ACT2025 - Cours 23 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-troisième cours.

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1 ACT2025 - Cours 23 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-troisième cours

2 ACT2025 - Cours 23 Rappel: Amortissement d’une obligation - méthode actuarielle Amortissement d’une obligation - méthode linéaire Prix d’une obligation entre des coupons - Introduction

3 ACT2025 - Cours 23 la valeur comptable de l’obligation après le versement du k e coupon sera notée par B k la portion d’intérêt du k e coupon sera notée par I k l’ajustement à être apporté à la valeur comptable de l’obligation dans le k e coupon sera notée P k Rappel:

4 ACT2025 - Cours 23 La valeur comptable B k immédiatement après le k e coupon est obtenue prospectivement (respectivement rétrospectivement) en utilisant les valeurs actuelles des coupons à venir et de la valeur de remboursement (respectivement les valeurs accumulées des coupons versés et du prix) selon au taux de rendement i obtenu lors de l’achat de l’obligation. Rappel: Méthode actuarielle

5 ACT2025 - Cours 23 La portion d’intérêt I k du k e coupon est iB (k- 1). C’est ce que doit nous rapporter l’obligation pour une période au taux i. L’ajustement P k à apporter à la valeur comptable dans le k e coupon est P k = Fr - I k. Nous avons B k = B k-1 - P k. Rappel: Méthode actuarielle

6 ACT2025 - Cours 23 Si nous considérons une obligation dont la valeur de remboursement C = 1 dollar et les montants des coupons sont égaux au taux modifié d’intérêt g. Le prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif. Rappel: Méthode actuarielle

7 ACT2025 - Cours 23 où i est le taux de rendement. ou encore Rappel:

8 ACT2025 - Cours 23 Rappel:

9 ACT2025 - Cours 23 Amortissement - méthode linéaire. L’ajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à s’il y a n coupons. La portion d’intérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - P k = Fr - [(P-C)/n]. Rappel:

10 ACT2025 - Cours 23 Prix d’une obligation entre des coupons. Considérons le prix P(x) d’une obligation au temps x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, d’une durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8. Rappel:

11 ACT2025 - Cours 23 Exemple: P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Alors Rappel:

12 ACT2025 - Cours 23 Rappel:

13 ACT2025 - Cours 23 À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme (« flat price ») et le prix du marché (« market price ») ou encore la valeur comptable de l’obligation. Ce dernier prix fera en sorte de lisser la fonction pour faire disparaître les sauts.

14 ACT2025 - Cours 23 Le prix uniforme (« flat price ») de l’obligation est le montant d’argent qui change de main au moment de la vente (sans tenir compte des commissions). Nous noterons ce prix par où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1.

15 ACT2025 - Cours 23 Le prix du marché (« market price ») ou valeur comptable de l’obligation est le montant d’argent qui apparait dans les cotations financières. Nous noterons ce prix par où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1.

16 ACT2025 - Cours 23 Ces deux prix sont reliés par la relation suivante: où Fr t est la valeur proportionnelle du coupon après un temps t de la période. Cette valeur Fr t sera déterminée selon différentes hypothèses.

17 ACT2025 - Cours 23 Première méthode: Le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est composé pour la période entre deux coupons. Plus précisément

18 ACT2025 - Cours 23 Pour cette première méthode, le prix du marché est alors

19 ACT2025 - Cours 23 Deuxième méthode: Le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est simple pour la période entre deux coupons. Plus précisément

20 ACT2025 - Cours 23 Pour cette deuxième méthode, le prix du marché est alors

21 ACT2025 - Cours 23 Troisième méthode: Le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est composé pour la période entre deux coupons, mais en prenant Fr t = tFr. Plus précisément

22 ACT2025 - Cours 23 Pour cette troisième méthode, le prix du marché est alors

23 ACT2025 - Cours 23 Cette dernière méthode est la plus utilisée dans la pratique. Pour obtenir t, le décompte des jours est obtenu soit en utilisant la convention actuel/actuel ou encore 30/360. C’est d’ailleurs ce qui est utilisé par la calculatrice BA-II Plus

