Leçon 3: Analyse Temporelle Des Systèmes

Présentation au sujet: "Leçon 3: Analyse Temporelle Des Systèmes"— Transcription de la présentation:

1 Leçon 3: Analyse Temporelle Des Systèmes
Fondamentaux Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier la réponse temporelle des systèmes élémentaires en automatique. Ces systèmes sont décris par des équations différentielles ne dépassant pas le 2nd ordre. Les grandeurs d’entrée typiques qui vont être exploitées sont l’impulsion, l’échelon et la rampe. 26/03/2017

2 I. Etude de l’intégrateur
Un intégrateur est un système dont l’équation temporelle de sa réponse vérifie (K constante réelle) I.1 Réponses impulsionnelle I.2 Réponses indicielle Lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac, x(t) =d(t), l’équation de l’intégrateur donne : Lorsque l’entrée est un échelon, x(t)=u(t), l’équation de l’intégrateur donne : ? ? D’ou D’ou ? ? 26/03/2017

3 II. Systèmes du premier ordre
Un système est dit du premier ordre ou "à constante de temps" si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation différentielle du premier ordre, de la forme : constante de temps du système gain statique 26/03/2017

4 ? II.1 Exemples de systèmes
* Amortisseur ressort * Circuit RC x(t) et y(t) étant les variations respectives des positions des points X et Y avec K = et t = RC ? ? ? 26/03/2017

5 ? ? II.2 Réponse indicielle des systèmes du 1er ordre
On applique à l’entrée un échelon unitaire donc : ? d’où après décomposition en éléments simples on obtient: ? Temps de réponse : Le temps de réponse à ±5% de k est tr = 3t . Temps de montée : le temps de montée est le temps mis pour atteindre 90% de k. d’où ? 26/03/2017

6 ? ? II.3 Réponse à une rampe Si l’entrée vaut e(t) = a.t alors:
après décomposition en éléments simples on obtient: ? remarquons que s(t) tend vers Ka(t − t ) (rampe retardée de t ) d’où ? 26/03/2017

7 ? II.4 Réponse impulsionnelle
La réponse à une impulsion de Dirac e(t) =d(t) E(p) = 1 ce qui nous donne La réponse temporelle devient La réponse impulsionnelle est une impulsion. Au bout de 3t la valeur résiduelle vaut 5%, le système est stable ? 26/03/2017

8 ? III. Systèmes du second ordre
Un système du second ordre est décrit par une équation différentielle de la forme À conditions initiales nulles, la transformée de Laplace donne k : gain statique ? d’où W0 : pulsation propre non amortie x: coefficient d’amortissement 26/03/2017

9 ? ? ? III.1 Exemples de systèmes circuit RLC d’où
ce qui nous permet d’identifier ? (pulsation propre d’un circuit oscillant LC) (facteur d’amortissement proportionnel à R, plus R augmente plus l’énergie se dissipe vite) ? 26/03/2017

10 ? ? ? ? amortisseur + masse + ressort
Le théorème de la résultante dynamique nous permet d’écrire ? Ainsi ? ? ? Avec 26/03/2017

11 ? ? ? ? III.2 Analyse de la réponse
La fonctions de transfert du système du second ordre est Avec La décomposition de H(p) en fractions simples dépend des racines de (1 + 2x/W0 p + p2/W02 ) ou bien (p2+ 2xW0 p +W02 ) ? ? * Si x< 1 : Les deux racines sont complexes et conjuguées, le système est sous-amorti * si x>=1 : il s’agit là de deux racines réelles et le système est hyper-amorti ? 26/03/2017

12 ? ? III.3 Réponse indicielle unitaire
Cas où x> 1 La réponse du système est apériodique. La décomposition en éléments simples donne : ? d’où ? 26/03/2017

13 Cas où x = 1 Cas de l’amortissement critique, la réponse du système est toujours apériodique
ainsi la réponse temporelle est : ? 26/03/2017

14 selon que l’on choisisse ou on aura l’un
Cas où x< 1 La réponse du système est oscillatoire amortie "pseudo-périodique". On a maintenant d’où Avec selon que l’on choisisse ou on aura l’un ou l’autre des cas ou 26/03/2017

15 La réponse indicielle est donc oscillatoire amortie
Quatre paramètres sont intéressants : – le temps de montée tm – le temps du premier maximum tpic – le dépassement D exprimé en % de la valeur finale – la pseudo période Tp 26/03/2017

16 ? Calcul du temps de montée
Le temps de montée tm est le temps que met le système pour atteindre, pour la 1ère fois, la valeur finale K: A chaque valeur de k correspond un point d’intersection avec la droite y(t) = K. Le temps de montée correspond donc au 1er point d’intersection est: ? 26/03/2017

17 ? Calcul du temps du premier maximum (ou temps de pic)
Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instant pour les quels la dérivée de y(t) s’annule. On obtient alors: d’où Le premier dépassement correspond au 1er maximum k=1 ? 26/03/2017

18 ? ? Calcul du dépassement : Ainsi le dépassement pour cent est
Calcul de la pseudo période C’est le temps observé entre deux maximums successifs ? 26/03/2017

19 Réponse à une impulsion
IV. Le minimum à apprendre Equation de l’intégrateur Réponse à une rampe ? Système du premier ordre - Fonction de transfert ? - Allures des courbes Réponse à une impulsion - Temps de réponse à ±5%: tr = 3t ? - Temps de montée: (90% de k) tm = 2,3t ? (Réponse indicielle) 26/03/2017

20 - Fonction de transfert
Système du second ordre - Si x< 1 : système sous-amorti ? - Fonction de transfert ? - si x1 : système hyper-amorti. ? La réponse est pseudo-périodique ? Temps de montée ? La réponse est apériodique ? 26/03/2017

21 ? ? ? ? Temps du premier maximum (ou temps de pic) Dépassements
Pseudo période ? 26/03/2017