB - sA = ln( ) T = ln ( ) Q 4.p.(sB - sA ) tB tA Eq 2.96 Selon l'usage : on prend tB = 10.tA T = 0,183 . Q (sB - sA ) Eq 2.97

Détermination du coefficient d'emmagasinement (S) : rabattement (en m) C Charge initiale Nappe illimitée Droite de Jacob Temps (en seconde) Q 4.p.T 2,25 T.tC r².S sC = 0 = ln( ) ln ( ) = 0 2,25 T.tC r².S 2,25 T.tC r².S = 1 2,25 T.tC r² S = Eq 2.98 Puits d'observation !

Interprétation d'une remontée : Intérêt : si pas de puits d'observation, utilisation du puits de pompage (plus de perte de charge) Q hs hp hs hp Pompage : rabattement progressif de la nappe Arrêt pompage : remontée progressive de la nappe (rabattement résiduel)

Interprétation d'une remontée :
1ère méthode : Hypothèse : avant arrêt du pompage : régime permanent Application de la méthode de Theis ou Jacob (comme pour un pompage)

Interprétation d'une remontée : 2ième méthode Le rabattement résiduel : Arrêt pompage = pompage initial (Q) + injection (- Q) Q : pompage Effets des pompages s'annulent  niveau initial tf = fin du pompage t - Q : injection Equation de Theis : sRés = W(u) W(u') = (W(u) - W(u')) Q 4.p.T pompage injection avec u = et u' = 4.T.t r².S 4.T.t' t' = t - tf Eq 2.99

Interprétation d'une remontée : 2ième méthode
Le rabattement résiduel : Arrêt pompage = pompage initial (Q) + injection (- Q) Formule de Jacob (u > 100) Q 4.p.T Q 4.p.T Q 4.p.T sRés = W(u) W(u') = (W(u) - W(u')) Eq 2.99 pompage injection sRés = ln ( ) ln ( ) = ln ( ) Q 4.p.T 2,25 T.t r².S Q 4.p.T 2,25 T.t' r².S Q 4.p.T t t - tf pompage injection Eq 2.100

Formule de Jacob (u > 100)
Interprétation d'une remontée : Castany Formule de Jacob (u > 100) Charge ou rabattement (en m) t t - tf t = temps depuis début du pompage [adim.] tf = durée du pompage (ici 72h) Sélection de 2 points A et B arbitrairement sur cette droite (bleu) tB tB - tf T = ln ( ) Q 4.p.(sB - sA ) Eq 2.101 tA tA - tf

Plan F - Cartographie de l'aquifère 1- Objectifs de la cartographie 2- Cartes structurales 3- Cartes piézométriques

1- Objectifs de la cartographie
1 – représentation - configuration - structure 2 – schématisation - fonction du réservoirs - comportement hydrodynamiques Deux types de cartes : structurales / piézométriques

2- Cartes structurales Cartes structurales de l’aquifère (configuration + structure) = Synthèse : 1- Données sur la géologie 2- Conditions aux limites 3- paramètres physiques de l’aquifère 4- Paramètres hydrodynamiques de l’aquifère

2- Cartes structurales Configuration Objectifs : cartographier en 2D ou 3D : surface et volume de l’aquifère Nécessite interpolation de données ponctuelles Types de représentation : 1- en courbes isohypses : égale altitude 2- en courbes isobathes : égale profondeur (/sol) 3- en courbes isopaches : égale épaisseur de l’aquifère

1 – Cartes de la surface du substratum :
2- Cartes structurales Configuration 1 – Cartes de la surface du substratum : Type de représentation : isohypses et isobathes Utilité : base pour calculer épaisseur de l’aquifère profondeur maximum des forages Ex : altitude du substrat Région d'Ottawa (Canada) 20 km

2 – Cartes de la limite supérieure de l’aquifère :
2- Cartes structurales Configuration 2 – Cartes de la limite supérieure de l’aquifère : Type de représentation : nappe captive : base du toit imperméable (isohypses et isobathes) nappe libre : limite supérieure isohypses (cartes piézométriques) Utilité : base pour calculer épaisseur de l’aquifère profondeur du niveau d’eau dans les forages Castany

