PUISSANCES D’UN NOMBRE

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1 PUISSANCES D’UN NOMBRE
I LES PUISSANCES DE 10 Une année lumière: environ neuf mille milliards de kilomètres km Masse du soleil : deux milliards de milliards de tonnes t La population mondiale: Six milliards, huit cent trois millions, deux cent trente et un milles, quatre cent quatre-vingt-dix personnes Un micron: un millionième de mètre. 0, m Rayon de l’atome d’hydrogène : cinq dix milliardièmes de centimètres 0, cm

2 Remarques : a) Ces écritures ne sont pas faciles à utiliser. ♦ On peut oublier des zéros ou en rajouter ♦ Ils ne rentrent pas dans la calculatrice ♦ Ils sont difficiles à lire ♦ Et si il faut faire des opérations cela ne sera pas facile b) Il existe une écriture qui va nous permettre d’écrire plus simplement ces nombres.

3 Définition des puissances de 10
a) Exposant positif 100 = 10 ×10 = 10² 3 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 On lit «  10 exposant 4 » ou « 10 puissance 4 » L’exposant indique le nombre de zéros après le 1 n 10n = 10 ……………..0 n zéros

4 b) Exposant négatif - 1 0,1 = 10 -2 0,01= 10 -3 0,001 = 10 -4 0,000 1 = 10 On lit « 10 exposant -4 » ou « 10 puissance -4 » L’exposant négatif indique le nombre de chiffres après la virgule n 10 -n = 0 , 0 …………………….1 n chiffres après la virgule

5 0,001= Les exposants négatifs et les nombres fractionnaires a)
On retient : Exemples:

6 N’oublie pas… Puissance Exposant Coefficient numérique Base Coefficient littéral

7 II REGLES DE CALCUL 1° Produit de deux puissances Règle:

8 2° Quotient de deux puissances
a) Exemples: b) Règle

9 Exemples ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Attention!

10 3° Puissances d’une puissance.
a) Exemples. b) Règle

11 Somme ou différence de deux puissances
Ce n’est pas une puissance de 10 Attention! Il n’y a pas de règle générale pour additionner les puissances. Il faut revenir aux écritures décimales.

12 III PUISSANCES D’UN NOMBRE
1°Remarque: = 7 × 5 7 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 2° Définition a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul n a = a × a × ……………… × a n facteurs égaux à a Remarques : ♦ On lit a « puissance n » ou « a exposant n » ♦ a0 = 1 ♦ a1 = a

13 3° Calculs. a) Les puissances sont prioritaires sur les multiplications 5 × 32 = 5 × 9 = 45 b) Si l’exposant ou le nombre sont petits on calcule à la main ou de tête. 53 =125 25 =32 Sinon on utilise la calculatrice.

14 Touche puissance

15 ATTENTION -32 ( -3 )2 ♦ -32 = - 9 ♦ ( -3 )2 = ( -3 ) × ( -3 ) = 9 53
Ne pas confondre : -32 et ( -3 )2 1° ♦ -32 = × 3 = - 9 Seul 3 est au carré ♦ ( -3 )2 = ( -3 ) × ( -3 ) = 9 ( -3 ) est au carré 2° La puissance et le produit 53 = 5 × 5 × 5 = 125 5 × 3= 15

16 IV REGLES DE CALCUL ♦ an × am = a n+m ♦ an× bn = (ab)n ♦ (an)m=an×m
1° Puissances et produit. a) Produit de deux puissances d’un même nombre. 23 × 24 = 2×2×2 × 2×2 ×2 ×2 = 27 b) Produit de puissances de même exposant 23 × 53 = 2×2×2 ×5×5×5 = 2×5 × 2×5 × 2×5 = ( 2×5)3 c) Puissances d’une puissance. (73)2 = 73 × 73 = 7×7×7×7×7×7 = 76 d) Règles a,b étant des nombres relatifs ; m, n des entiers relatifs ♦ an × am = a n+m ♦ an× bn = (ab)n ♦ (an)m=an×m

17 e) Exemples: 1° cas (multiplication ayant la même base) 35×32=35+2=37 x3× x4× x = x3+4+1 = x8 2° cas (multiplication ayant différentes bases et le même exposant 32×52=(3×5)2=152 3° Une base composée entre des parenthèses (3x)2 = 32 × x2 = 9 × x2 = 9x2

18 2° Puissances et quotient
a) Quotient de deux puissances d’un même nombre. b) Quotient de puissances de même exposant c) Règles a,b étant des nombres relatifs ; m un entier relatif.

19 Operations avec exposants
Multiplie (x3)∙(x4) = (x ∙ x ∙ x) ∙ (x ∙ x ∙ x ∙ x) = (x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x) = x7 A5 ∙ A4 = Divise:

20 d) Exemples.

21 3° Exposants négatifs ♦ Donc : ♦ Règle. Soit a un nombre relatif non nul et n un entier positif ► est l’inverse de ►