5 La Loi de Laplace Gauss ou loi Normale

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1 5 La Loi de Laplace Gauss ou loi Normale

2 1)Définition: a)On appelle loi normale d’espérance mathématique m et d’écart type , notée m,), la loi de probabilité d’une variable aléatoire continue telle que X()= et dont la densité de probabilité f est

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4 b)Cas particulier de N(0,1) d’espérance mathématique 0 et d’écart type 1:
La loi normale centrée réduite N(0,1) a pour densité f telle que

5 2)Relation entre N(m,) et N(0,1) :
Si la v.a. continue X suit une loi normale N(m,) alors la v.a suit la loi normale centrée réduite N(0,1)

6 3)Utilisation de la table de la fonction de répartition de N(0,1) :

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10 Remarque : Si X suit N(m,) et k > 0 alors suit N(0,1) et

11 4)Opérations sur les lois normales:
·     Si la v.a. continue X suit (m,) alors Z = a X + b suit une loi Normale telle que E(Z) = E(a X + b) = a E(X) + b V(Z) = V(a X + b) = a2 V(X) =

12 · Si X v. a. continue suit (m,) et si Y v. a
·     Si X v.a. continue suit (m,) et si Y v.a. continue suit (m’,’) avec X et Y indépendantes alors Z = a X + b Y suit une loi normale telle que: E(Z) = E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y) V(Z) = V(a X + b Y ) = a2 V(X) + b2 V(Y) = car X et Y indépendantes  

13 5)Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale:
Si n  30 et n p  15 et n p q > 5 Alors on peut remplacer la loi binomiale B(n,p) par la loi Normale