24 ACT2025 - Cours 23 Déterminons le prix uniforme, la valeur du coupon et le prix du marché d’une obligation de valeur nominale de 5000$ dont le taux facial est le taux nominal de 8% par année capitalisé semestriellement, la valeur de remboursement est aussi de 5000$ et le taux de rendement est 6% par année capitalisé semestriellement au moment de l’achat, la durée de vie de cette obligation au moment de l’émission est de 6 ans et l’achat est fait 13 semaines après l’émission. Exemple 1:

25 ACT2025 - Cours 23 Dans ce cas, F = 5000, C = 5000, r = 4% par six mois, i = 3% par six mois. Le coupon est (0.04)(5000) = 200$. La durée de vie de cette obligation au moment de l’émission est de 6 ans, à savoir 12 périodes de capitalisation et l’achat est fait 13 semaines après l’émission. La période de capitalisation est de 6 mois = 26 semaines. Nous allons aussi illustrer chacune des méthodes. Exemple 1: (suite)

26 ACT2025 - Cours 23 Première méthode: Exemple 1: (suite)

27 ACT2025 - Cours 23 Deuxième méthode: Exemple 1: (suite)

28 ACT2025 - Cours 23 Troisième méthode: Exemple 1: (suite)

29 ACT2025 - Cours 23 Au terme de la journée du 28 mars 2008, il y avait les cotations suivantes pour les T-Notes du Département du Trésor américain sur le site Yahoo Finance. TauxMaturitéPrice Rendement à maturité 4.87531-Mai-2009100.514.594 4.62529-Fév-201299.114.837 4.650 31-Ao û t-2011 99.284.814 Exemple 2 :

30 ACT2025 - Cours 23 Pour chacune des obligations, calculons approximativement le prix du marché à partir du taux de rendement en utilisant la troisième méthode. Pour les obligations du Trésor américain, les coupons sont semestriels, les taux sont des taux nominaux capitalisés semestriellement. Exemple 2 : (suite)

31 ACT2025 - Cours 23 Pour l’obligation 4.875 Mai 09, nous sommes environ au deux tiers d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons ci-dessus, nous obtenons alors que t = (2/3). De plus r = 4.875%/2 = 2.4375% et i = 4.594%/2 = 2.297%. Il y aura 3 coupons. Donc Fr 2/3 = 2.4375(2/3) = 1.624999998 Exemple 2 : (suite)

32 ACT2025 - Cours 23 Nous avons utilisé une approximation pour le temps (t = 2/3), mais nous aurions pu être plus pr é cis sur le temps écoulé. Dans cet exemple, t = (119/183) = 0.650273224 avec la convention « actuel/actuel ». Il est possible d’utiliser la feuille de calcul « Date » de la calculatrice BA-II Plus pour obtenir ces deux nombres. Dans ce cas, le prix uniforme est 101.8965855, la partie du coupon (intérêt accru) est 1.585040984 et la valeur comptable est 100.3115445. Nous aurions aussi pu utiliser la calculatrice pour obtenir ces deux derniers nombres avec la feuille de calcul « Bond ». Exemple 2 : (suite)

33 ACT2025 - Cours 23 Pour l’obligation 4.625 Fév12, nous sommes environ à un sixième d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 1/6. De plus r = 4.625%/2 = 2.3125% et i = 4.837%/2 = 2.4185%. Il y aura 8 coupons. Donc Exemple 2 : (suite) Fr 1/6 = 2.3125(1/6) = 0.385416667

34 ACT2025 - Cours 23 Nous avons utilisé une approximation pour le temps (t = 1/6), mais nous aurions pu être plus pr é cis sur le temps écoulé. Dans cet exemple, t = (28/184) = 0.152173913 avec la convention « actuel/actuel ». Il est possible d’utiliser la feuille de calcul « Date » de la calculatrice BA-II Plus pour obtenir ces deux nombres. Dans ce cas, le prix uniforme est 99.5988535, la partie du coupon (intérêt accru) est 0.351902174 et la valeur comptable est 99.24695133. Nous aurions aussi pu utiliser la calculatrice pour obtenir ces deux derniers nombres avec la feuille de calcul « Bond ». Exemple 2 : (suite)