3 – Cartes de l’épaisseur de l’aquifère :
2- Cartes structurales Configuration 3 – Cartes de l’épaisseur de l’aquifère : Construction : superposition des 2 cartes en courbes isohypses Type de représentation : courbes isopaches de l’aquifère Utilité : Calculer volume de l’aquifère (évaluation des réserves en eaux souterraines) Castany

1 – Cartes des caractéristiques physiques de l’aquifère :
2- Cartes structurales Structure 1 – Cartes des caractéristiques physiques de l’aquifère : Construction : interpolation spatiale des données ponctuelles Type de représentation : (classes) Lithologie Roches meubles : granulométrie + diamètre efficace Roches compactes : fissuration Utilité : Représentation de la structure (recherche de réserves en eaux souterraines) D'après F.Renard (2005) Grande vallée des Appalaches (Tennessee)

2- Cartes structurales Structure 2 – Cartes des paramètres hydrodynamiques de l’aquifère : Construction : interpolation spatiale des données ponctuelles (coût d’acquisition) Type de représentation : (isohypses) Coefficient de perméabilité Transmissivité Coefficient d’emmagasinement Utilité : Représentation de la structure (recherche de réserves en eaux souterraines)

Ex : Distribution de la transmissivité de l’Albien (m2/s)
2- Cartes structurales Structure Ex : Distribution de la transmissivité de l’Albien (m2/s) (d'après modélisation) (d’après AESN)

3- Cartes piézométriques
(ou cartes de la surface piézométrique) Représentation à une date donnée de la distribution spatiale des charges hydrauliques (h) + conditions aux limites Construction : interpolation des mesures des niveaux piézométriques (conditions stables) report sur carte (1/50000) : Choix de l’équidistance + technique de tracé Type de représentation : en courbes isohypses : égale altitude (h) D'après F.Renard (2005) Vallée du Drac

Mode d’interpolation des charges hydrauliques (h) 1- Interpolation approximative : méthode visuelle Satisfaisant si expérience Limites : interprétation et non faits observés 2- Méthode d’interpolation du triangle 3- Programme de traitements (zone plus étendue) A (hA = 27,6 m) 27,5 Choix de l’équidistance : Ici h = 0.5 m + lissage 27,5 27 Excellents résultats si densité de points suffisante 27 B (hB = 26,8 m) C (hc = 27,2 m)

Interprétation des cartes Facilitée si : Tracé des lignes de courant (plus grande pente)  Fléchage des lignes de courant (sens) Éléments de la carte utilisés dans l'interprétation : 1 - Courbure des courbes piézométriques 2 - Module d'espacement (entre 2 courbes piéz.)

Exemple d'habillage : Carte piézométrique d’une nappe captive profonde : l’Albien dans le bassin parisien.

Éléments de la carte utilisés dans l'interprétation : 1 - Courbure des courbes piézométriques Amont Concavité ouverte vers l'aval : Lignes de courant convergentes = zone de drainage (puits de pompage) S Aval 99 98 97 96 78 77 Concavité ouverte vers l'amont : Lignes de courant divergentes = aire d'alimentation (puits d'injection) 76 Amont 75 Aval

Conclusions Utilisation sur le terrain de la loi de Darcy et des solutions de la loi de diffusivité  en première approximation : prédire la distribution de la charge hydraulique sur toute une nappe à partir de points isolés (conditions stationnaires et transitoires) ; prédire les directions de propagation de l’eau (direction d’écoulement) principales analyser des données concernant le pompage dans un aquifère et estimer les réserves et la conductivité hydraulique d’un aquifère. prédire le transport d’une pollution, trouver des stratégies de dépollution d’un aquifère (chapitre III). utiliser des modèles de circulation pour prédire l’impact d’un pompage sur l’aquifère (chapitre IV). Compétences d’un hydrogéologue.

Notion d'hydrodynamique Adrien Wanko & Sylvain Payraudeau

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