Fonctions numériques usuelles

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1 Fonctions numériques usuelles
CHAPITRE 7 Fonctions numériques usuelles

2 Le plan du chapitre La fonction exponentielle La fonction logarithme
Les fonctions puissances Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques Les fonctions Arcos et Arsin La fonction tangente et la fonction Arctan Quelques relations importantes Les fonctions trigonométriques sinh et cosh Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et Argcosh La fonction tanh et son inverse

3 La fonction exponentielle
lim (ex/xn) = + l’infini en +l’infini x k  k=n  exp (x) k ! k=0 lim (ex xn) = 0 en - l’infini exp (x1+x2) = exp (x1) x exp (x2)

4 La méthode d’Euler exp ’ = exp u0 = 1 un+1-un = un 1/N
Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x) u0 = 1 Dérivée « discrète » un+1-un = un 1/N (1+ x/N)N > exp (x) lorsque N tend vers + l’infini

5 La fonction logarithme (1)
x  R et y = exp (x) y  et x = log (y) lim+infini (log y /y) =0 lim0 (|y| log |y|) =0 log (y1 y2) = log (y1) + log (y2)

6 La fonction logarithme (2)
log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} Remarque : pour tout entier n de Z différent de -1, on a sur R \{a} : (y-a)n+1 [ ]’ =[ y ---> (y-a)n] n+1

7 Les fonctions puissance
x  R  ax := exp (x log a) (ax1) x2 = a x1x2 ax1+x2 =ax1 x ax2 (ab)x = ax x bx a-x = (1/a)x [ x  ax]’ = [x  log(a) x ax]

8  x 2k (2k) ! La fonction cosinus  x  R cos (x) (-1)k
k=n  cos (x) (-1)k (2k) ! k=0 cos 0 = 1 cos 2 <-1/3 (suites adjacentes) cos s’annule en au moins un point de [0,2]  := 2 inf{x>0, cos x=0}

9  x 2k+1 (2k+1) ! La fonction sinus  x  R sin (x) (-1)k
k=n  sin (x) (-1)k (2k+1) ! k=0 (suites adjacentes)

10 Relations entre fonctions trigonométriques
cos (x1 + x2) = cos (x1) cos (x2) – sin (x1) sin (x2) sin (x1+ x2) = cos (x1) sin (x2) + sin (x1) cos (x2) cos’ = - sin sin’ = cos cos2 x + sin2 x =1 cos (x+ 2)=cos x sin (x+2) = sin x   (cos (x), sin (x)) ( pour x  [0, 2[) paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de rayon 1

11 Fonctions trigonométriques inverses
Arcos : [-1,1] --- > [0, ] Arcsin : [-1,1] --- > [-/2 , /2] sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y  (1-y2)-1/2] sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y  - (1-y2)-1/2] Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y  [-1,1]

12 La fonction tangente tan x := sin (x) / cos (x)  tan’ = 1 + tan2

13 La fonction Arctan (Arc-tangente)
x  ]-/2 , /2[ et y =tan (x) y  R et x= Arctan (y) Arctan’(y) = = 1 + tan2 (Arctan y) y2

14 Quelques relations importantes
cos (t) = 2 cos2 (t/2) = (1-u2)/(1+u2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u2) t  ]-, [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

15 1-u u , 1+u u2 (0,0) (-1,0) 1 Un paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point

16 Les fonctions hyperboliques
cosh x : = (ex+e-x)/2 , x  R sinh x : = (ex – e-x)/2 , x  R cosh2 x – sinh2 x = 1 cosh’ = sinh sinh’ = cosh

17 les Coniques Intersection d’un plan et d’un cône :
hyperbole, ellipse ou parabole hyperbole (2 branches) ellipse les Coniques

18 Le paramétrage de la demi-hyperbole
x = cosh t , t  R x2 – y2=1 , x>0 y = sinh t , t  R

19 La fonction argsinh : R  R
x  R et y = sinh x y  R et x=argsinh y variable auxiliaire argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y2)-1/2 { X = ex X2 – 2y X - 1 =0 sinh x = y x = argsinh y = log [y + (1+y2)1/2]

20 La fonction argcosh : {y ; y 1}  {x ; x  0}
x0 et y = cosh x y 1 et x=argcosh y variable auxiliaire argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y2 -1)-1/ , y > 1 { X = ex x 0 (donc X 1) X2 – 2y X +1 =0 cosh x = y x = argcosh y = log [y + (y2 -1)1/2]

21 La fonction tangente hyperbolique
tanh : x  R  tanh x := sinh x / cosh x tanh’ : x  R  1 – tanh2 x = (cosh x)-2 x  R et y = tanh x y  ]-1,1[ et x= argtanh y argtanh’ y = 1/(1-y2) = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1) , y  ]-1,1[ argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2 , y  ]-1,1[

22 Fin du chapitre 7