35 ACT2025 - Cours 23 Pour l’obligation 4.65 Ao û t11, nous sommes environ à un sixième d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 1/6. De plus r = 4.65%/2 = 2.325% et i = 4.814%/2 = 2.407%. Il y aura 7 coupons. Donc Exemple 2 : (suite) Fr 1/6 = 2.325(1/6) = 0.3875

36 ACT2025 - Cours 23 Nous avons utilisé une approximation pour le temps (t = 1/6), mais nous aurions pu être plus pr é cis sur le temps écoulé. Dans cet exemple, t = (28/184) = 0.152173913 avec la convention « actuel/actuel ». Il est possible d’utiliser la feuille de calcul « Date » de la calculatrice BA-II Plus pour obtenir ces deux nombres. Dans ce cas, le prix uniforme est 99.83820718, la partie du coupon (intérêt accru) est 0.353804348 et la valeur comptable est 99.48440283. Nous aurions aussi pu utiliser la calculatrice pour obtenir ces deux derniers nombres avec la feuille de calcul « Bond ». Exemple 2 : (suite)

37 ACT2025 - Cours 23 Nous avons vu jusqu’à présent comment calculer le prix P d’une obligation étant donné le taux de rendement i. Nous allons maintenant considérer le problème inverse. Étant donné le prix P, comment déterminer le taux de rendement i. Nous ferons ceci que dans la situation d’une obligation achetée immédiatement après le paiement de coupon.

38 ACT2025 - Cours 23 Nous avons l’équation prime/escompte du prix: ou encore

39 ACT2025 - Cours 23 Nous obtenons alors Dans la suite, nous noterons par k: le nombre

40 ACT2025 - Cours 23 Avec un peu d’algèbre, alors Nous pouvons utiliser l’approximation

41 ACT2025 - Cours 23 Nous obtenons alors une première approximation pour le taux de rendement

42 ACT2025 - Cours 23 Nous pouvons obtenir une seconde approximation pour le taux de rendement en notant dans la formule précédente que si n est grand, alors (n + 1)/2n est approximativement égal à 1/2. Donc

43 ACT2025 - Cours 23 Cette dernière formule est appelée la méthode du vendeur d’obligations.

44 ACT2025 - Cours 23 Finalement nous pouvons obtenir une approximation plus précise encore en utilisant la méthode de Newton-Raphson pour déterminer l’unique zéro positif de la fonction

45 ACT2025 - Cours 23 Nous obtenons comme règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson

46 ACT2025 - Cours 23 Comme valeur initiale pour la méthode, nous pouvons prendre

47 ACT2025 - Cours 23 ou encore

48 ACT2025 - Cours 23 Considérons une obligation de valeur nominale de 100$, remboursé aussi à cette valeur, dont le taux facial est le taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé à tous les six mois, les coupons sont versés à tous les six mois et la durée de vie de l’obligation est de 10 ans. Déterminons le taux nominal de rendement capitalisé semestriellement si cette obligation est achetée à 102$. Ici n = 20, r = g = 4%, k = (102 - 100)/100 = 0.02. Exemple 3 :

49 ACT2025 - Cours 23 Nous pouvons prendre comme valeur initiale Exemple 3 : (suite)

50 ACT2025 - Cours 23 La règle récursive est Exemple 3 : (suite)

51 ACT2025 - Cours 23 Nous obtenons alors le tableau suivant: sisis 2is2is 03.8594755%7.718951% 13.8534396%7.7068792% 23.8547232%7.7094464% 33.8547233%7.7094466% Donc le taux de rendement recherché est 7.7094466% Exemple 3 : (suite)

52 ACT2025 - Cours 23 Pour certaines obligations, l’émetteur peut rembourser sa dette avant la date d’échéance. Ce sont des obligations rachetables (« callable bonds »). Une telle provision présente une difficulté pour déterminer le taux de rendement de l’obligation. En effet, la valeur de n n’est pas bien déterminée. Cependant le souscripteur peut supposer que l’émetteur utilisera l’option de rachat qui lui est la moins favorable.

53 ACT2025 - Cours 23 Plus précisément, il y a plusieurs scénarii possibles avec différentes valeurs de remboursement à différentes dates de rachat incluant la date d’échéance. Il est possible alors de calculer pour chacun de ces scénarii le taux de rendement à partir du prix et de considérer le plus bas de ces taux de rendement comme celui de l’obligation.

54 ACT2025 - Cours 23 Une obligation de valeur nominale de 10000$, dont le taux facial est le taux effectif d’intérêt de 5% par année, les coupons sont versés une fois par année, à la fin de l’année, et la durée de vie de l’obligation est de 20 ans. L’obligation peut être remboursée à la fin de la dixième année, à la fin de la quinzième année et à la fin de la vingtième année. Les valeurs de remboursement sont de 12000$ à la fin de la dixième année, de 11000$ à la fin de la quinzième année et 10000$ à la fin de vingtième année. Cette obligation est achetée pour 10050$. Déterminons le taux effectif de rendement. Exemple 4 :

55 ACT2025 - Cours 23 Scénario 1: Remboursement à la fin de la dixième année. Il nous faut résoudre l’équation Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = 6.418504910% Exemple 4 : (suite)

56 ACT2025 - Cours 23 Scénario 2: Remboursement à la fin de la quinzième année. Il nous faut résoudre l’équation Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = 5.400157771% Exemple 4 : (suite)

57 ACT2025 - Cours 23 Scénario 3: Remboursement à la fin de la vingtième année. Il nous faut résoudre l’équation Nous obtenons alors que le taux de rendement est i = 4.960014620%. En conséquence, si nous considérons les 3 scénarii, le taux de rendement sera donc au moins 4.960014620%. Exemple 4 : (suite)

58 ACT2025 - Cours 23 Une autre situation qui peut se présenter dans le cas des obligations rachetables est la suivante. L’investisseur s’est fixé un taux de rendement seuil et cherche à déterminer le prix P qu’il doit payer pour une telle obligation rachetable. Dans ce cas, il calcule le prix de l’obligation pour chacun des scénarii avec différentes valeurs de remboursement aux différentes dates de rachat au taux de rendement seuil. Le scénario qui est le plus défavorable pour l’investisseur est celui pour lequel le prix d’achat P est le plus petit P min parmi tous ceux des scénarii au taux de rendement seuil. Si l’obligation est rachetée à une autre date, alors le taux de rendement sera supérieur ou égal au taux de rendement seuil.

59 ACT2025 - Cours 23 L’explication réside dans le fait que le prix est une fonction décroissante du taux de rendement.

60 ACT2025 - Cours 23 Une obligation de valeur nominale de 1000$, dont le taux facial est le taux effectif d’intérêt de 7% par année, les coupons sont versés une fois par année, à la fin de l’année, et la durée de vie de l’obligation est de 20 ans. L’obligation peut être remboursée à la fin des 12 e et 14 e années à 1075$, peut être remboursée à la fin des 16 e et 18 e années à 1050$ et peut être remboursée à la fin de la 20 e année à 1000$. Nous aimerions obtenir un taux de rendement d’au moins 8% par année. Déterminons le prix qu’il faut payer cette obligation pour être assuré de ce rendement. Exemple 5 :

61 ACT2025 - Cours 23 Calculons le prix P n au taux de rendement pour l’obligation rachetée à la fin de la n e année au taux de rendement de 8%. Nous avons Exemple 5 : (suite)

62 ACT2025 - Cours 23 Le prix pour obtenir au moins le taux de rendement de 8% par année est de 901.82$.